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Numeração. Princípios. Determinação de símbolos para representar números: sem preocupar-se das eventuais grandezas associadas, com regras (algoritmos) de cálculo, capaz de representar qualquer numero. Cardinal.
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Princípios • Determinação de símbolos para representar números: • sem preocupar-se das eventuais grandezas associadas, • com regras (algoritmos) de cálculo, • capaz de representar qualquer numero.
Cardinal • Associação de um símbolo à unidade e reprodução do símbolo o número de vezes necessário. • Complicado para a representação de números grandes.
Ordinal • Associação de cada número a um símbolo. • Complicado porque precisa de uma quantidade ilimitada de símbolos.
Base • Agrupamento das unidades em coleções. Para economizar a quantidade de símbolos e simplificar a escrita de número grande, usamos agrupamentos. • A base 10 (sistema decimal) é hoje a mais divulgada, mas existem e são usadas várias outras bases: 2 (binário), 5, 12, 20, 60.
Base 5 • Indianos • Ainda hoje, em certas regiões da India, os dedos da mão são usados da forma seguinte: uma mão para as unidades, uma mão para as coleção de cinco unidades. • Romanos • I, V, X, L, C, D, M • Outro exemplo
Base 12 • Uma das explicações da base 12 é ligada a um princípio de contagem usando as falanges para representar as unidades e o polegar para enumerar. Uma das avantagens da base 12 é que 12 tem muitos divisores. Ele tem mais divisores que qualquer número minor que ele.
Base 20 • A base 20 foi usada como base de numeração pelos Astecas e Maias. Ainda hoje, os povos celticos na formação literal dos numeros usam a base 20. • Uma explicação da aparição da base 20 é de origem antropomórfica: temos 20 dedos (pés e mãos).
Base 60 • A base 60 era usada pelos Sumérios e Babilônios. Existe hoje vestígios dessa numeração: • o tempo (60 segundos=1 minuto, 60 minutos=1 hora), • Ângulos (graus)
Base 10 • A numeração decimal é também de origem antropomórfica: temos dez dedos. • Usamos os algarismos árabes. • De um outro lado, a base 10 é muito pouco eficiente para a representação dos números (não é um número primo, tem poucos divisores).
Numeração de posição • A numeração de posição constitua uma revolução, no mesmo tempo por sua economia de símbolos e sua potência: • dez símbolos (em base 10), • representação de qualquer numero inteiro.
Primeira notação de posição • O sumérios usavam uma notação de posição dos números: a posição dos símbolos são associados com as potencias da base.
Notação de posição • O principio da notação de posição (base b), os an são sempre inferiores a b: • caso inteiro N é • caso geral (com fração) N é
Princípios da evolução • A evolução da numeração é baseada sobre: • Princípios de economia (símbolos, memoria, etc). • Disponibilidade de sistema de representação (pedras, mão, cordas, escrita, etc). • Determinação de algoritmos de cálculo.
Limitações • Certos números não são representáveis. • Irracionais, transcendente, etc • números representáveis com uma base não são representáveis com uma outra. • Infinito • Ambigüidades: • 0,999... = 1 ?
Representação com computador • Binário • O computador conserva e manipula a informação a partir de tensão de sinais (alta e baixa). Internamente, os números são representados em base 2 (a partir de 0 e 1). • Exemplo: • como escreve-se 53 (notação em base 10) em base 2 • Como escreve-se 12,5 em base 2
Representação com computador • Outras base de representação dos números são também usados • Octal: os bits são agrupados por grupo de 3 (base 8) • Hexadecimal: bits agrupados por grupo de 4 (base 16).
Algoritmo de conversão • O número a converter é dividido por 2, em seguida o quociente é dividido por 2 e assim sucessivamente ate obter um quociente de 1.
Algoritmo de conversão • Para a parte fracionaria, ela é sucessivamente multiplicado por 2 ate obter uma parte fracionaria do resultado igual a 0.
Aplicações • Conversão de 26,75 ; 12,09375 ; 1,1 em base 2 • Verificar que um número fracionario tem uma representação finita em base 2 se ele é da forma p/q, com q potencia inteira de 2. • Escrever algoritmos de conversão de números decimais em números em base 2, 8 ou 16.
Representação com computador • O computador trabalho por grupo de bits (palavra) . Em geral, essas palavras são de 16 ou 32 bits, e hoje existem computador manipulando palavra de 64 bits. • Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT). O bit de maior peso é usado como sinal do número (0 positivo e 1 negativo).
Inteiros • O tamanho dos inteiros são: • 2 bytes para um short: como um bit reservado para o sinal, são representaveis números de –215 (-32768) a 215-1 (32767). –1 é representado 1s111111111111111 e não 1s000000000000001. • 4 bytes para um long: são representaveis numeros de –231 (-2147483648) a 231-1 (2147483647)
Floating point number • Floating point number (Norma IEEE): • No caso dos reais, diversas partes das palavras são usadas com sentidos diferentes. Um número é em geral representado da forma seguinte: Um bit é reservado para o sinal, um grupo de bit (característica) representa o exponente e um grupo representa os algarismos significativos (mantissa).
Floating Point Number • Para poder representar com a característica, exponente positivo e negativo, um “bias” é usado: exponente=característica -”bias”. • Para precisão simples, a repartição é a seguinte: Tabela de repartição dos bits em função da precisão
Floating Point Number • Precisão simples: • a característica tem um valor de 1 a 254 (0 e 255 são reservados). • a mantissa tem os digitos significativos, considerando um bit “escondido”: o número representado, escecendo a parte do exponente e do sinal, é da forma 1.M.
Número especiais • No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos: • -¥ e ¥, para os infinitos. • NaN (not-a-number), para representar resultados de operações como 0/0, ¥ - ¥, 0x¥, • -0, definido com o inverso de -¥.
Binary Decimal Codification • Outro tipo de codificação usada pelas calculadoras: BCD (Binary Decimal Codification). • O formato BCD, mais caro em termo de memória, é mais perto da notação decimal (0,1 tem uma representação finita em BCD). Os algarismos em notação decimal são representados por grupo de 4 bits (0 a 9 são representados com bits que podem representar número ate 15).
Binary Decimal Codification • Nesse sistema, un número é assim representado:
Conclusão • A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador). • O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base: em base 10 ou base 12, em base 10 ou base 2 • O computador usa representação finita, ele não pode representar de forma exata os números reais.
