数学教育へのモノローグ

1. 数学教育へのモノローグ ０　 はじめに 1　 数学教育現代化再考 2　　Ｂｒｕｎｅｒの仮説 3　　学力問題 4　 数学的美への目覚め ５　 数学する楽しさ ６　　いきいき授業 ７　　夢にいざなう話題 ８　　教育研究の視点 ９　　計算機科学の魅力 １０　恩師の影響 １１　おわりに

2. ０　はじめに ・数学教師として生きる 数学の伝道者だという自負 　　　　　数学教師のｉｄｅｎｔｉｔｙ 　　　　　　　・数学者の美意識と価値観の共有 　　　　　　　・教育者としての熱い思い　　　 ・数学教師として常に心に留めるべきこと 数学をどう考え（数学観） 　　　時代の流れをどう読み解き（数学教育の動向） 　　　木目をよく見てどう活かすか（生徒の個性発見） 　　　どう教えるべきか（指導法、教材観、教材開発）

3. １　数学教育の現代化（１） ・我が国の算数数学教育は一般に現在までをⅤ期に分けられる Ⅰ期（１８６０、明治初年～１９３０、昭和初期）～西欧の算数数学教育の吸収 Ⅱ期（１９３０～１９４０、昭和１０年代）～我が国独自の算数数学教育の成立（生活単元学習） Ⅲ期（１９５０、昭和２０年代～１９６０、昭和３０年代） 　　　　　　　　　　～我が国の算数数学教育の基礎の確立（系統学習）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ⅳ期（１９６０～１９７０、昭和４０年代） 　　　　　　　　　　～国際的な動向を考慮した算数数学教育の現代化 Ⅴ期（１９７０後半以降、昭和５０年代以降） 　　　　　　　　　　～児童生徒に対応した算数数学教育の模索（基礎基本、精選、ゆとり） ・数学教育が大きく振れた（パラダイム変換）のは、第Ⅳ期の数学教育現代化 数学の構造主義（ブルバキズム）運動、　起源はヒルベルトの公理主義[学問的ニーズ] 　　　　科学技術の飛躍的発展に見合う算数数学教育[社会的ニーズ] 　　　　国際的な動向（特に米国）の影響[国際的流行] 　　　　　　　　　　　　　　米国　　１９５０～６０年代、NEW MATH運動（現代化） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１９６３　NEW MATH批判、「GO BACK TOBASIC」 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　基礎基本、精選の重視、問題解決力

4. １　数学教育現代化（２） ・学習指導要領の現代化以後の動向 　　　１９７０（昭和４５）　学習指導要領告示（現代化） 　　　　　　　　　数学一般、数学Ⅰ、ⅡA、ⅡB、Ⅲ、応用数学（集合、論理、ベクトル・行列、写像の導入） ・現代化カリキュラムは実施３年で見直し開始、８年で消えていった 　　　　　　　　　　実施当時「算数数学嫌い」「新幹線授業」「落ちこぼれ」「計算力の低下」などと酷評を受けた 　　　１９７８（昭和５３）　学習指導要領告示（個性重視、生涯学習、基礎基本重視） 　　　　　　　　　　数学Ⅰ、代数幾何、基礎解析、微積分、確率統計 　　　１９８９（平成２）　学習指導要領告示（国際化・情報化・個性化） 　　　　　　　　　　数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A,B,C（コアオプション）、個に応じた指導 　　　１９９９（平成１１）　学習指導要領告示（生きる力、教育内容の厳選、ゆとり教育） 　　　　　　　　　　　「少なく教えて多くを学ばせる」　基礎基本の徹底、個に応じた指導、 　　　　　　　　　　　コアオプションの踏襲、指導の継続性・系統性の重視 　　　　　　　　　　　＞＞学力低下懸念 　　　 ２００２．１ （平成１４）　確かな学力のための２００２アピール～学びのすすめ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学習指導要領はミニマム［発展学習を容認］　　　　 　　　　　　　　　　　　　確かな学力～知識・技能、学ぶ意欲、課題発見、自ら学び、判断し、行動し、 　　　　　　　　　　　　　よりよく問題解決する資質能力　 　　　 　　　　　４　小中学校で新学習指導要領全面実施　　　　　　　　　 　　　 ２００３（平成１５）　高校で新学習指導要領全面実施

