第十章  离散时间系统及卷积
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第十章 离散时间系统及卷积. 10.1 离散时间系统. 输入 si(n). 输出 so(n). 系统. 1 、离散系统的概念. 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。. 系统 1. 输入. 输入. 输出. 系统 1. 系统 2. 系统 2. 系统 1. 系统 2. 输出. 输入. 系统 4. 系统 3. 2 、离散系统的互联. 输出. a. 系统的级联. b. 系统的并联. c. 系统的混联. 3 、离散时间系统的模型. 10.2 离散时间系统的分类. 1 、线性系统. 2 、时不变系统. 3 、因果系统.

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6313916

10.1 离散时间系统


6313916

输入si(n)

输出so(n)

系统

1、离散系统的概念

  • 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。


6313916

系统1

输入

输入

输出

系统1

系统2

系统2

系统1

系统2

输出

输入

系统4

系统3

2、离散系统的互联

输出

a.系统的级联

b.系统的并联

c.系统的混联


6313916
3、离散时间系统的模型


6313916

10.2 离散时间系统的分类


6313916
1、线性系统


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2、时不变系统


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3、因果系统


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4、稳定系统

  • 对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。

  • 或者说,如果输入信号的幅度限制在某个范围之内,则输出信号的幅度也限制在某个范围之内。


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10.3 离散时间系统的描述


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1、系统函数

  • 对应连续时间系统中的h(t),离散时间系统中有h(n)。


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2、系统函数的物理含义


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3、从系统函数到卷积

h(n)

(n)

系统

n

n

f(n)

T


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s(t)

f(t)

h(n)f(0)

系统

t

T

h(n-1)f(1)

于是输入信号f(n)的输出就等于一系列h(n)(经过加权和移位)的叠加

t

h(n-k)f(k)

t


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  • 于是,借助系统函数-即冲激响应函数,我们就在系统的输入信号与输出信号之间建立了一种明确的数学关系,这种数学关系就是卷积关系。


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4、卷积的性质及一类特殊的卷积

卷积具有如下重要性质:

  • 交换率:s(n)h(n)= h(n)  s(n)

  • 分配率:

    s(n)[h1(n)+h2(n)]= s(n)  h1(n)+ s(t)  h2(n)


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5、一类特殊的卷积


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  • h(n)=(n)的系统又被称为恒等系统


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10.4 离散互联系统的冲激响应


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1、级联系统

输入

输出

系统1

系统2

h1(n)

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)h2(n)


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2、并联系统

系统1

输入

输出

h1(n)

系统2

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)+h2(n)


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系统1

系统2

输入

输出

系统4

系统3

系统h(t)

3、混联系统

h1(t)

h2(t)

h4(t)

h3(t)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(t)={[h1(t)h2(t)]+ h3(t)} h4(t)


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10.5 卷积的频域性质


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1、时域与频域的关系

  • 时域卷积等价于频域乘积,即


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6313916
1于是,我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系,这种联系不仅体现在时域中,而且体现在频域中。)级联系统

输入

输出

系统1

系统2

h1(n)

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()·H2()


6313916
2于是,我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系,这种联系不仅体现在时域中,而且体现在频域中。)并联系统

系统1

输入

输出

h1(n)

系统2

h2(n)

系统h(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2()


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系统于是,我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系,这种联系不仅体现在时域中,而且体现在频域中。1

系统2

输入

输出

系统4

系统3

系统h(n)

3)混联系统

h1(n)

h2(n)

h4(n)

h3(n)

此种情况下,系统的冲激响应函数:

h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n)

H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()


6313916
2于是,我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系,这种联系不仅体现在时域中,而且体现在频域中。、输出信号的求解


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6313916

  • 举例:应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。


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si(0)应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。引起的输出=2h(n)

si(n)

3

4

2

2

2

n

si(0)

si(1)

n

h(n)

si(1)引起的输出=3h(n-1)

2

1

1

6

n

3

3

n

总的输出=2h(n)+3h(n-1)

8

7

3

2

n


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3应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。、时域卷积等价与频域乘积的物理意义

  • 从广义上看,任何一个系统h(n),都可以看成是一个滤波器。因为它们均实现了一定的频率选择性。

  • 解释同连续时间系统


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10.6 应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。系统冲激响应函数的求解


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  • 得到应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。H()之后可以通过逆离散付里叶变换反解出系统冲激响应函数h(n)。


10 7 dft

10.7 DFT应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。和圆周卷积


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1应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。、园周移位

  • x(n),n=0,1,2,…N-1的信号的圆周移位又写成<x(n-k)>N

  • 具体方法如下图。

<X(n-1)>N

<X(n-2)>N

X(n)

3

n

3

n

3

n

<X(n-4)>N

<X(n-3)>N

3

n

3

n


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2应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。、园周卷积

  • 我们知道,前面介绍求解输出信号时可以采用频域法,即对输入x(n),系统h(n),求解输出y(n)时,可以先求Y()=X()H(),再反变换回去得y(n),不过,反变换涉及积分,不太方便计算机处理。

  • 问题,有没有其他的办法在频域也离散化,即根据Y(k)来求解y(n)???


