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第四章

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  1. 第四章 轴心受力构件

  2. §4-3轴心受压构件的稳定 一、轴心受压构件的整体稳定 (一)轴压构件整体稳定的基本理论 1、轴心受压构件的失稳形式 理想的轴心受压构件(杆件挺直、荷载无偏心、无初始应力、无初弯曲、无初偏心、截面均匀等)的失稳形式分为:

  3. (1)弯曲失稳--只发生弯曲变形,截面只绕一个主轴旋转,杆纵轴由直线变为曲线,是双轴对称截面常见的失稳形式;(1)弯曲失稳--只发生弯曲变形,截面只绕一个主轴旋转,杆纵轴由直线变为曲线,是双轴对称截面常见的失稳形式;

  4. (2)扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外,各截面均绕纵轴扭转,是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式;(2)扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外,各截面均绕纵轴扭转,是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式;

  5. (3)弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时,杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。(3)弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时,杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。

  6. Ncr Ncr N N N N Ncr F F F l Ncr Ncr N N N N Ncr 2.轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲 A 稳定平衡状态 B 随遇平衡状态 C 临界状态

  7. Ncr y y1 y2 Ncr l M=Ncr·y x Ncr Ncr 下面推导临界力Ncr 设M作用下引起的变形为y1,剪力作用下引起的变形为y2,总变形y=y1+y2。 由材料力学知: 剪力V产生的轴线转角为:

  8. 其通解为: Ncr y y1 y2 Ncr l M=Ncr·y x Ncr Ncr 对于常系数线形二阶齐次方程:

  9. 通常剪切变形的影响较小,可忽略不计,即得欧拉临界力和临界应力:通常剪切变形的影响较小,可忽略不计,即得欧拉临界力和临界应力: 上述推导过程中,假定E为常量(材料满足虎克定律),所以σcr不应大于材料的比例极限fp,即:

  10. 形心轴 中和轴 σ dσ dε σcr dσ1 fp Ncr,r dσ2 σcr E 1 ε 0 l x y Ncr,r 4.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲 当σcr大于fp后σ-ε曲线为非线性,σcr难以确定。 历史上有两种 理论来解决该问题, 即: (1)双模量理论 该理论认为,轴压构件在微弯的中性平衡时,截面平均应力(σcr)要叠加上弯曲应力,弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量Et规律(分布图形为曲线),由于是微弯,故其数值较σcr小的多,可近似取直线。而弯曲受拉一侧应力发生退降,且应力退降遵循弹性规律。又因为E>Et,且弯曲拉、压应力平衡,所以中和轴向受拉一侧移动。

  11. 形心轴 中和轴 dσ1 Ncr,r dσ2 σcr l x y Ncr,r 令: I1为弯曲受拉一侧截面(退降区)对中和轴的惯性矩; I2为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩; 且忽略剪切变形的影响,由内、外弯矩平衡得: 解此微分方程,即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力:

  12. 中和轴 △σ Ncr,r △σ σcr,t l x y Ncr,r (2)切线模量理论 假定: A、达到临界力Ncr,t时杆件 挺直; B、杆微弯时,轴心力增加 △N,其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等。 所以应力、应变全截面增加,无退降区,切线模量Et通用于全截面。由于△N较Ncr,t小的多,近似取Ncr,t作为临界力。因此以Et替代弹性屈曲理论临界力公式中的E,即得该理论的临界力和临界应力:

  13. σ fy=fp fy 1.0 欧拉临界曲线 ε λ 0 0 (二)初始缺陷对压杆稳定的影响 如前所述,如果将钢材视为理想的弹塑性材料, 则压杆的临界力与长细比的关系曲线(柱子曲线)应为: 但试验结果却常位于蓝色虚线位置,即试验值小于理论值。这主要由于压杆初始缺陷的存在。

  14. 力学缺陷:残余应力、材料不均匀等。 几何缺陷:初弯曲、初偏心等; 初始缺陷 1、残余应力的影响 (1)残余应力产生的原因及其分布 A、产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却,如前所述; ②型钢热扎后的不均匀冷却; ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩; ④构件冷校正后产生的塑性变形。 实测的残余应力分布较复杂而离散,分析时常采用其简化分布图(计算简图):