5. ２　Ｂｒｕｎｅｒの仮説 ・ブルーナー著「教育の過程」（１９６１） 　　　　　ブルーナー　　米国の行動主義心理学、認知心理学の大御所 　１９６０年代は米国でＮＥＷ ＭＡＴＨ運動（と批判）が盛んな頃 　　　　　・スパイラル型カリキュラム（螺旋型方式）の提唱 　　　　　　　　＜この考えを支える教育仮説＞ 「どの教科であれ、知的性格をそのまま保って、発達のどの段階のどの子供にも効果的に教えることができる」 ・学習レディネス、内発的動機付け（モチベーション） 　　　　　　　　知的好奇心「おや？」「あれっ、変だな？」「どうしてだろう？」を促す 　　　　　・発見学習 ・数学教育の現代化はなぜ失敗したか（以下は私論である） ・児童生徒の実態に合わなかった 　　　　　　　　　高校は生徒の多様化の進行（１９７４、進学率９０％） 　　　　　・現代化教材に対する教育実践の積み重ねが不足していた 　　　　　・体系性、抽象性の重視（集合と写像、論証重視で学校数学を作る） 　　　　　・高名な数学者ら（遠山啓、彌永昌吉・・・）の思い入れ 　　　　　・数学教育の専門家、教育実践側からの十分な検討が不足していた 　　　　　　　　幾何教育批判「ユークリッド幾何は死んだ」　　　　　　　 　　　　　　　　　　１９６６、日本数学教育会発刊「数学教育の現代化」 外国でも似たような反省をしている（シュタイナー学校の数学読本）

6. ３　学力問題（１） ・１９９９年　　学力低下論争の幕開け 　「学力危機～受験と教育をめぐる徹底対論」 和田秀樹、市川伸一、河出書房、１９９９．４ 　　　　「分数ができない大学生」岡部恒治・戸瀬信之・西村和雄、東洋経済新報社、１９９９．６ 　　　　「学力崩壊～ゆとり教育が子供をだめにする」和田秀樹、PHP研究所、１９９９．８ 　　　 「どうする学力低下～激論・日本の教育のどこが悪いか」和田秀樹・寺脇研、PHP研究所、２０００．１２ 　　　　「論争・学力崩壊」中井浩一、中公新書ラクレ、２００１．３ 　　　　「学力低下論批判」加藤幸次・高浦勝義、黎明書房、２００１．８ 　　　　「学力低下論とゆとり教育～どちらが出来ない子に心を痛める教育か」中野重人、明治図書、２００２．１ 　　　　「本当の学力をつける本」陰山英男、文芸春秋、２００２．３ 　　　　「学力低下論への挑戦～教育課程での学校・家庭・地域の在り方を探る」無藤隆、ぎょうせい、２００２．４ 　　　　「ゆとり教育からわが子を救う方法」和田秀樹、東京書籍、２００２．１０ 　　　　「学力低下を克服する本」陰山英男・小河勝、文芸春秋、２００３．１ ・大学生の学力問題 大学進学率５０％時代、入試制度の多様化、高校教育課程の多様化、学習意欲、実学志向 　　　　補完教育（Ｒｅｍｅｄｉａｌ）　 　　　　　　　北大の試み～コアカリキュラム 　　　　　　　コープ＆シークエンス方式（未履修科目、習得不十分科目（第１水準）⇒基礎教育（第２、３水準）へ） 　　　　　　　立命館大経済学部の習熟度別学級編成