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  • 回答:有,而且实际的处理中,结合应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。FFT,IFFT,就是用这种方法来处理的。

  • 我们知道:

  • 对x(n),h(n),n[0,N),其周期拓展后的信号的离散付里叶变换(DFT)为X(k),H(k), k[0,N)。

  • 假设Y(k)=X(k)·H(k)。

  • 那么问题是,Y(k)做逆离散付里叶变换(IDFT)得到的y(n)是什么??


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  • 举例来看:应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。

h(n)

3

n

3

n

n

3

在[0,N-1]内=圆周移位

<h(n-1)>N

3

n


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应当注意的是,有些情况下,采用时域法求解较为容易,而有些情况下,采用频域法较为方便。

n

3

n

3

n

n

3

3

在[0,N-1]内=圆周移位

<h(n-2)>N

在[0,N-1]内=圆周移位

<h(n-m)>N


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  • 例如:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

h(n)=[1,2,3,4]

h(0-m)

3

n

3

m

x(n)=[1,2,2,1]

x(m)

3

n

3

m


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  • 同理:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

h(1-m)

3

m

x(m)

3

m


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  • 园周卷积:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

<h(0-m)>N

3

m

x(m)

3

m


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  • 解释:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。<h(0-m)>N是怎样得来的:

h(m)

有了<h(0-m)>N,自然求

解<h(n-m)>N 就方便了,实际上就是不断地向右做园周移位

3

m

<h(0-m)>N

h(-m)

取0~N-1点

周期延拓

3

m

3

m

3

m


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  • 园周卷积:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

<h(1-m)>N

3

m

x(m)

3

m


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  • 依次有:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

  • y’(n)=[17,15,13,15]。显然同前面的y(n)不同。

  • 问题,如何处理才能使y’(n)=y(n)??

  • 回答:将K点的x(n),L点的h(n)通过补0分别展成K+L-1点的序列,再做园周卷积即可。


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  • 还用上例:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

h(n)=[1,2,3,4,0,0,0]

补0展长后的序列

7

n

x(n)=[1,2,2,1, 0,0,0]

7

n


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  • 展长后的园周卷积:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

<h(0-m)>N

7

m

x(m)

注:<h(0-m)>N的获取仍采用前面介绍过的方法

7

m


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  • 展长后的园周卷积:回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。

<h(1-m)>N

7

m

x(m)

7

m


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  • 依次可得回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。y’(n)=[1,4,9,15,16,11,4]=y(n)

  • 上述方法的频域实现是:

    第一步,将K点的x(n)和L点的h(n)展成K+L-1点的序列。

    第二步,分别做展长后的序列的离散付里叶变换X(k)和H(k)

    第三步,将X(k)和H(k)相乘得Y(k)

    第四步,将Y(k)做反离散付里叶变换得y(n)即可。


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  • 需要说明的是,展长序列的长度只要大于回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。K+L-1即可。故在实际使用中,往往选择一个长度(2M),该值是大于K+L-1的且最贴近K+L-1的2的整数次幂,当然也可以选其他的2的整数次幂,只要大于K+L-1 即可,但这样做会使运算量大增,所以谁也不这样用。

  • 于是可以利用FFT和IFFT完成上述步骤。具体描述如下。


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第一步,将回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。K点的x(n)和L点的h(n)展成大于K+L-1点且最贴近的2M长序列。

第二步,分别做展长后的序列的FFT变换得X(k)和H(k)

第三步,将X(k)和H(k)相乘得Y(k)

第四步,将Y(k)做IFFT变换得y(n)即可。


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10.8 回答,如不做特殊处理,园卷积与正常卷积不同,在做特殊处理之后,可以相同。总结


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  • 这一章,我们介绍了离散时间系统的概念,及性质:线性、移不变、因果、稳定这一章,我们介绍了离散时间系统的概念,及性质:线性、移不变、因果、稳定

  • 介绍了离散系统函数,及离散冲激响应函数,并从离散输出输入的关系引出离散卷积的概念,并介绍了离散卷积的性质。

  • 然后就离散输入输出之间的关系问题在时域和频域分别进行了讨论,即在时域内,输出信号是输入信号与冲激响应的卷积,在频域内,输出信号的频谱是输入信号的频谱与冲激响应信号频谱的乘积。


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