  15. fy 0.3fy 0.361fy β1fy + 0.3fy 0.3fy 0.3fy - 0.805fy (b)热扎H型钢 (a)热扎工字钢 (c)扎制边焊接 + fy fy β2fy 0.75fy β2fy 0.53fy 0.2fy ( f )热扎等边角钢 (d)焰切边焊接 (e)焊接

  16. fy 0.3fy σ=N/A σ=0.7fy (A) σrc=0.3fy 0.3fy fy 0.3fy C 0.3fy σrc B fy fp A 0.7fy<σ<fy (B) fy-σrc fy ε 0 σ=fy (C) (2)、残余应力影响下短柱的σ-ε曲线 以热扎H型钢短柱为例: 显然,由于残余应力的存在导致比例极限fp降为:

  17. 根据前述压杆屈曲理论,当 或 时,可采用欧拉公式计算临界应力; 当 或 时,截面出现塑性区,由切线模量理论知,柱屈曲时,截面不出现卸载区,塑性区应力不变而变形增加,微弯时截面的弹性区抵抗弯矩,因此,用截面弹性区的惯性矩Ie代替全截面惯性矩I,即得柱的临界应力: (3)、仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

  18. y t x x h kb t σrc b a c σ1 b c’ fy a’ σrt b’ 当σ>fp=fy-σrc时,截面出现塑性区,应力分布如图。 仍以忽略腹板的热扎H型钢柱为例,推求临界应力: 柱屈曲可能的弯曲形式有两种: 沿强轴(x轴)和沿弱轴(y轴) 因此,临界应力为:

  19. y t x x h kb t σrc b a c σ1 b c’ fy a’ σrt b’ 为消掉参数k,有以下补充方程: 由△abc∽△a’b’c’得: 显然,残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响(k<1)。 由力的平衡可得截面平均应力:

  20. σcrx 1.0 欧拉临界曲线 σcry σE 0 1.0 λn 仅考虑残余应力 的柱子曲线 联合求解式4-9和4-11即得σcrx(λx); 联合求解式4-10和4-11即得σcry(λy)。 可将其画成无量纲曲线(柱子曲线),如下; 纵坐标是临界应力与屈服强度的比值,横坐标是相对长细比(正则化长细比)。

  21. N v y0 y l/2 N v0 v1 M=N·(y0+ y) y0 y l/2 x x y y N N 2、初弯曲的影响 假定:两端铰支压杆的初弯曲曲线为: 令: N作用下的挠度的增加值为y, 由力矩平衡得: 将式5-12代入上式, 得:

  22. 另外,由前述推导可知,N作用下的挠度的增加值为y,也呈正弦曲线分布:另外,由前述推导可知,N作用下的挠度的增加值为y,也呈正弦曲线分布: 上式求二阶导数: 将式4-14和4-15代入式4-13,整理得:

  23. v0=0 1.0 v0=1mm v0=3mm 0.5 0 v 求解上式,因 sin(πx/l) ≠0,所以: 杆长中点总挠度为: 根据上式,可得理想无限弹性体的压力—挠度曲线,具有以下特点:①v随N非线形增加,当N趋于NE时,v趋于无穷;②相同N作用下,v随v0的增大而增加;③初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力NE。

  24. v0=0 1.0 v0=1mm B v0=3mm B’ A 0.5 A’ 0 v 最后在N未达到NE时失去承载能力,B或B’点为其极限承载力。 实际压杆并非无限弹性体,当N达到某值时,在N和N∙v的共同作用下,截面边缘开始屈服(A或A’点),进入弹塑性阶段,其压力--挠度曲线如虚线所示。 对于仅考虑初弯曲的轴心压杆,截面边缘开始屈服的条件为:

  25. 解式5-19,其有效根,即为以截面边缘屈服为准则的临界应力:解式5-19,其有效根,即为以截面边缘屈服为准则的临界应力: 上式称为柏利(Perry)公式。 如果取v0=l/1000(验收规范规定),则: 由于不同的截面及不同的对称轴,i/ρ不同,因此初弯曲对其临界力的影响也不相同。

