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第三章 组合逻辑原理 - PowerPoint PPT Presentation


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计算机学院 陈媛媛 [email protected] 第三章 组合逻辑原理. 组合逻辑的定义. 逻辑电路中没有从输出到输入的反馈,且由功能完全的门系列构成,就称为 组合逻辑电路 。. ·. ·. Combinational Logic Functions. Inputs. ·. ·. Outputs. ·. ·. 真值表问题. 1. 开关方程与标准形式. 多变量卡诺图化简. 多输出函数. 2. 4. 6. Content. 卡诺图. 3. 混合逻辑组合电路. 5.

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Presentation Transcript
Chenyuanyuan@scu edu cn

计算机学院 陈媛媛[email protected]

第三章 组合逻辑原理


组合逻辑的定义

逻辑电路中没有从输出到输入的反馈,且由功能完全的门系列构成,就称为组合逻辑电路。

·

·

Combinational Logic Functions

Inputs

·

·

Outputs

·

·


Content

真值表问题

1

开关方程与标准形式

多变量卡诺图化简

多输出函数

2

4

6

Content

卡诺图

3

混合逻辑组合电路

5



构造真值表例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

问题描述

输入:令a,b分别表示两个操作人员1和操作人员2,操作人员在位用逻辑1表示,不在位则相应变量为逻辑0;

令s表示联合开关,开关闭合用逻辑1表示,开关断开为0;

令m表示原料的存在状态,有原料用逻辑1表示,无原料用0表示;

令M表示马达的状态,马达转动用逻辑1表示,停止转动用逻辑0表示。


  • 将一个书面问题描述转换成真值表的过程例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

    • 确定所包含的输入、输出变量

      • 分析所给实际逻辑问题的因果关系,将引起事件的原因确定为输入变量,将事件所产生的结果作为输出函数。

    • 为每个变量分配助记符或字母或标识

    • 确定真值表的大小;看看有多少个输入组合y=2x

      其中,x=输入变量数,y=组合数

    • 构造一个包含所有输入变量组合的真值表

    • 仔细研究问题描述,确定使给定输出为真的输入组合


S3例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

m3

S2

m2

m4

S1

m1

  • 例3-4:一个传输系统从三个不同来源运输原材料,三个源汇集为一个单输出传输装置。四个传输装置有分离的马达,可分开控制。输出物品速度必须与源流速吻合。要实现这些,必须具备下列条件:如果源1有物品,源2和源3要关闭;如果源1空,则源2和源3或者两者都可开启。在不能从三个源获得物品的情况下,输出传输装置要关闭,如果没有物品,相应源传输装置应关闭。


S3例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

m3

S2

m2

m4

S1

m1

s1,s2,s3:源1,源2,源3,有物品为1,无物品为0

m1,m2,m3,m4:四个马达,开启为1,关闭为0。


  • 练习例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,1:某产品有A、B、C、D四项质量指标,其中A为主要指标,产品检验标准规定:当主要指标及两项次要指标都合格时,产品定为合格品,否则定为不合格品。对该问题(1)设定输入输出变量及其取值;(2)列出真值表。

  • (1)输入:各项质量指标A,B,C,D;

    该项指标合格则等于1,否则等于0;

    输出:S:产品合格等于1,否则等于0.


Content1

真值表问题例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

1

开关方程与标准形式

多变量卡诺图化简

多输出函数

2

4

6

Content

卡诺图

3

混合逻辑组合电路

5


  • 列出真值表后,找出那些使函数值为 例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,1 的变量取值组合,变量值为 1 的写成原变量,为0的写成反变量,这样对应于使函数值为1的每一个组合就可以写出一个乘积项,把这些乘积项加起来,可以得到函数的标准积之和。


真值表例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

  • m7= a’bms

    m11=ab’ms

    m15=abms

    写成积之和:

    M=a’bms+ab’ms+abms

    化简后也可写作

    M=bms+ab’ms

注意:积项的下标与输入变量组合的关系


  • m例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,7= a’bms

    m11=ab’ms

    m15=abms

    M=a’bms+ab’ms+abms

    M=bms+ab’ms

    乘积项:一个与门实现的项

    bms, ab’ms

    积之和:一个或门及两个或更多的与门实现

    M=bms+ab’ms

    最小项:特殊情况的乘积项

    m7,m11,m15

    标准积之和:M=m7+m11+m15

(1)每个乘积项都包含了全部输入变量(2)每个乘积项中的输入变量可以是原变量,或者反变量

(3)同一输入变量的原变量和反变量不同时出现在同一乘积项中。这样的乘积项我们称为最小项。


  • 列出真值表后,找出那些使函数值为 例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,0 的变量取值组合,变量值为0的写成原变量,为1的写成反变量,这样对应于使函数值为0的每一个组合就可以写出一个和项,把这些和项相乘,可以得到函数的标准和之积。


由真值表导出开关方程例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,

构造真值表

  • M0=a+b+m+s; M1=a+b+m+s’;

    M2=a+b+m’+s; M3=a+b+m’+s’;

    M4=a+b’+m+s; M5=a+b’+m+s’;

    M6=a+b’+m’+s;M8=a’+b+m+s;

    M9=a’+b+m+s’; M10=a’+b+m’+s;

    M12=a’+b’+m+s;M13=a’+b’+m+s’;

    M14=a’+b’+m’+s;

    M=M0M1M2M3M4M5M6M8M9M10M12M13M14

    化简后也可写作

    M=(a+b)(a+b’+m)(a+b’+m’+s)(a’+m)(a’+m’+s)

注意:和项的下标与输入变量组合的关系


  • M例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置,0=a+b+m+s; M1=a+b+m+s’;

    M2=a+b+m’+s; M3=a+b+m’+s’;

    M4=a+b’+m+s; M5=a+b’+m+s’;

    M6=a+b’+m’+s;M8=a’+b+m+s;

    M9=a’+b+m+s’; M10=a’+b+m’+s;

    M12=a’+b’+m+s;M13=a’+b’+m+s’;

    M14=a’+b’+m’+s;

    M=M0M1M2M3M4M5M6M8M9M10M12M13M14

    M=(a+b)(a+b’+m)(a+b’+m’+s)(a’+m)(a’+m’+s)

    和项:一个或门实现的项

    a+b, a+b’+m

    和之积:一个与门及两个或多个或门实现(a+b)(a+b’+m)(a+b’+m’+s)(a’+m)(a’+m’+s)

    最大项:特殊情况的和项:M0,M1,……

    标准积之和:M=M0M1M2M3M4M5M6M8M9M10M12M13M14

(1)每一个和项中包含全部变量;(2)和项中的变量可以原变量形式出现,也可以反变量形式出现;(3)原、反变量不能同时出现在同一个和项中。

这样的和项我们称为最大项。


  • 标准形式 例:一个由电动马达带动的输送原料的传输装置, 简化形式

  • 标准积之和:当输出变量为逻辑1时定义的最小项的完整系列

    • M=a’bms+ab’ms+abms=m7+m11+m15

      =∑m(7,11,15)

  • 标准和之积:当输出变量为逻辑0时定义的最大项的完整系列

    • M=(a+b+m+s)(a+b+m+s’)(a+b+m’+s)(a+b+m’+s’)(a+b’+m+s)(a+b’+m+s’)(a+b’+m’+s)(a’+b+m+s)(a’+b+m+s’)(a’+b+m’+s)(a’+b’+m+s)

      (a’+b’+m+s’)(a’+b’+m’+s)

      =M0M1M2M3M4M5M6M8M9M10M12M13M14

      =∏M(0,1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,13,14)



  • 将一个积之和方程转换成标准形式的方法:练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。

    step1:在每个乘积项中标明所缺少的变量;

    step2:将缺少变量及其反变量之和同相应的乘积项相与:xy(z+z’);

    step3:应用分配律展开该项:xyz+xyz’.

  • 将一个和之积方程转换成标准形式的方法:

    step1:在每个和项中标明所缺少的变量;

    step2:将缺少变量及其反变量之积同相应的和项相或:x+y+zz’;

    step3:应用分配律展开该项:(x+y+z)(x+y+z’).


