二十一世紀中國數學發展

1. 二十一世紀中國數學發展 作者：丘成桐教授

2. 作者簡介 丘成桐教授學術簡歷 丘成桐教授，著名數學家，現任美國哈佛大學數學系教授。 丘成桐教授早年在香港中文大學祟基學院修讀數學，其後前往美國加州大學柏克萊學院從事數學的博士研究。 丘成桐教授第一次在數學上的歷史性成就，是在1976年解決幾何學上的一個大難題–卡拉比猜想。在此之前，數學界有兩個大學派，一個是微分幾何，一個是微分方程，兩個學派在不同方向發展。丘成桐教授將兩者最重要方面融合，解決問題，其影響直至今天，使兩個大方向變成數學主流。因為這個成就，丘成桐教授在1982年獲得數學界最高榮譽–Fields Medal (菲爾滋獎)。

3. 作者簡介 其後，丘成桐教授繼續在幾何、拓撲學、物理學上做出許多卓越成就。例如，他用極少曲面研究物理學上廣義相對論及黑洞理論。由於這些成就，丘成桐教授幾乎囊括數學界大獎。1994年，他獲瑞士皇家科學院頒發CrafoordPrize (克日阿福德 獎)。 1997年5月，丘成桐教授的成就又一次被肯定，這就是取得美國最高科學獎–美國國家科學獎(National Medal of Science)，由美國總統頒發。這個獎項被稱為美國的諾貝爾獎，是由物理、數學、生物、化學、工程、醫學界選出。 丘成桐教授自1993年起出任香港中文大學數學系講座教授，每年定期回香港指導研究工作；同時與楊振寧教授主持香港中文大學數學研究所，致力推動中國及香港在數學方面的研究工作。

4. 二十一世紀中國數學發展 今年是商務印書館成立的一百周年，這是一個極有意義的一年，香港也回歸祖國，凡有血性的中國人都覺得興奮。我希望香港，作為中國的一部分，不僅在經濟上領先，在文藝科學上也協助中國成為世界的重心。 多年來，中國文史哲學的傳播和維繫都得益於商務出版的書籍，希望商務能繼續肩負此重任。如今還有三年就進入二十一世紀了，這一百年來中國無論在政治經濟都有極大的變化，也有極大的進步；然而文藝和科學雖也受到西方的衝擊，到如今卻還沒有明顯的果實。在科學上，二十世紀是一個偉大的時代，前五十年基本科學的發展已經從根本上改變了哲學和科技。

5. 二十一世紀中國數學發展 在宏觀方面，時空已混為一體，對整個宇宙的看法已經完全改變；微觀方面，量子力學和量子場論不單深入的瞭解基本粒子的結構，也將人類思維帶入新的境界。這三十年間材料科學、訊息科學受其影響而發展，直接改變了我們日常的生活；基因科學的發展，將人類對生物構造的認識帶入新紀元。這些都是前人所不能想像的，都是由基本科學發展而成的。中國能否成為最先進的科技大國，就要看政府和學者能否接受和重視基本科學的傳統。

6. (一)古代中國缺乏基本科學發展 二十一世紀將會是一個值得中國人興奮的時代。十多年來，普及教育已經培養了數億年輕學生，現代科技的成果已經逐漸引進到偏遠的農村，有志氣的中國年輕人會有機會將中國建設成為世界文化的中心，漢唐的盛業，應當會重現。西方文明的極端發展，當然有很多值得學習的地方，但它也缺乏了東方仁道之愛的精神，忠恕之道使中華民族維繫在一起，今日的中國，再也不受到西方的輕視。然而這種傳統的中國倫理精神也阻礙著國人去求真求智。今日就藉這個演講解釋現代中國數學所面臨的問題。

7. (一)古代中國缺乏基本科學發展 在基本科學方面來逆，中國遠不如西方，古代中國的偉大發明都是技術上的發現。沒有基本科學的背景，這些發明都不能發揚光大。基本科學沒有在中國發展的一個主要原因是中國數學從古以來不講究系統化的研究。中國第一本數學著作叫【九章算術】，大約寫于西漢東漢期間，其中列舉九十三條實例，並無一條定理，也不推導結果，只能夠從經驗得出方法。到三國時劉徽才比較詳盡的注釋九章，並儘量加以推導，但還是欠缺三段論證的嚴謹性。