7. ３　学力問題（２） ・PIZA調査（OECD）、TIMSS調査（IEA） 　　○PIZA２００３（１５歳義務教育終了段階、高１対象）～数学的リテラシー（１位２０００　⇒　６位２００３、１位グループ） 数学的リテラシー 　　　　「数学が世界で果たす役割を見つけ、理解し、現在及び将来の個人の生活、職業生活、友人や家族との社会生活、建設的で関心を持った思慮深い市民としての生活において確実な数学的根拠に基づき判断を行い、数学に携わる能力」 　　　　　　このOECDのリテラシー定義は生活偏重ではないか？ 　　　　　　　　　　生徒の生活体験の多少が影響する？ 数学的リテラシー＝我々の目指す数学力か？ 　　○TIMSS２００３（小４、中２対象）～教育課程実施による知識・技能の習得度 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（小４は前回並み、中２については有意に低下）　　　 　　 「日本の学力は低下傾向にあり、世界トップレベルとはいえない」（文科省見解）　 いずれの調査でも興味関心度が国際レベルより低いことが問題である 　　　　　ＰＩＺＡ　数学の授業・勉強が楽しい（２６％）　興味がある（３３％）　～これは高校段階の状況である　　　　　　　　　　　　 ・改善の指針（文科省）　 　基礎的基本的計算技能、数量・図形の基礎的意味の定着　　　　　　　　　　　　　　 　　　　数学的解釈力の育成、実生活との関連付け、有用性を実感させる

8. ３　学力問題（３） 高等学校科学教育調査、教育課程実施状況調査から ・数学に対する生徒の考え 　　　　高３ 数学の勉強が楽しい３４％、退屈５２％、生活に大切　３７％　　 　　　　　　論理的に考える力が高まる４８％、将来数学を生かす職業に就きたい１４％ 　　　　　　数学が好き　小（６６％）⇒中（４５％）⇒高１（４０％）⇒高３（３１％） 中３ 数学が生活に役に立つ４８％、論理的に考えられるようになる３５％ 　　　・学力は世界で引けを取らないが、数学に対してよい感情をもっていない 　　　・自ら問題を解こうとせず、正解の解説を待っている 　　　・自信がなく、間違うことや目立つ事を嫌い積極さが乏しい ・数学指導の課題 ・大半の授業は教科書の記述（導入⇒原理説明⇒例題解説⇒問⇒練習問題）に沿った流れである 　　　・受動的な学習が多く、生徒自らの探求的活動や議論という活動が少ない 　　　・このワンパターン指導をどう変えていくか　　　

9. ３　学力問題（４） ・和田秀樹氏の講演 　２００５．１０．２０第６０回北数教大会札幌大会で和田秀樹氏の「私の教育改革」という講演を聞く機会があった。学力問題、数学教育に対する講演なのでここで感想を述べたい ＜講演内容＞ 　　　　　　①学力（低下）問題を提起したこと（は良かった） 　　　　　　②知識社会で勝ち組になるためには豊富な知識（特に数学力）が必要 　　　　　　③認知心理学的な頭の良さとは問題解決力、豊富な知識と推論能力 　　　　　　④受験勉強は、脳のトレーニング（記憶力など）に役に立つ 　　　　　　⑤数学の勉強は推論・メタ認知力（自己モニター）のトレーニングに役に立つ 　　　　　　⑥教育改革には、教え方・学び方（勉強法、方略的思考重視）のイノベーションが大事 　　　　　　⑦数学は、問題解決において記憶した解法パターンを試す練習になる 　　　　　　　　　 　　　　　　⑧日本のこれまでの旧来型の勉強法は正しい　　　　　 　　　　　＜感　想＞ 　　　　数学教育の目標には、トレーニングだけでなく、学ぶ楽しさ・よさ、問題発見力、分析力、思考力、創造性、表現力などを身につける主目標がある。 　　　　⑦は「いかに問題を解くか」（ポリヤ著）の影響だろうが、この部分が「記憶の数学」という批判になる部分である。確かに、過去に解いた問題群とのアナロジーは有効な問題解決のための方略である。しかし、それは類題を解いたにすぎない。 　　　　数学教育の目標は、未知の新たな問題に対処する力を育てること。結果優先の方略は必要であっても、資質・能力の向上を目指すためには不適切である。手段化された勉学の延長線上で数学教育をとらえる視点は数学教育の目標と異なるし、オリジナリティにこだわる価値観を持った人材は育たないであろう。