  • 最小项与最大项的数字表示练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。

    • 最小项:

      1)令正变量为1,反变量为0,写出每个乘积项的二进制表达式:ab’cd’:1010

      2)将该二进制数转换为十进制数:(1010)2=(10)10

      3)用mk(k为上述转换的十进制数)表示该最小项。

    • 最大项:

      1)令正变量为0,反变量为1,写出每个和项的二进制表达式:x+y’+z’:011

      2)将该二进制数转换为十进制数:(011)2=(3)10

      3)用Mk(k为上述转换的十进制数)表示该最大项。

最小项为最大项之反


  • 例:将下列方程转换成相应的标准形式:练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。

    1.P=f(a,b,c)=ab’+ac’+bc (积之和)

    step1: ab’:缺少c; ac’:缺少b; bc:缺少a

    step2: P=ab’(c+c’)+a(b+b’)c’+(a+a’)bc

    step3: P= ab’c+ab’c’+abc’+ab’c’+abc+a’bc

    step4: P=m5+m4+m6+m7+m3

    =∑m(3,4,5,6,7)


2.Y(a,b,c,d)=ab’c’d+bcd+a’d (练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。积之和)

step1: ab’c’d:无缺少项; bcd:缺少a; a’d:缺少b,c项

step2: Y=ab’c’d+(a+a’)bcd+a’(b+b’) (c+c’)d

step3:

Y=ab’c’d+abcd+a’bcd+a’bcd+a’b’cd+ab’c’d+abc’d

step4: Y=m9+m15+m7+m3+m13

=∑m(3,7,9,13,15)


  • 3.T=f(a,b,c)=(a+b’)(b’+c) (练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。和之积)

    step1: a+b’:缺少c项;b’+c: 缺少a项;

    step2: T=(a+b’+cc’)(aa’+b’+c)

    step3: T=(a+b’+c)(a+b’+c’)(a+b’+c)(a’+b’+c)

    step4: T=M2M3M6=∏M(2,3,6)


4.Y(a,b,c,d)=(a+b)(b’+c’+d’) (练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。和之积)

step1: a+b: 缺少c,d项, b’+c’+d’:缺少a项;

step2: T=(a+b+cc’+dd’)(aa’+b’+c’+d’)

step3:

T=(a+b+c+d)(a+b+c+d’)(a+b+c’+d)(a+b+c’+d’)(a+b’+c’+d’)(a’+b’+c’+d’)

step4:T=M0+M1+M2+M3+M7+M15=∏M(0,1,2,3,7,15)


  • 练习练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。:将下列布尔函数分别化为标准积之和与标准和之积

    P=f(w,x,y,z)=w’x+yz’

    T=f(a,b,c,d)=(a+b’+c)(a’+d)

  • Ans:

    P=f(w,x,y,z)=wxyz’+wx’yz’+w’xyz+w’x’yz’+w’xy’z +w’xy’z’+w’xyz’

    =∑m(2,4,5,6,7,10,14)

    T=f(a,b,c,d)= (a+b’+c+d) (a+b’+c+d’) (a’+b+c+d) (a’+b’+c+d) (a’+b+c’+d) (a’+b’+c’+d)

    =∏M(4,5,8,10,12,14)


  • 最小项与最大项的相互转换练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。

    • step1:计算乘积项之和表达式中的每一个乘积项,即确定表示乘积项的二进制数;

    • step2:确定step1中没有包含的所有二进制数;

    • step3:为从step2得到的每一个二进制数写出相应的和项,并以和项之乘积形式表达。


  • 例:把该最小项之和转换为最大项之积练习:从真值表中生成开关方程,分别写出方程的积之和标准形式和和之积标准形式。f1(a,b,c)= a’b’c + a’bc’ + ab’c’ + abc’ = m1 + m2 + m4 + m6

    = ∑(1,2,4,6) = ∏(0,3,5,7) = (a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b+c’)•(a’+b’+c’)



Content2

组合逻辑的定义练习:把下面的最小项之和表达式转换为等价的最大项之积表达式:

1

标准形式

多变量卡诺图化简

多输出函数

2

4

6

Content

卡诺图

3

混合逻辑组合电路

5


  • 卡诺图提供了练习:把下面的最小项之和表达式转换为等价的最大项之积表达式:简化布尔表达式的一种系统方法,如果正确使用,会得到尽可能简化的积之和或和之积表达式;