8. (一)古代中國缺乏基本科學發展 古希臘的【幾何原本】要到明末利馬竇和徐光啟才翻譯出來，他們只譯了前六章，到十九世紀李善蘭才譯完後七章。劉徽以後的數學只談計算、只講究實用，數學的推理和本質不受到重視，所以沒有辦法接受文藝復興的偉大科學發展。傳統的學問對數學的發展成為一個包袱，讀書人援引聖人，不願意也不能夠脫離古人的範疇，殊不知科技由基本科學孕育，沒有基本科學，只能抄襲外人的成果。

9. (一)古代中國缺乏基本科學發展 中國數學家對數學的態度不是一朝一夕形成的，跟整個文化傳統有關。兩千年來中國以人為本位的想法，使比較基本抽象的科學不受重視。不講求邏輯，名家的”白馬非馬”，以後變成異端邪說；【莊子】-齊物論:“六合之外，聖人存而不論”，荀子批評老子:“蔽於天而不知人”，可知聖人以人為本，不講究抽象推理的科學。【九章算術】的作者以應用為鵠的，不求公理化，也不以美為依歸，反而妨礙數學的發展。儒家講究人倫，君君、臣臣、父父、子子，還有師生的關係，三綱五常比科學的客觀性更為重要。雖然王守仁講格物致知，其目的也在為人服務，天人合一的目標也在於人，不在於天。天文學的研究主要為安排農時、預測人事的休否。

10. (一)古代中國缺乏基本科學發展 中國人逆“天命靡常”、”天不可信” (周公)，不敢對自然界作系統的研究，也不敢相信大自然的現象能由少數的基本定律來決定。 中國人缺乏希臘人對大自然界強烈的好奇心，歐幾裡德【幾何原本】的偉大精神從來沒有在中國生根。【幾何原本】用簡單的公理推導複雜幾何現象，對二千年來科學的發展有極大的影響，牛頓【原理】的寫法就深受【幾何原本】的影響。希臘人很早就用數學方法來探索大自然的奧秘，例如已經量度地球的直徑等。中國人以為數學的重要性只是解決日常生活的問題，又特別重視傳統，父傳子，師傳徒，不敢離經叛道。

11. (一)古代中國缺乏基本科學發展 劉徽雖然本身有大成就，卻只敢說是注釋九章而不敢著書立說，道統的繼承重于創新革命，求真的精神被人文精神所覆蓋。”三年無改于父之道，可謂孝矣。”父親期望兒子、老師期望學生恪守祖宗的法則，因為是家族的專利，不願與人分享，結果不能交流恢不能創新。柏拉圖說 “吾愛吾師，吾更愛真理”，伽利略說我願意服從教會，但畢竟地球還是繞日運行。這種西方精神，正是中國打開科學之門所缺乏的。

12. (一)古代中國缺乏基本科學發展 儒家的教育制度確是造就了不少政治和經濟上的傑出人材，漢朝布衣可為卿相，開創了中國二千年來讀書的風氣。然而高倨廟堂的士夫人得以主導天下思想，學術不得自由，基本科學無由發展。以後魏晉清談、玄學興起，官學沒落，儒家不能壟斷教育，數學反而興起，隋唐之際，科學取士，數學雖入國子監，然而位階不高，以應用技術為主，可見於【顏氏家訓】“術亦是六藝要事，自古儒士論道定律曆皆學通之，然可以兼明不可以專業。”宋代雖行科舉，然而民間書院興起，數學反而大有進展，秦九詔、沈括都是傑出人材。明清以後，學者以科舉為畢生事業，思想既受考試禁錮便無創新可言。