10. ４　数学的美への目覚め（１） ・数学を学ぶ価値 調和と秩序という価値への目覚め 　数学的美を受け入れる精神性 　青少年に夢と希望を与えるきっかけ 　　例：アインシュタイン少年の小さな成功 　　　　　　（ピタゴラスの定理） 　　この成功でどれだけ勇気付けられたことだろう 　　何としても小さな成功体験が欲しい！

11. ４　数学的美への目覚め（２） ・数学観 　　自由で、楽しく、　美的で自由な、　人間精神の真の遊び心 　　　　　　 数学は情緒で行う学問芸術（岡潔） 　　　　　　 数学者は詩人（ワイエルシュトラス） ・数学が有用だということ 有用（applicable）だから学べ！と言われても・・・ 　　　　　　　（生徒は実存的である） 　　　有用なら有用であることを見せる、体験させる必要がある 　　　有用性の強調は応用数学的発想か 　　　　　　（有用を見出せない数学は？） 　　　美しいものは有用である（という信念） 　　　「数学は実用に役立たないから素晴らしい」（藤原正彦氏） 有用・無用という価値判断を留保すべきか

12. ４　数学的美への目覚め（３） ・感動体験　 感動⇒内面化⇒（数学大好き）⇒数学的な物の見方・考え方 　疑問・観察⇔仮説・発見の探求プロセスの体験（発見学習） 数学を出来上がったもの（学問体系）として教えない 生徒に発見させ、作らせる（構成的なスタンス） 秋山仁氏の講演テーマ・語録にヒントが隠されている 　　　　ワクワクさせる嬉しい、元気の出るメッセージ 　　　　　　「知性の織り成す数学美　～定理作りの実況中継」 　　　　　　「五感を総動員して数学を楽しもう」 　　　　　　「・・・今日から君も僕も数学者・・・」

13. ５　数学する楽しさ ・数学の授業で教えること ・教師の姿勢が教えること（生徒は、数学する教師の姿すべてを見ている） 　　　　　　　　　数学の仕方を真似る（考え方、問題解決の戦略・方法） 　　　　　　　　　数学に対する情緒的な反応の形成 　　　　　　　　　自由に考える、発想する精神活動 　　　　　　　　　正しさ（真理）へのこだわり（確証されたものだけを信じる） 　　　・自らの思考に対する信頼を育てる　　　　　　 　　　・メタ認知（問題解決・学習のモニタリング、自己評価能力、自分自身の思考を観察しそれを吟味する力）を育てる　　　　　　　 ・数学する楽しさ（Ｄｏ　Ｍａｔｈ）づくり 自由に考え、発想する場づくり ex.大阪清風高校の公庄庸三氏のNHK”わくわく授業“風景を見て 　　　　　　　　　　　 生徒の主体活動（activityとdiscussion）重視　 　　　　　　　　　　　　　関数（graph）電卓を持たせての授業(生徒の発見で立ち往生) 生徒とのコミュニケーション重視（授業で表現するカリスマ性） 　　　　　　　　　　　　　課題解決力は生きる力になるという固い信念 　　　　　　　　　　　　・カリスマ性＝教員の個性（持ち味）　　　　　　　　　　　 　　　　　　授業改善の第一歩は個性的な授業づくり 　　　　　　「○○先生の数学」という生徒の評判づくり 　　　　　　秋山仁氏から学ぶもの～話術、パフォーマンス、雰囲気づくり、教材づくり　　　　　　　　

