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y. x. o. 3.3.2简单的线性规划问题(1). 一 .. 学习目标 1 .知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2 .过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3 .情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生 “ 建模 ” 和解决实际问题的能力。. 【 教学重点 】 用图解法解决简单的线性规划问题 【 教学难点 】

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y

x

o

3.3.2简单的线性规划问题(1)


3 3 2 1

..学习目标

1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;

2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力;

3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。


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  • 教学重点】

  • 用图解法解决简单的线性规划问题

  • 【教学难点】

  • 准确求得线性规划问题的最优解


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一、实际问题

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

按甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可得二元一次不等式组


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将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用那种生产安排利润最大?

设工厂获得的利润为z,则z=2x+3y

把z=2x+3y变形为

它表示斜率为 的直线系,z与这条直线的截距有关。

y

4

3

M

o

4

8

x

如图可见,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大。


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二、基本概念将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。

把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。

y

4

可行域

最优解

满足线性约束的解

(x,y)叫做可行解。

3

由所有可行解组成的集合叫做可行域。

可行解

o

4

8

x

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。


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三、例题将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

例1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?

分析:将已知数据列成表格


Xkg a ykg b z
解:设每天食用将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么

目标函数为:z=28x+21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域


Z 28x 21y
把目标函数将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。z=28x+21y 变形为

它表示斜率为

随z变化的一组平行直线系

y

6/7

5/7

是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小。

M

3/7

如图可见,当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小。

3/7

5/7

6/7

x

o


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M将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。点是两条直线的交点,解方程组

得M点的坐标为:

所以zmin=28x+21y=16

由此可知,每天食用食物A143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元。


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四、练习题将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。:

1、求z=2x+y的最大值,使x、y满足约束条件:

2、求z=3x+5y的最大值,使x、y满足约束条件:


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y将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

A

1.解:作出平面区域

o

x

C

B

z=2x+y

作出直线y=-2x+z的图像,可知z要求最大值,即直线经过C点时。

求得C点坐标为(2,-1),则Zmax=2x+y=3


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2.解:作出平面区域将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

y

A

o

x

C

z=3x+5y

B

作出直线3x+5y=z 的图像,可知直线经过A点时,Z取最大值;直线经过B点时,Z取最小值。

求得A(1.5,2.5),B(-2,-1),则Zmax=17,Zmin=-11。


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解线性规划问题的步骤:将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

(1)画:

画出线性约束条件所表示的可行域;

(2)移:

在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点

且纵截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;

(4)答:作出答案。


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几个结论:将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

1、线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得。

2、求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义--------与y轴上的截距相关的数。


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五、课后练习:将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

习题3.3

A组 3、4


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y将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

x

o

3.3.2简单的线性规划问题(2)


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将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。、复习概念

一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。

把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。

y

4

可行域

最优解

满足线性约束的解

(x,y)叫做可行解。

3

由所有可行解组成的集合叫做可行域。

可行解

o

4

8

x

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。


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二、例题分析将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位)

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定,初中每人每年可收学费1600元,高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个?每年收费的学费总额最多?


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解:设开设初中班将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。x个,高中班y个。因办学规模以20~30个班为宜,所以, 20≤x+y≤30

而由于资金限制,26x+54y+2×2x+2×3y≤1200

y

另外,开设的班级不能为负,则x≥0,y≥0。

把上面四个不等式合在一起,

得到

30

20

o

40

x

20

30


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设收取的学费总额为将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。Z万元,则目标函数

Z=0.16×45x+0.27×40y=7.2x+10.8y。

Z=7.2x+10.8y变形为

它表示斜率为 的直线系,截距为 的直线

y

由图可以看出,当直线Z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时,截距最大,即Z最大。

30

20

M

易求得M(20,10),则Zmax= 7.2x+10.8y=252

o

40

x

20

30

故开设20个初中班和10个高中班,收取的学费最多,为252万元。


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将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?

解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

y

x

o


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解:设生产甲种肥料将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。x车皮、乙种肥料y车皮,能够产生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图:

把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率为

-2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。

由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时,

截距2z最大,即z最大。

y

容易求得M点的坐标为

(2,2),则Zmin=3

故生产甲种、乙种肥料各

2车皮,能够产生最大利润,

最大利润为3万元。

M

x

o


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三、练习题将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工,在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h,A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大?

设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z,目标函数为Z=3x+2y,满足的条件是


Z 3x 2y z
Z将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。= 3x+2y变形为它表示斜率为 的直线系,Z与这条直线的截距有关。

当直线经过点M时,截距最大,Z最大。

Y

解方程组

500

可得M(200,100)

Z 的最大值Z =

3x+2y=800

200

M

故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元。

400

O

250

X


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四、作业将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

P93习题3.3

B组:2、3


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