13. (一)古代中國缺乏基本科學發展 延至今日，聯考和數學競賽得到獎狀仍然是學生引以為傲的畢生成就。大學教授則以得到自然科學基金，發表論文的多寡來量度自己在本科方面的成就。在這個考試制度的陰影下，數學家不敢探索宇宙間自然永恆的定律，更不敢與日月爭光了。 我認識不少當代數學偉人，當他們面對一個很有意義的數學問題時，認為人生的精意無過於此，一切榮華富貴都比不上解決這個問題來得重要，大家爭先揭發自然奧秘的面紗。成就大事業，需要無比的毅力，經得起不斷的失敗，在解決大問題以前，有如天風海雨迫人，興奮得不得了，就是這種動力使無數的數學家繼往開來。

14. (一)古代中國缺乏基本科學發展 屈原說:“路曼曼其修遠兮，吾將上下而求索”。王國維說李後主詞有赤子之心，一個偉大的數學家在解決重要問題時也是這樣。莊子說:“天地與我並生，萬物與我為一”，其實就是數學家面對大問題時的態度。現在中國數學家缺乏這種赤子之心，而寧願全面學習西方學界剩下的題目。盲目和自大成了今日中國數學界的通病。

15. (一)古代中國缺乏基本科學發展 【九章算術】講實用，而沒有系統化公理化的理論。中國數學不能大力發展的一個原因就是不敢做抽象的理論，但反過來說，佛、道都講抽象卻無助於數學的發展。佛教認為萬有都是因緣和合而成，禪宗不立文字直指心性；即使有質　(quality)的討論，但絕無量　(quantity)　的研究，因此不能成就科學的研究。反之只有量的研究，沒有質的研究也不成科學。基本上說質－量－質是必然過程。

16. （二）近代數學發展的必要過程 一般中國數學家不太瞭解近代數學發展的必要過程，所以我敘述如下： 一．觀察階段：從現象界中找尋比較相同的資料。一般來說，單從觀察得來的資料不夠，還需要做實驗。數學家在遠古時就做實驗，Diophantine、Fermat、Euler或Gauss、Riemann等都曾大量計算整數方程解或素數的分佈，幾何學家也從物理學、工程學蒐集各種不同的幾何現象。

17. （二）近代數學發展的必要過程 二．唯象研究(Phenomeological study)：從大量資料中找到共通的規律是科學上一個很重要的環節，物理學家如　Kepler，數學家如Gauss等都是在這方面的佼佼者。數學家也往往憑直覺做不同的猜測。在詩詞中常用比興的方法，數學家在作猜測時也會這樣，“浮雲遊子意，落日故人情”，由浮雲可以想起遊子意，這種想法數學家比較接近文學或圖畫。大數學家往往有一個大的構思，Weil要將拓撲，代數幾何融入整數方程論裡，在 1949年發表他的偉大建議。

18. （二）近代數學發展的必要過程 這事情就如一個畫家在構思一幅圖畫，還剩下三分之一的畫面，怎樣完成這小部分的方法基本上是無可選擇的，只要掌握到其中精意，一定會照原本不遠的意思繼續畫下去，否則圖畫就不完美了。Weil的想法也是如此，以後將群表示論放進數論中也是同樣的理由。又舉例來說，讀【紅樓夢】讀到七十八回寶玉祭晴雯後，總會知道林黛玉非死不可，這是數學與文學相同之處，是其他科學家往往不能瞭解的。在數學的術語上唯象研究叫做猜測，很不幸的是大多數中國數學家從未做過有意義的猜測。

19. （二）近代數學發展的必要過程 三．理論：從現象界得到的定律或modeling　並不一定正確，歷史上層出不窮。當資料増多後可能發現新的現象，現有定律已無法解釋，因此有意義的定律必須要有理論來支援，我們不曉得什麼時候可以假定該定律是對的。舉例來說低溫物理和高溫物理有不相同的定律，好的理論可以解釋為什麼不同的溫度產生不同的現象，一般來說理論是從兩方面得到的：一個是從物理學基本的假設，然後用半數學半物理（例如相對論或量子力學）的方法直接推導出來的理論；一個是由嚴格的數學推導的。

20. （二）近代數學發展的必要過程 物理學家都喜歡用第一個方法，因為第二個方法很難，往往曠日彌久，同時缺乏物理直觀感覺。近十年來，物理學家用第一種方法得到很多奇妙定理，甚至可以解釋很多純數學的現象，使純數學家欽佩不已。不幸的是，直觀而不嚴格的方法往往帶來錯誤。用第一個方法得來的結果，不能斷言是絕對正確的。