14. 帰納的推論の例

15. ６　生き生き授業 　授業モデルを［導入　⇒　展開　⇔　まとめ　⇒　演習］とした場合　　　　 　　　＜数学を作っていく構成的スタンス＞ ・導入段階では導入教材の工夫で発見的体験を促す 　　［遊びを入れる、試行錯誤のすすめ、帰納的アプローチ］ 　　　　何故こういう数学の概念が考え出され、必要なのか考えさせる 　　　　　例ベクトル～“移動”でベクトル概念を発見させ、オリエンテーリング遊び 　　　　　　　微分～紙に書かれた曲線に点をつけ、顕微鏡で倍率を上げると直線に近づく 　　　　　　　数学的帰納法～将棋倒しの遊びから 　　　　　　　　　　①ｎ＝１のとき成り立つ～１番目の将棋が倒れる保障 　　　　　　　　　　②ｎ＝ｋ のとき成り立つと仮定すれば、ｎ＝ｋ＋１のとき成り立つ 　　　　　　　　　　　　　　　　～ｋ 番目を倒すとｋ＋１番目も倒れる保障 　　　　　　　　　　①、②が確かなら全部の将棋が倒れるだろう ・展開段階では、数学的事実（定理）をまとめ、言葉の意味（定義）を明確にする ・まとめ段階では、得られた事実の体系化（知識としてまとめる）　　［演繹的アプローチ］ ・演習段階では、主体的な活動を取り入れる　　［演繹的アプローチ］ 問題演習場面での例～グループ学習で 　　・基本問題Ａに関する類題を８個ほどつくり各グループ毎に選ばせ集団討論で問題解決(activity) 　　・各グループ毎に発表し合い、議論させる（think&discuss）［誤応答の教材化］ 　　・教師による評価・まとめ（coordinate）を行う

16. ７　夢にいざなう話題 ・整数論 未解決問題は見た目はシンプルだが超難問ぞろい！ 　　　　　　・奇数の完全数は見つかるか？ 　　　　　　・双子素数（３，５）（５，７）・・・、メルセンヌ素数、フェルマー素数は無限にある？ 　　　　　特に、メルセンヌ素数に関してはGIMPS（Great Internet Mersennu Prime Search）プロジェクトが進行中で、２００５．２現在４２番目の素数（７８１６２３０桁）が見つかっている 　　　　　　・４以上の偶数は２個の素数の和となる（ゴールドバッハ予想） 　　　　　　・リーマンゼータ関数の自明でない零点はＲｅｓ＝１／２上にある（リーマン予想） 　　　　　　　　　　（最近出版されたマーカス・デュ・ソーティ著「素数の音楽」は感動的な本です） 　　　　ＲＳＡ暗号体系と素数（フェルマーの小定理の応用、巨大素数の有用性） 　　　　合同式と平方剰余、平方剰余の相互法則（とても美しい） ・方程式論 ５次以上の一般の代数方程式は代数的に解けない（何故５次？アーベルの定理） 　　　　ガロア群と方程式（群と拡大体の奥深い関係） ・トポロジー ケーニヒスベルグの橋の問題（有名な一筆書き） 　　　　 ４色問題（１９７６年、コンピュータを使って肯定的に解決された） ・集合論 バナッハ・タルスキの定理（球体を大きさの異なる別の球体に隙間なく再構成できる） ・離散数学 巡回セールスマン問題（NP完全問題で手に負えない計算量がかかる問題）

17. 素数公式（マティヤセビッチ、１９７６）ヒルベルト 第１０問題（一般ディオファントス方程式の可解性の決定問題)を否定的に解いた次式はA~Zを任意の自然数とすれば、式の値が正になったときのみ素数を表すというが・・・