  • 卡诺图是用图示方法将各种输入变量取值组合下的输出函数值一一表达出来;

  • 卡诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变量之间的逻辑关系,每一个小方格对应着真值表中的一行取值组合;

  • 卡诺图中每一个小方格对应着逻辑函数中的一个最小项或最大项。


  • 卡诺图与真值表练习:把下面的最小项之和表达式转换为等价的最大项之积表达式:

0、1方格:对应着输入

A反变量;

0,2方格:对应着输入B的反变量;

1、3方格:对应着输入B的正变量;

2、3方格:对应着输入A的正变量

相邻方格只有一位不同。


  • 二变量卡诺图练习:把下面的最小项之和表达式转换为等价的最大项之积表达式:

AB

A

B

0

1

00

01

11

10

  • 四变量卡诺图

0

m0

m2

m0

m2

m6

m4

0

1

m1

m3

1

m1

m3

m7

m5

AB

CD

00

01

11

10

  • 三变量卡诺图

00

m0

m4

m12

m8

C

01

m1

m5

m13

m9

m3

11

m7

m15

m11

10

m2

m6

m14

m10

相邻方格只有一位不同


2练习:把下面的最小项之和表达式转换为等价的最大项之积表达式:

0

1

0

0

1

B

A

1

1

1

0

0

1

0

2

3

1

  • 卡诺图与真值表

两个最小项相加可以消去互为反变量的因子

卡诺图形象地表达了变量各个最小项之间在逻辑上的相邻性。

仅有一个变量不同的小方格相邻

有一个以上变量不同的小方格不相邻



  • 三变量卡诺图在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:


  • 三变量卡诺图与最小项的关系在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:


  • 将布尔方程转换为卡诺图在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

    • step1:观察变量个数,确定卡诺图中变量个数;

    • step2:确定卡诺图中变量排列格式,以及卡诺图中每一格中变量的取值组合:

    • step3:如方程不是标准形式,将布尔方程转换为积之和标准形式;

    • step4:如标准形式为积之和,找到每一项取值组合在卡诺图中的位置,填1,其余位置填0。

    • 注:如标准形式为和之积,也可直接填入卡诺图中,注意与积之和标准形式的区别。


AB在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

C

0

1

  • 例:根据下面的布尔方程构造卡诺图:

  • 解:1.确定变量个数:三变量

  • 2.确定卡诺图格式:

  • 格式1:

1

1

1

1

1


BC在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

A

0

1

  • 格式2:

1

1

1

1

1


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

c

0

1

  • 例:根据下面布尔方程构造卡诺图:

    f(a,b,c) = ac’ + abc + bc’

    解:

    step1:观察变量个数:三变量;

    step2:确定卡诺图格式:


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

c

0

1

step3:转换为标准形式:

f(a,b,c) = ac’ + abc + bc’

=ac’(b+b’)+abc+(a+a’)bc’

=abc’+ab’c’+abc+abc’+a’bc’

=abc’+ab’c’+abc+a’bc’

step4: 填入卡诺图

1

1

1

1


XY在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

XY

10

00

01

11

10

00

01

11

Z

Z

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

  • 练习:根据下面布尔方程构造卡诺图:

  • f1(x,y,z)= ∑ m(2,5,6,7)

  • f2(x, y, z)=∑m(0,1,2,3,6)


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

c

0

1

  • 例:写出下面卡诺图所表示的标准积之和,并写出其中可消去的项。

1

1

1

1

1

标准积之和:

可消去的项?

相邻项


两个最小项为一组在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

  • 三变量卡诺图中变量的消去

最小项

只能1,2,4,8个最小项为一组

四个最小项为一组


YZ在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

00

01

11

10

WX

m0

m1

m3

m2

00

m4

m5

m7

m6

01

m12

m13

m15

m14

11

m8

m9

m11

m10

10

  • 四变量卡诺图

一个方格表示一个四变量的最小项;

若2个相邻方格组成一个长方形表示一个三变量的乘积项;

若4个相邻方格组成一个长方形表示一个二变量的乘积项;

若8个相邻方格组合成一个长方形,表示一个变量的输入值;

将16个方格合成一个,则代表逻辑1.