21. （二）近代數學發展的必要過程 二十世紀初義大利代數幾何學家以無比的想像力，得到很多漂亮的幾何命題，在幾何史上這是一個輝煌時代。但方法不夠嚴謹，過了不久終於推導出錯誤的結論，義大利代數幾何派由是沒落。美國的 Zariski、Weil和法國的　Grothendick重新規劃代數幾何甚至賦予數學新基礎。用Weil　猜測做指引，極力抽象拓廣幾何的領域，甚至研究有限域上的幾何。最後在1974年Deligne利用幾何的基礎解決了Weil的猜想。歷時二十年的研究扣人心魄，是抽象方法的偉大勝利，數學家也自以為無往而不利。當這個劃時代的貢獻在五十、六十、七十年代進行時，中國數學家，尤其是數論學家竟無人追隨，也無法理解其中細節，就是不習慣抽象思維的後果。

22. （二）近代數學發展的必要過程 四.理論的成功成熟與否在於能否重返現象界，一個理論的最終目標曷要有量的推測，這是數學與文學不同的地方。小說家可以做假的結論，可是數學不能，詩的意境可以很模糊，”只在此山中，雲深不知處”，”落花人獨立，微雨燕雙飛”，寫得很好卻不容許有量的描述。

23. （二）近代數學發展的必要過程 當一個理論從現象界出發，不單能解釋原來的現象，同時也能準確地猜測新的理論時，這是一個成功的理論。正確的理論在實用上有無比的影響力，例如Fourier分析在電磁波的傳遞，訊息的處理上都是基礎數學的偉大貢獻。這些應用當然是Fourier理論成熟的表現，但是種種應用的結果，發覺Fourier理論還不足夠，以後更需要更大力的研究，最近應用數學家引進小波(wavelet)代替Fourier理論，然而無論小波也好，Fourier理論也好，都要經過上述四個過程不斷的迴圈運用，才能更上一層成為實用完美的理論。

24. (三)二十一世紀中國數學面臨的挑戰 數學是一門科學，可是也和文學、工程學相聯繫。它從各種不同現象界吸收營養而茁壯，因此除了上述四個科學發展的連環運用外，還需加上美的判斷。美的標準很難客觀，一時代有一時代感慨。我們看【詩經】看【楚辭】好得不得了，卻沒有辦法學，不單是今日寫文字的能力不如從前，事實上當年的景色今日已不可複見，當年的人情世故已不復相同，時移勢易，數學也是這樣。

25. (三)二十一世紀中國數學面臨的挑戰 對自然界奧密的想像或瞭解是一種極為動人心弦的美，數學家不可能也不應該抗拒這種美。數學家也從工程或社會科學上吸取美的經驗，正如畫家除了寫實派外，有印象派也有廣告畫。數學家都有一個共同信念，美的創作一定是簡單的語言可以敘述的，再深切的定義則因人而異，看人和現象界的接觸的深度來衡量了。

26. (三)二十一世紀中國數學面臨的挑戰 真的美使數學豐富，但虛偽的美使數學枯燥。不斷的抽象結果往往抽空了數學的精髓，再也沒有意義了。人類的智慧豈能與大自然相比，科學家往往以為已經窮宇宙之源，卻奇峰突出。大自然提供新現象使整個科學日新月異，十九世紀末的物理學家就有這樣的經驗。相對論和量子力學在二十世紀初脫穎而出，就是要解釋幾個特殊的自然現象之故。這兩大科學根本改變了人類心靈對自然的感性，也將我們美的觀念改變了。

27. (三)二十一世紀中國數學面臨的挑戰 所以數學家必須從大自然吸取養分，憑直覺或抽象的唯美主義幫助來瞭解現象界，最後還是回到大自然來。二十一世紀的數學將是基本科學、工程學與純數學的大融合。Einstein說:The most incomprehensible things in the universe is that it is so comprehensible。大統一埸論將需要大量的數學，數學家甚至工程學家都會從中得到好處。