18. ８　教育研究の視点 ・教材研究 学習指導要領はミニマムであるから、発展的な教材開発が必要 　　　　　そのためにも、教師の専門領域を生かした自由な発想の研究が望まれる 　　　　　大阪高等学校数学教育会の研究例は参考になる （http://www.osaka-math.org/journal/seminar.html） ・教材開発 教科書は主たる教材だからとらわれないスタンスで 　　　教師の豊かな発想と教材観に基づいたアイディアで 　　　　　導入教材、発展教材、トピックス教材、小テスト集、オリジナル例題集、専用問題集、教具・模型 ・指導法の研究 これまで様々な指導法が提案され実践されてきた 　　　出尽くした感があるが、学校・生徒の実態に応じた継続的な実践研究、ケーススタデイは貴重である ・コンピュータの活用 単元を選べばビジュアル性、特にシミュレーションのような動的な動きを生かす（演示実験） 　　　コンピュータのパワーをフルに生かす数値計算（数値例から帰納させる学習） 　　　既存ソフトの活用研究は大変参考になる 　　　生徒によるｅ－ｌｅｒｎｉｎｇ 　　・グラフ電卓を活用した授業の在り方（日本は遅れている）

19. ９　計算機科学の魅力 ・計算機科学（コンピュータサイエンス）の基礎理論 計算の理論、帰納的関数論、数理論理学、数理言語学、オートマトン理論、アルゴリズム論 　　　　 数値解析、プログラミング言語論、論理回路設計、コンピュータアーキテクチャー、ソフトウエア工学 ・人工知能研究は計算機科学の花 推論機構～ＩＣＯＴが推論マシンを開発 　　　　　　　　　　　　論理プログラミングをハードウエアで高速で稼動させる 　　　　　　　　　　　　その動作　　　　　導出原理（ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）、μｐｌａｎｎｅｒ、ｐｌｏｒｏｇ 　　　　　パターン認識（視覚パターン、音声パターン） 　　　　　知識工学（応用人工知能）、機械翻訳、神経回路網 　　　　　　　　ロボットの研究がしたいという高校生が増えているのは大変嬉しい ・スーパーコンピュータ 従来の逐次処理型（フォンノイマン型）でなく並列処理（ＣＰＵが多数）型の計算機 　　　　同時に複数の計算を行うベクトル・テンソル計算、シミュレーション計算に有効 　　　　　　日本製ではＮＥＣの「地球シミュレータ」が有名（現在世界４位） 　　　　　　現在、ＩＢＭのスパコン（演算速度２８０兆回／秒）が世界一 　　　　　　日本は１京回／秒の性能を持つスパコンを理研が中心となり開発する予定（できれば世界一） 　　　　　応用分野は、気象予報、防災シミュレーション、航空機開発、銀河シミュレーション、ライフサイエンス・・・