1在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

  • 将下面的布尔方程填入卡诺图中

    (A,B,C,D) = ∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,13).

    step1:构造四变量卡诺图,标注输入变量

    step2:将最小项填入相应位置的方格中

A’

B’D’

AB

00

01

11

10

CD

00

1

1

1

BC’D

1

1

1

01

1

1

11

1

1

1

10

g(A,B,C,D) = A’+B’D’+BC’D


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

c

1

1

1

0

1

1

  • 例:化简下面的布尔方程:

    f(a,b,c) = ac’ + abc + bc’

    =a(b+b’)c’+abc+(a+a’)bc’

    =abc’+ab’c’+abc+abc’+a’bc’

    =abc’+ab’c’+abc+a’bc’

    = ac’+ab+bc’

化为标准最小项之和

消去a,得到bc’

消去b,得到ac’

消去c,得到ab


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

c

0

1

  • 例:化简下面的布尔方程:

消去A,C,得到B’

1

1

1

1

1

消去B,得到A’C


xy在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

z

00

01

11

10

0

1

1

1

1

1

xy

z

1

1

1

1

1

  • 用卡诺图化简布尔方程:f1(x,y,z)= ∑ m(2,5,6,7)

    f2(x, y, z)=∑m(0,1,2,3,6)

f1(x, y, z) = yz’ + xz

f2(x, y, z) = x’+yz’


1在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

1

1

1

1

1

1

1

新的最小项

1

1

1

新的最小项

  • 化简时应注意的几个问题:

  • (1) 圈必须覆盖所有的1。

  • (2) 对每一个圈,其中1的个数必须是2n个相邻的1。

  • (3) 圈的个数必须最少 (乘积项最少) 。

  • (4) 圈越大越好(消去的变量多)。

  • (5) 每个圈至少包含一个新的最小项。


  • 蕴含在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:: 任何单个最小项或允许的最小项组 。

    图中红色虚线框所示

  • 质蕴含 (PI):不能与任何其他最小项或最小项组组合的蕴含。

    图中AC’D’是质蕴含,A’BC’D,BCD还可以跟其他最小项组组合,所以不是质蕴含。

  • 必要质蕴含 (EPI): 包含一个或多个唯一的最小项,至少包含一个不被其他任何质蕴含所包含的最小项。

    ABC’没有一个不被其他质蕴含包含的最小项,所以不是必要质蕴含,BD是必要质蕴含。

AB

CD

00

01

11

10

1

00

1

01

1

1

11

1

1

10

1

BCD

ABC’

A’BC’D

AC’D’

BD


b’在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

ad

ab

00

01

11

10

cd

1

1

00

1

1

1

01

1

1

1

11

a’b’

1

1

1

10

acd

a’cd’

  • 例:蕴含:a’b’,acd,a’cd’,ad,b’

  • a’b’不是一个质蕴含因为它同时包含在b’中.

  • acd不是一个质蕴含因为它同时包含在 ad中.

  • b’, ad, a’cd’ 是质蕴含

  • b’, ad, a’cd’ 是必要质蕴含.


  • f在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:2(a,b,c,d),的卡诺图如下所示,找出其中的必要质蕴含。

  • f2的必要质蕴含为b’d.

质蕴含:

a’c’d

b’d

a’bd’

a’bc’

bcd’

acd’

ab’c

ab

10

00

01

11

cd

1

00

1

1

1

01

1

1

11

1

1

1

10


`在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

  • f(a,b,c,d) = ∑m(0,1,4,5,8,11,12,13,15).

    质蕴含个数:5

    必要质蕴含:a’c’,c’d’,acd.

  • Ans:

    f(a,b,c,d) = c’d’ + a’c’ + bc’ + acd

bc’

c’d’

ab

cd

1

1

1

1

a’c’

1

1

1

1

1

abd

acd


xy在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

z

00

01

11

10

1

1

1

0

1

1

1

1

利用卡诺图化简下面的布尔方程

F(x,y,z)=∑(0,2,3,4,5,7)

质蕴含个数:6

没有必要质蕴含。

Ans:

F(x,y,z)=x’z’+yz+xy’

F(x,y,z)=y’z’+x’y+xz

xy

z

00

01

11

10

1

0

1

1

1

1

1

1

有多于一种的等价化简结果


  • f(a,b,c,d) = 在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:∑(0,3,4,5,7,11,13,15)

