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5.5 對數函數的導數

5.5 對數函數的導數. 5.5 對數函數的導數. 學習目標 求自然對數函數的導數。 用微積分分析含自然對數函數的函數圖形。 利用對數的定義和換底公式來計算不同底數的對數算式。 求不同底數的指數函數與對數函數的導數。. 第五章 指數與對數函數. P.5-31. 對數函數的導數. 隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。. 第五章 指數與對數函數. P.5-31. 對數函數的導數. 此結果與連鎖律版本的公式摘要如下:. 第五章 指數與對數函數. P.5-31.

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5.5 對數函數的導數

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  1. 5.5 對數函數的導數

  2. 5.5 對數函數的導數 學習目標 求自然對數函數的導數。 用微積分分析含自然對數函數的函數圖形。 利用對數的定義和換底公式來計算不同底數的對數算式。 求不同底數的指數函數與對數函數的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  3. 對數函數的導數 隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  4. 對數函數的導數 此結果與連鎖律版本的公式摘要如下: 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  5. 在紙上先簡單描繪 y = ln x 的圖形,並在圖上選若干點並畫出其切線,試問這些切線斜率從左到右的變化為何?是否等於零?利用對數函數導數的公式來驗證所得的結論。 探索 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  6. 範例1 求對數函數的導數 求 f (x) = ln 2x 的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  7. 範例1 求對數函數的導數 (解) 令 u = 2x,則 du/dx = 2,再利用連鎖律可得如下。 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  8. 檢查站 1 求 f (x) = ln 5x 的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-31

  9. 範例 2 求對數函數的導數 求下列函數的導數。 a. f (x) = ln(2x2 + 4) b. f (x) = x ln x 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  10. 範例 2 求對數函數的導數 (解) a. 令 u = 2x2+ 4,則 du/dx = 4x,再利用連鎖律即可得以下的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  11. 範例 2 求對數函數的導數 (解) b. 利用導數的乘積律即可得所求的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  12. 範例 2 求對數函數的導數 (解) c. 利用導數的商律可得所求的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  13. 學習提示 在求對數函數的導數時,不要馬上就做微分,先利用對數性質來改寫函數。要想知道先改寫函數的好處,不妨用連鎖律對 微分,將計算的過程與範例 3比較就了解。 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  14. 檢查站 2 求下列函數的導數。 a. f (x) = ln(x2- 4) b. f (x) = x2 ln x 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  15. 範例3 微分前先改寫 求函數 的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  16. 範例3 微分前先改寫 (解) 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  17. 檢查站 3 求函數 的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-32

  18. 探索 試問範例 3 中函數 的定義域為何? 函數f (x) = 1/2[(x + 1)] 的定義域為何?一般而言,含有對數的函數經化簡後,其定義域不一定相同。譬如,兩函數 y1= ln x2和y2= 2 ln x 的定義域是否相同?試畫出兩圖形。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  19. 對數函數的導數 下個例子更可清楚看出微分前改寫函數的好處。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  20. 範例4 微分前先改寫 求 f (x) = ln[x(x2 + 1)2] 的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  21. 範例4 微分前先改寫 (解) 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  22. 檢查站 4 求 的導數。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  23. 學習提示 若不先改寫函數,直接求範例 4 函數的導數是不容易的, 當然最後會得到與範例 4 相同的答案,只是計算過程相當麻煩。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  24. 應用範例5 分析圖形 分析函數 的圖形。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  25. 範例5 分析圖形 (解) 從圖 5.16 可知函數在 x = 1 時有極小值。若要以分析法求極小值,令 f 的導數為零並解 x 值,即可得臨界數。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  26. 範例5 分析圖形 (解) 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  27. 範例5 分析圖形 (解) 觀察這兩個可能的臨界數,其中只有正數位於 f 的定義域上,之後利用一階導數檢定法即可確定函數在 x = 1 時有相對極小值。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  28. 檢查站 5 求函數 f (x) = x - 2 ln x 的相對極值。 第五章 指數與對數函數 P.5-33

  29. 範例6 求變化率 一群 200 名大學生在他們大一的第一學期都修過西班牙文課,但是之後就沒有再修西班牙文課。在四年的大學生活中,他們每 6 個月接受一次考試,其平均考試成績 p (百分比) 可寫為 p=91.6 - 15.6 ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 48 其中 t 為時間 (月) ,如圖 5.17 所示。試問一年後考試平均成績的變化率為何? 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  30. 範例6 求變化率 (續) 第五章 指數與對數函數 P.5-34 圖5.17

  31. 範例6 求變化率 (解) 變化率為 當 t = 12 時,dp/dt = -1.2;即,平均成績是以每月 1.2% 的速率在遞減。 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  32. 檢查站 6 假設範例 6 的考試平均成績可寫為 p = 92.3 - 16.9 ln (t + 1),其中 t 為時間 (月)。試問一年後考試平均成績的變化率為何?並與範例 6 的結果做比較。 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  33. 不同底數 本章一開始首先介紹一般指數函數,也就是定義 f (x) = ax 其中 a > 0 且 a ≠ 1。其所對應的以 a 為底的對數(logarithm to the base a) 可定義為 loga x = b 若且唯若 ab= x 與自然對數函數相同,以 a 為底的對數函數的定義域為所有正數。 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  34. 範例7 求對數值 不用計算機,試求下列各對數值。 a. log2 8 b. log10 100 c. 1og10 d. 1og3 81 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  35. 範例7 求對數值 (解) a. log2 8 = 3 23 = 8 b. log10 100 = 2 102 = 100 c. 1og10 =-1 10-1 = d. 1og3 81 = 4 34 = 81 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  36. 檢查站 7 不用計算機,試求下列各對數值。 a. log2 16 d. 1og5 125 第五章 指數與對數函數 P.5-34

  37. 不同底數 以 10 為底的對數稱為常用對數(common logarithms),大多數的計算機只有兩個對數按鍵: 一個為自然對數,其符號為 ,另一個則為常用對數,其符號為 。至於不同底數的對數可以換底公式來求值。 第五章 指數與對數函數 P.5-34~5-35

  38. 範例8 求對數值 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 3 b. log3 6 c. log2 (-1) 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  39. 範例8 求對數值 (解) 每一題可利用換底公式和計算機來作答。 c. log2 (-1)無定義 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  40. 檢查站 8 利用換底公式和計算機來求下列對數值。 a. log2 5 b. log3 18 c. log4 80 d. log16 0.25 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  41. 不同底數 在計算不以 e 為底數的指數或對數函數的導數時,可以轉換成以 e 為底,或者利用以下的微分法則。 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  42. 不同底數(證明) 根據定義可得 ax= e(ln a) x,再令 u = (ln a)x,並對以 e 為底的對數微分,即可推導出第一個法則。 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  43. 學習提示 以 e 為底的換底公式為 ax= e(ln a)x 和 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  44. 範例9 求變化率 放射性碳同位素的半衰期為 5715 年,若在某物體中的碳同位素為1 公克,則 t 年後的碳同位素數量 A 為 試問在 t = 10,000 年後同位素數量的變化率為何? 第五章 指數與對數函數 P.5-35

  45. 範例9 求變化率 (解) A 對 t 的導數為 當 t = 10,000 時,該數量的變化率為 也就是,在此物體中的碳同位素數量以每年 0.000036 公克的速度衰減。 第五章 指數與對數函數 P.5-35~5-36

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