5.5 對數函數的導數

5.5 對數函數的導數

5.5 對數函數的導數 學習目標求自然對數函數的導數。用微積分分析含自然對數函數的函數圖形。利用對數的定義和換底公式來計算不同底數的對數算式。求不同底數的指數函數與對數函數的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

對數函數的導數 隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

對數函數的導數 此結果與連鎖律版本的公式摘要如下：第五章　指數與對數函數 P.5-31

在紙上先簡單描繪 y ＝ ln x 的圖形，並在圖上選若干點並畫出其切線，試問這些切線斜率從左到右的變化為何？是否等於零？利用對數函數導數的公式來驗證所得的結論。探索第五章　指數與對數函數 P.5-31

範例1　求對數函數的導數 求 f (x) ＝ ln 2x 的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

範例1　求對數函數的導數（解） 令 u ＝ 2x，則 du/dx ＝ 2，再利用連鎖律可得如下。第五章　指數與對數函數 P.5-31

檢查站 1 求 f (x) ＝ ln 5x 的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-31

範例 2　求對數函數的導數 求下列函數的導數。 a. f (x) = ln(2x2 + 4) b. f (x) = x ln x 第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例 2　求對數函數的導數（解） a. 令 u ＝ 2x2＋ 4，則 du/dx ＝ 4x，再利用連鎖律即可得以下的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例 2　求對數函數的導數（解） b. 利用導數的乘積律即可得所求的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例 2　求對數函數的導數（解） c. 利用導數的商律可得所求的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-32

學習提示 在求對數函數的導數時，不要馬上就做微分，先利用對數性質來改寫函數。要想知道先改寫函數的好處，不妨用連鎖律對微分，將計算的過程與範例 3比較就了解。第五章　指數與對數函數 P.5-32

檢查站 2 求下列函數的導數。 a. f (x) = ln(x2－ 4) b. f (x) = x2 ln x 第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例3　微分前先改寫 求函數的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-32

範例3　微分前先改寫（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-32

檢查站 3 求函數的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-32

探索試問範例 3 中函數的定義域為何？函數f (x) = 1/2[(x + 1)] 的定義域為何？一般而言，含有對數的函數經化簡後，其定義域不一定相同。譬如，兩函數 y1＝ ln x2和y2＝ 2 ln x 的定義域是否相同？試畫出兩圖形。第五章　指數與對數函數 P.5-33

對數函數的導數 下個例子更可清楚看出微分前改寫函數的好處。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例4　微分前先改寫 求 f (x) = ln[x(x2 + 1)2] 的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例4　微分前先改寫（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-33

檢查站 4 求的導數。第五章　指數與對數函數 P.5-33

學習提示 若不先改寫函數，直接求範例 4 函數的導數是不容易的，當然最後會得到與範例 4 相同的答案，只是計算過程相當麻煩。第五章　指數與對數函數 P.5-33

應用範例5　分析圖形 分析函數的圖形。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例5　分析圖形（解） 從圖 5.16 可知函數在 x ＝ 1 時有極小值。若要以分析法求極小值，令 f 的導數為零並解 x 值，即可得臨界數。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例5　分析圖形（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例5　分析圖形（解） 觀察這兩個可能的臨界數，其中只有正數位於 f 的定義域上，之後利用一階導數檢定法即可確定函數在 x ＝ 1 時有相對極小值。第五章　指數與對數函數 P.5-33

檢查站 5 求函數 f (x) ＝ x － 2 ln x 的相對極值。第五章　指數與對數函數 P.5-33

範例6　求變化率 一群 200 名大學生在他們大一的第一學期都修過西班牙文課，但是之後就沒有再修西班牙文課。在四年的大學生活中，他們每 6 個月接受一次考試，其平均考試成績 p (百分比) 可寫為 p=91.6 － 15.6 ln(t ＋ 1), 0 ≤ t ≤ 48 其中 t 為時間 (月) ，如圖 5.17 所示。試問一年後考試平均成績的變化率為何？第五章　指數與對數函數 P.5-34

範例6　求變化率（續） 第五章　指數與對數函數 P.5-34 圖5.17

範例6　求變化率（解） 變化率為當 t ＝ 12 時，dp/dt ＝－1.2；即，平均成績是以每月 1.2% 的速率在遞減。第五章　指數與對數函數 P.5-34

檢查站 6 假設範例 6 的考試平均成績可寫為 p ＝ 92.3 － 16.9 ln (t ＋ 1)，其中 t 為時間 (月)。試問一年後考試平均成績的變化率為何？並與範例 6 的結果做比較。第五章　指數與對數函數 P.5-34

不同底數 本章一開始首先介紹一般指數函數，也就是定義 f (x) ＝ ax 其中 a > 0 且 a ≠ 1。其所對應的以 a 為底的對數(logarithm to the base a) 可定義為 loga x ＝ b　若且唯若　ab＝ x 與自然對數函數相同，以 a 為底的對數函數的定義域為所有正數。第五章　指數與對數函數 P.5-34

範例7　求對數值 不用計算機，試求下列各對數值。 a. log2 8 b. log10 100 c. 1og10 d. 1og3 81 第五章　指數與對數函數 P.5-34

範例7　求對數值（解） a. log2 8 = 3 23 = 8 b. log10 100 = 2 102 = 100 c. 1og10 =－1 10－1 = d. 1og3 81 = 4 34 = 81 第五章　指數與對數函數 P.5-34

檢查站 7 不用計算機，試求下列各對數值。 a. log2 16 d. 1og5 125 第五章　指數與對數函數 P.5-34

不同底數 以 10 為底的對數稱為常用對數(common logarithms)，大多數的計算機只有兩個對數按鍵：一個為自然對數，其符號為，另一個則為常用對數，其符號為。至於不同底數的對數可以換底公式來求值。第五章　指數與對數函數 P.5-34~5-35

範例8　求對數值 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 3 b. log3 6 c. log2 (－1) 第五章　指數與對數函數 P.5-35

範例8　求對數值（解） 每一題可利用換底公式和計算機來作答。 c. log2 (－1)無定義第五章　指數與對數函數 P.5-35

檢查站 8 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 5 b. log3 18 c. log4 80 d. log16 0.25 第五章　指數與對數函數 P.5-35

不同底數 在計算不以 e 為底數的指數或對數函數的導數時，可以轉換成以 e 為底，或者利用以下的微分法則。第五章　指數與對數函數 P.5-35

不同底數（證明） 根據定義可得 ax＝ e(ln a) x，再令 u ＝ (ln a)x，並對以 e 為底的對數微分，即可推導出第一個法則。第五章　指數與對數函數 P.5-35

學習提示 以 e 為底的換底公式為 ax＝ e(ln a)x 和第五章　指數與對數函數 P.5-35

範例9　求變化率 放射性碳同位素的半衰期為 5715 年，若在某物體中的碳同位素為1 公克，則 t 年後的碳同位素數量 A 為試問在 t ＝ 10,000 年後同位素數量的變化率為何？第五章　指數與對數函數 P.5-35

範例9　求變化率（解） A 對 t 的導數為當 t ＝ 10,000 時，該數量的變化率為也就是，在此物體中的碳同位素數量以每年 0.000036 公克的速度衰減。第五章　指數與對數函數 P.5-35~5-36

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