28. 二十一世紀的中國數學將面臨各種挑戰: 一.中國數學家除少數幾位外，專而不博，影響所及與世界水準有一段距離。近代數學的重要跳躍都是在融合兩門不同的課題迸發出來的火花而促成的，這與物理上的統一場論極為相似，中國數學界極需要培養通才。

29. 二十一世紀的中國數學將面臨各種挑戰: 二.中國數學家要探究唯象處理的精神，大膽猜測，小心求證，不只研究外人的題目而已。當年作家徐遲用生花妙筆描寫陳景潤的工作，使他成為全國英雄，做成錯誤的印象，以為數論的目的在解決一、兩個孤立的猜測。時至今日，中國數論學家連世界數論主流的文章都看不懂，不只落後十數年了。但是中國新派出的留學生卻很快地學習西方的方法，而且出人頭地。可見問題不在中國人的智慧，而是老派數論學家沒有將年輕人引導到正確的方向。

30. 二十一世紀的中國數學將面臨各種挑戰: 三.發展自己的理論。五十年代華羅庚發展多複變函數論，馮康發展有限元理論，中國數學已進入一個高峰。但以後各種政治運動摧殘新生一代的發展；經濟的問題，迫使數學家快速發表文章，跟隨外國人的步伐。中國數學家需要打破門戶地域觀念，自行創新，要不怕失敗。今日的數學家為了出國，為了得到國外數學家的賞識，只敢做二流的研究，而不敢做振奮人心的工作。薪水的差異和學術風氣，是需要政府填補和提倡的。年輕人缺乏同情人，缺乏夢想，長此以往，中國的科技只能依靠外國。

31. 二十一世紀的中國數學將面臨各種挑戰: 科學的領域上，最好百花齊放，不宜講究意識形態，不宜分隔實用和理論，它們是互為表裡，不可分開的。做大學問的都有大的胸襟，做為大國的中國，更應該有這個懷抱。唐朝的長安是經濟也是文化的中心，萬國來朝不單是經濟而已。中華民族有傑出的人材，二十世紀的後半葉已經清楚看到華裔的科學家絕不遜色于其他國籍的科學家，中國本土上也會培養出同樣品質的數學家。

32. 二十一世紀的數學有幾個主題一定會發展出來的:二十一世紀的數學有幾個主題一定會發展出來的: 一.動態的數學:在二十世紀，我們對靜態數學的理論還相差很遠。很明顯地物理、工程的問題都跟這個有關，所以會是一個大融合。 二．與物理有密切關係的是時空的觀念，當空間遇到奇異點，也就是不光滑時，怎樣描述。

33. 三．三維、四維到十維空間的研究。到了二十一世紀中葉幾何學家應該可以全部描述這些空間的結構，它們上面比較仔細的分析，尤其與基本物理有關那部分，將是一個很有意義的工作。三．三維、四維到十維空間的研究。到了二十一世紀中葉幾何學家應該可以全部描述這些空間的結構，它們上面比較仔細的分析，尤其與基本物理有關那部分，將是一個很有意義的工作。 四．代數幾何、數論和群表示論將繼續大結合，並產生與其他分支的聯繫。 五．由工程產生的方程理論，計算機科學中的組合學都會和比較深入的純數學聯繫。線性理論的巨大進展將幫助非線性理論的研究。

34. 先父鎮英先生在其遺著【西洋哲學史】中說西洋哲學的倫理思想缺乏了東方仁道之愛，然而東方學者對於求真求智求美的精神，始終落後西方。【中庸】說：“能盡人之性，則能盡物之性，能盡物之性，則可以贊天地之化育”，三千年來學者未能盡物之性，更不能贊天地之化育。學者著書立志，無如【文心雕龍】『諸子』所說：先父鎮英先生在其遺著【西洋哲學史】中說西洋哲學的倫理思想缺乏了東方仁道之愛，然而東方學者對於求真求智求美的精神，始終落後西方。【中庸】說：“能盡人之性，則能盡物之性，能盡物之性，則可以贊天地之化育”，三千年來學者未能盡物之性，更不能贊天地之化育。學者著書立志，無如【文心雕龍】『諸子』所說： 嗟夫！身與時舛，志共道申，標心於萬古之上，而送懷於千載之下。　（先父書中引子） 全文完