  26. y x x 对x轴 对y轴 1.0 y 欧拉临界曲线 0 λ 仅考虑初弯曲的柱子曲线 对于焊接工字型截面轴心压杆,当 时: 对x轴(强轴)i/ρ≈1.16; 对y轴(弱轴) i/ρ≈2.10。

  27. x e0 N x e0 l/2 y N v N·(e0+ y) y l/2 x x 0 y 0 y N N e0 3、初偏心的影响 微弯状态下建立微分方程: 解微分方程,即得:

  28. e0=0 1.0 B e0=1mm e0=3mm A B’ A’ 0 v 仅考虑初偏心轴心压杆的压力—挠度曲线 所以,压杆长度中点(x=l/2)最大挠度v: 其压力—挠度曲线如图: 曲线的特点与初弯曲压杆相同,只不过曲线过圆点,可以认为初偏心与初弯曲的影响类似,但其影响程度不同,初偏心的影响随杆长的增大而减小,初弯曲对中等长细比杆件影响较大。

  29. (三)、杆端约束对压杆整体稳定的影响 实际压杆并非全部铰支,对于任意支承情况的压杆,其临界力为: 对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值,详见有关章节。

  30. (四) 实际轴心受压构件的整体稳定计算 1、实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法,一般有: (1)屈服准则:以理想压杆为模型,弹性段以欧拉临界力为基础,弹塑性段以切线模量为基础,用安全系数考虑初始缺陷的不利影响; (2)边缘屈服准则:以有初弯曲和初偏心的压杆为模型,以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限; (3)最大强度准则:以有初始缺陷的压杆为模型,考虑截面的塑性发展,以最终破坏的最大荷载为其极限承载力; (4)经验公式:以试验数据为依据。

  31. 2、实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力σcr,是按最大强度准则,并通过数值分析确定的。 由于各种缺陷对不同截面、不同对称轴的影响不同,所以σcr-λ曲线(柱子曲线),呈相当宽的带状分布,为减小误差以及简化计算,规范在试验的基础上,给出了四条曲线(四类截面),并引入了稳定系数 。

  32. 3、实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为,截面应力不大于临界应力,并考虑抗力分项系数γR后,即为: 公式使用说明: (1)截面分类:见教材表5-3,第121页;

  33. y x x y b y t x x y y x x y (2)构件长细比的确定 ①、截面为双轴对称或极对称构件: 对于双轴对称十字形截面,为了防止扭转屈曲,尚应满足: ②、截面为单轴对称构件: 绕对称轴y轴屈曲时,一般为弯扭屈曲,其临界力低于弯曲屈曲,所以计算时,以换算长细比λyz代替λy,计算公式如下:

  34. y b t (a) y ③、单角钢截面和双角钢组合T形截面可采取以下简 化计算公式: A、等边单角钢截面,图(a)

  35. y b b (b) y B、等边双角钢截面,图(b)

  36. y b2 b2 (C) b1 y C、长肢相并的不等边角钢截面, 图(C)

  37. y (D) b1 b1 b2 y D、短肢相并的不等边角钢截面, 图(D)

  38. 当计算等边角钢构件绕平行轴(u轴)稳定时,可按下式计算换算长细比,并按b类截面确定 值: u u b ④、单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时,应按弯扭屈曲计算其稳定性。

  39. 3、格构式截面中的槽形截面分肢,计算其绕对称轴(y轴)的稳定性时,不考虑扭转效应,直接用λy查稳定系数 。 y 实轴 x x 虚轴 y (3)其他注意事项: 1、无任何对称轴且又非极对称的截面(单面连接的不等边角钢除外)不宜用作轴心受压构件; 2、单面连接的单角钢轴心受压构件,考虑强度折减系数后,可不考虑弯扭效应的影响;

  40. x0 y0 x x x0 y0 单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数: • 1、按轴心受力计算强度和连接乘以系数 0.85; • 2、按轴心受压计算稳定性: 等边角钢乘以系数0.6+0.0015λ,且不大于1.0; 短边相连的不等边角钢乘以系数 0.5+0.0025λ,且不大于1.0; 长边相连的不等边角钢乘以系数 0.70; • 3、对中间无联系的单角钢压杆, 按最小回转半径计算λ,当 λ< 20时,取λ=20。