20. 人工知能研究における推論 １９４０年代　　Ｔｕｒｉｎｇ機械の理論（Ｔｕｒｉｎｇ）、帰納的関数論（Ｋｌｅｅｎｅ）、λｃａｌｃｕｌｕｓ（Ｃｈｕｒｃｈ）の発展 １９５４、定理証明システムＰｒｅｓｂｅｒｇｅｒの作成（Ｍ．Ｄａｖｉｓ） １９５７、Ａ．Ｎｅｗｅｌｌ，Ｊ．Ｃ．Ｓｈａｗ，Ｈ．ＳｉｍｏｎはＬｏｇｉｃａｌ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ＭａｃｈｉｎｅをつくりＰｒｉｎｃｉｐｉａ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ（Ｒｕｓｓｅｌ，Ｗｈｉｔｅｈｅａｄ）の命題を証明。 １９５８～６０、Ｈ．ＷａｎｇはＰｒｉｎｃｉｐｉａ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａの命題、1階述語論理の定理をＧｅｎｔｚｅｎ　Ｈｅｒｂｒａｎｄの方法で証明。（１９８３、自動定理証明への貢献で第1回Ｍｉｌｅｓｔｏｎｅ賞受賞） １９６０、Ｄａｖｉｓ、ＰｕｔｎｕｍはＨｅｒｂｒａｎｄ定理を変形したＤ－Ｐ手続きを考案、Ｐｒａｗｉｔｚはさらにこれを改良し代入手続きの考えを提案。 １９６５、Ｊ．Ａ．Ｒｏｂｉｎｓｏｎは単一化（Ｕｎｉｆｉｃａｔｉｏｎ）にもとづく導出原理を考案 　　　　　　この演繹体系が完全（充足可能な節集合は必ず導出原理によって空節を推論できる）であることを示した。変数を含む節集合には単一化できるか否かを決定するアルゴリズムを示した。　　　　　 導出原理（Resolution Principle） 　　Ｇｅｎｔｚｅｎのｃｕｔ規則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を一つだけ持つ演繹システム 問題は計算効率 　　　　　　　　　　線形導出法（ＳＬ導出法）、ロック導出法、単位導出法など様々な方略が考案された。　　　　　　　　

21. 導出原理（１） ・標準形と節集合 　　　　対象は閉論理式（自由変数を持たない） 冠頭標準形（ｐｒｅｎｅｘ　ｎｏｒｍａｌ　ｆｏｒｍ）への変換 　　　　　　限量子、束縛変数が冠頭に付いた形 連言標準形　　　論理式が連言（ａｎｄ）で結ばれている 　　　　例 ｓｋｏｌｅｍ標準形に変換 　　　存在記号で束縛される変数はそれより左にある全称記号の値で決まるので関数と考える 　　　　上の例でいえばｙをｘの関数ｆ（ｘ）で置き換えると次式のようになる 節、節集合 　　　　全称記号を取り去り、論理積（連言積）で結ばれた各部分（論理和ｏｒで結ばれた論理式）を節（ｃｌａｕｓｅ）といい、その節の集まりを節集合という 　　　　上の例では

22. 導出原理（２） ・充足条件 　　節集合の充足条件を考える。 　　　　変数を含む述語論理式は、変数に代入する対象によって真偽が変わる 　　　 対象の集合を領域（モデル）と呼ぶ 　　　・論理式の真偽は次のいずれかである 　　　　　　　　　　・恒真（トートロジー）　　すべてのモデルで真 　　　　　　　　　　・充足可能　　　　　　　　少なくても１つのモデルで真 　　　　　　　　　　・充足不可能　　　　　　 どんなモデルでも偽 ・ゲーデルの完全性定理 1階述語論理の任意の閉論理式Ａについて次の３つは同値である 　　　　　　　　　・Ａは証明可能である 　　　　　　　　　・Ａは恒真である 　　　　　　　　　・Ａの否定は充足不可能である　 ・エルブランド空間(Herbrand universe) 　　　　　　閉論理式中にある定数と関数を用いて構成される項全体の集合 　　　　　　　　　前例では 　　　　基礎例（ｇｒｏｕｎｄ　ｉｎｓｔａｎｃｅ）　変数を含まない述語または節 節集合から得られる基礎例　　各節の述語にエルブランド空間の項を代入してできる基礎例 　　・エルブランド（Ｈｅｒｂｒａｎｄ）の定理 　　　Ａの恒真性を示すにはすべてのモデルで真を示す必要はなくエルブランド空間で示せば十分である。 　　　　次の２つは同値 　　　・Ａは恒真である 　　　・Ａの否定を充足不可能とする節集合から得られる基礎例（ｇｒｏｕｎｄ　ｉｎｓｔａｎｃｅ）の有限集合が存在する