    包含四个质蕴含

    其中有三个为必要质蕴含

  • Ans:

    f(a,b,c,d) =a’c’d’+cd+bc

ab

cd

1

1

1

1

1

1

1

1


利用卡诺图化简下面的布尔方程在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

F(w,x,y,z)=∑(0,1,4,5,9,11,13,15)

F(a,b,c,d)=∑(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)

F(a,b,c,d)=∑(1,3,4,5,7,8,9,11,15)

F(w,x,y,z)=∑(1,5,7,8,9,10,11,13,15)


F(w,x,y,z)=∑(0,1,4,5,9,11,13,15)在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

wx

10

00

01

11

yz

00

1

1

1

1

01

1

1

1

11

1

10

ANS:F(w,x,y,z)=w’y’+wz


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

cd

10

10

00

00

01

01

11

11

ab

cd

00

00

01

01

11

11

10

10

F(a,b,c,d)=∑(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

F(a,b,c,d)=c’+a’d’+bd’


ab在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

cd

00

01

11

10

F(a,b,c,d)=∑(1,3,4,5,7,8,9,11,15)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ANS:F(a,b,c,d)=cd+a’d+a’bc’+ab’c’


wx在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:

10

00

01

11

yz

00

01

11

10

F(w,x,y,z)=∑(1,5,7,8,9,10,11,13,15)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

F(w,x,y,z)=y’z+xz+wx’


  • 不完全确定的函数在卡诺图中,一个最小项对应图中一个变量取值的组合(反映在编号上)的小格子,两个逻辑相邻的最小项对应的小格子位置间有以下三种情况:(随意项)

    随意项的产生

    由于不可能所有的输入组合都发生,所以不可能知道每个输入变量组合的输出值。

    不用作输出函数的一部分出现的最小项或最大项称为随意项。



  • 确定和使用随意项在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。(don’t care minterms)

    • 写出真值表;

    • 确定是否所有输入组合都用于产生输出,对于没有用于确定输出值的输入变量组合为随意项;

    • 在卡诺图中用特写的标号(d)标识出随意项;

    • 产生尽可能大的包含随意项与一般最小项组和的必要质蕴含;

    • 不要将随意项与它们自己组合。


b在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。1b0

00

01

11

10

b3b2

00

0

0

0

0

01

0

1

1

1

11

d

d

d

d

10

1

1

d

d

例:8421BCD码输入的四舍五入电路

真值表如右图所示


A=f(w,x,y,z)=∑(5,6,7,8,9)+在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

∑d(10,11,12,13,14,15)

B=f(w,x,y,z)=∑(1,2,3,4,9)+

∑d(10,11,12,13,14,15)

C=f(w,x,y,z)=∑(0,3,4,7,8)+

∑d(10,11,12,13,14,15)

D=f(w,x,y,z)=∑(0,2,4,6,8)+

∑d(10,11,12,13,14,15)


A=w+xz+xy在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

B=x’y+x’z+xyz’

C=y’z’+yz

D=z’


cd在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

ab

01

11

00

10

0

1

0

1

00

1

1

0

1

01

0

0

d

d

11

10

1

1

d

d

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

d

d

1

1

d

d

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

d

d

1

1

d

d

  • 练习:化简下图所示的带随意项的卡诺图

解:f = a’c’d+ab’+cd’+a’bc’

f = a’c’d+ab’+cd’+a’bd’


  • 化简最大项方程在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

    • 利用卡诺图化简最大项方程与化简最小项方程的过程基本是一致的

    • 在化简最大项方程时,先对0分组产生最小和项

    • 对0分组的法则和对1分组的法则是一样的


  • 和之积与卡诺图在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。


a+b’+c’+d在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

cd

ab

例:依据右图所示卡诺图写

出相应的和之积化简式

00

01

11

10

00

1

1

1

1

1

1

1

0

01

  • F = (a’+b)(a’+c)(a+b’+c’+d)

0

0

1

1

11

0

0

0

0

10

a’+c

a’+b


AB在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

10

00

01

11

CD

00

01

0

0

0

0

11

0

10

0

练习:利用卡诺图对下面的和之积表达式进行化简

化为标准和之积:

C+D

F=(C+D)(A+B+D)(A’+B+C)

A’+B+C

A+B+D


Content3

真值表问题在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

1

多变量卡诺图(了解)

标准形式

多输出函数

2

4

6

Content

卡诺图

3

混合逻辑组合电路

5


  • 五变量卡诺图结构在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

相同颜色块的项为卡诺图中的相邻项


  • 五变量卡诺图结构在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

相同颜色块的项为卡诺图中的相邻项


  • 奎恩-麦克拉斯基法在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。(Quine-Mcluskey)

  • 原理:合并两个相邻最小项,找出全部质蕴含项,再求必要质蕴含构成最简表达式。由于其列表过程有严格的算法,便于编制计算机解题程序由计算机完成逻辑函数的化简。


Content4

真值表问题在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

1

标准形式

多变量卡诺图化简

多输出函数

2

4

6

Content

卡诺图

3

混合逻辑组合电路

5


  • 断言状态在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

    断言状态也称为有效状态。断言状态指设计者认为逻辑门应该处于的逻辑状态或电平(高或低)。

    例:假定使用非门的输出来驱动LED,而且为了点亮LED,需要输出低电平。因此,低电平就是非门输出的断言状态。为了得到低电平输出,非门的输入必须是高电平,因此高电平是非门输入的断言状态。这样,小圆圈应该位于非门的输出端,当输入为低电平时,输出为非断言状态,LED熄灭。


低电平表示为“在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。1”负逻辑

高电平表示为“1”,正逻辑

F=AB

F=A+B

L:低电平

H:高电平

大多数系统中均采用正逻辑,有些复杂系统中为分析方便将正、负逻辑混合使用,称为混合逻辑系统


  • 正逻辑体制到负逻辑体制的变换规则为: 在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

    step1:在门电路的输入端加小圆圈。

    step2:在门电路符号的输出端加小圆圈。但该处若已有小圆圈,则不加小圆圈且去掉原有的小圆圈。

    step3:将与门变成或门,反之亦然。


=在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

+

=

L

A

B

AB

L

=

AB

&

A

A

1

B

B

例:与门的正负逻辑转换


=在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

=

+

L

A

B

A

B

L

=

A

+

B

A

&

A

1

B

B

例:或门的正负逻辑转换


例:与非门的正负逻辑转换在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。


例:或非门的正负逻辑转换在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。


  • 圆圈逻辑的转换在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

    step1: 从输出门开始,转换任何不匹配逻辑电平的输出门;

    step2:为适应转换重画输出门(利用正负逻辑转换);

    step3:继续转换下一级,直到所有不匹配电平都被转换为止。

    目的:在任何情况下都将一个圆圈输出同一个圆圈输入连接起来,这样可以直接从逻辑图确定逻辑输出函数。

低有效输出接低有效输入, 高有效输出接高有效输入


混合逻辑中逻辑符号的变换在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

3.一端消去或加上小圆圈,同时将相应变量取反,其逻辑关系不变。

1.逻辑图中任一条线的两端同时加上或消去小圆圈,其逻辑关系不变。

2.任一条线一端上的小圆圈移到另一端,其逻辑关系不变。


H在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

H

H

  • 例:将下面电路逻辑电路转换为圆圈逻辑

H=D+C(A’+B’)


Content5

真值表问题在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

1

标准形式

多变量卡诺图化简

2

4

多输出函数

6

Content

卡诺图

3

混合逻辑组合电路

5


  • 多输出函数在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

    利用卡诺图单独地化简每个输出函数

    注意其中的共享项


AB在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

AB

00

00

01

01

11

11

10

10

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

C

C

  • 例:画出下面多输出函数的逻辑图. F1=f(a,b,c)=∑(2,6,7)

    F2=f(a,b,c)=∑(1,3,7)

F1=a’c+bc

F1=a’c+abc

F2=bc’+abc

F2=bc’+ab


F1=a’c+bc在存在随意项的情况下,可以把一个或几个随意项写进逻辑函数中,也可以把随意项从函数式中删掉,不影响函数值。因此在逻辑函数化简时,利用随意项有时会给化简带来方便。

F1=a’c+abc

F2=bc’+abc

F2=bc’+ab


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