23. 導出原理（３） ・ホーン（Ｈｏｒｎ）論理 　　　　　　ホーン節　　節の中の式で否定記号のないものが高々１つ 　　　　　１９５１、Ａ．Ｔａｒｓｋｉが示唆しＡ．Ｈｏｒｎが導入した 　　　　例 　　初めの例をプログラム節、後の例をゴール節と呼ぶ。さらにＰだけの節を単位節という。 　　ホーン論理をプログラミング言語化したのがｐｒｏｌｏｇである ・論理プログラミング 　　１９６９、Ｃ．Ｇｒｅｅｎ（ｓｔａｎｆｏｒｄ大） 　　　　プログラムを記号論理で表現し、それを導出原理を用いて行う 　　　同年、Ｃ．Ｈｅｗｉｔｔ（ＭＩＴ） 　　　　定理証明のプログラミング言語ｐｌａｎｎｅｒを開発、人工知能研究に多大な影響を与えた 　　　　これにはＴ．Ｗｉｎｏｇｒａｄ（モントリオール大）も参加 　　１９７２、Ｃｏｌｍｅｌａｕｅｒ（マルセーユ大）、Ｐ．Ｒｏｕｓｓｅｌ（マ大）、Ａ．Ｋｏｗａｌｓｋｉ（エディンバラ大）　　 　　　　ＳＬ導出原理を用いたｐｒｏｌｏｇ（Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｉｎ　Ｌｏｇｉｃ）を開発 　　　　ｐｒｏｌｏｇを用いたＱ＆Ａシステムを開発 　　１９７３、Ｋｏｗａｌｓｋｉが「論理プログラミング」という考えを提唱　 　　１９８２、ＩＣＯＴは第5世代コンピュータ開発プロジェクト、論理プログラミングマシンの開発　　

24. MONKEY BANANAS PROBLEM

25. 導出原理による解法 Ｍｏｎｋｅｙ　ｂａｎａｎａｓ　ｐｒｏｂｌｅｍの述語表現 これに結論の論理式　　　　　　　の否定　　　　　　　　　　を加えて背理法で証明する 　その証明に導出原理を適用する

27. １０　恩師の影響 ・高校時代の恩師 　２人の恩師はいずれも数学指導の力量は抜群だった O先生　　東京物理学校（現東京理科大）出 　　　　　　　　　　　　　　自他に厳格な先生、ご自身で数学研究に挑戦していた 　　　　　　　　　　　　　　一分の隙もない授業で厳密さを大事とした W先生　　東京高等師範学校（現筑波大）出 　　　　　　　　　　　　　　温厚な人柄で優しい先生、現代化で導入される教材を研究していた 　　　この２人の数学教師に数学の学問の香しさを教えられ（数学に）進路を定めた 　　　教師になってからは２人の授業スタイルを知らぬ間に見習っていたことに気付く ・大学時代の恩師 服部昭（代数学）、赤節也（集合論、複素関数論）、茂木勇（幾何学、微分幾何） 　　　　佐藤健一（位相数学、関数解析）、西村敏男（計算機）、前原昭二（数学基礎論） 　　　　野崎昭弘（線形計画法）、広瀬健（帰納関数論）・・・・ 　　学問的なインパクトを強く受けたのは卒論セミナーの担任佐藤健一氏である （数学する姿勢の厳しさと方法論、広大無辺な数学の世界の奥深さ、研究者の心） ただ、専門書に書いてある講義よりも、ある概念の由来や必要性、この理論の今後の見通し、課題など数学を作ってきた話題に触れる機会が多くあれば良かったように思う。 何といっても人間形成期にある高校時代の恩師の影響が一番大きい！

28. １１　おわりに ・若かりし頃に 　　仏詩人ルイ・アラゴンの「ストラスブール大学の歌」から 「・・・教えるとは希望を胸に刻むこと、 　　　　　　学ぶとは誠実を胸に刻むこと・・・」 ・師弟同行 青春まっただ中の高校生と夢を語り、学びあい 　　　　時間を共有できた喜びは何にも変えがたい