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第四章 二次曲線

第四章 二次曲線. 4-3 　雙曲線. 4 - 3 雙曲線 甲、雙曲線的基本概念 乙、中心在原點的雙曲線標準式 丙、雙曲線的漸近線 丁、中心不在原點的雙曲線標準式. 甲、雙曲線的基本概念. 請看課本 p.227. 一、雙曲線的定義 右圖是以 F 1 (3,0), F 2 ( － 3,0) 為圓 心所畫出的兩組同心圓 , S k ： ( x -3) 2 + y 2 = k 2 , T k ： ( x +3) 2 + y 2 = k 2 , k =1,2,…,7, 我們將觀察圖 4-14 所得之結果列表如下：. 圖 4-14. 隨堂 1-3.

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第四章 二次曲線

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  1. 第四章 二次曲線 4-3　雙曲線

  2. 4-3 雙曲線 • 甲、雙曲線的基本概念 • 乙、中心在原點的雙曲線標準式 • 丙、雙曲線的漸近線 • 丁、中心不在原點的雙曲線標準式

  3. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.227 • 一、雙曲線的定義 • 右圖是以F1 (3,0), F2 (－3,0)為圓心所畫出的兩組同心圓, • Sk：(x-3)2+y2=k2, • Tk：(x+3)2+y2=k2, • k=1,2,…,7, • 我們將觀察圖4-14所得之結果列表如下： 圖4-14 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  4. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.227 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  5. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.227 • 由上表可知, P1, P2, P3 , …, P8 , …及Q2, Q3 , …, Q8…等這些點到圓心F1 (3 , 0)的距離（半徑）與到圓心F2 ( 3 , 0)的距離（半徑）差的絕對值等於4（為一定值）. • 將左右兩邊的點分別以平滑曲線連接可得一新的圖形,如圖4-14紅色曲線, 稱之為雙曲線. • 一般而言, 我們將雙曲線定義如下： 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  6. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.228 • 雙曲線的定義設F1與F2是平面上相異兩定點, a＞0, 且 ＞2a, 則此平面上滿足| － |＝2a的所有動點P所成的圖形稱為雙曲線, 其中兩定點F1與F2稱為雙曲線的焦點. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  7. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.228 • 根據雙曲線的定義, 我們可依下列步驟作出雙曲線的圖形. • 在平面上選二定點F1與F2 . • 取長短二條細線, 其長度差為2a, 使 ＞2a . • 將短線的一端用圖釘固定在點F1, 長線的一端用 圖釘固定在點F2 . • 將長短二線的另一端對齊打結, 並用左手握住, 另右手拿鉛筆, 兩線同時繞過筆尖P, 並與紙面 接觸. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  8. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.228 • 以左手拉動打結端, 右手以筆尖P將兩線撐直順 勢在紙面上移動, 即可畫出一條曲線, 如圖4-15的右邊曲線, 此時線上的P點滿足 － ＝2a. • 將長短二線一端的固定點交換, 仿步驟即可 畫出另一條曲線, 如圖4-15的左邊曲線, 此時線上 的P點滿足 － ＝2a. • 上述二條曲線即為雙曲線的部分圖形. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  9. 甲、雙曲線的基本概念 請看課本p.228 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  10. 隨堂練習1-0 請看課本p.229 若 ＝6, 則滿足| － |＝4之P點所形成 的圖形為雙曲線, 如右圖, 試問： (1)滿足 － ＝4之P點 所形成的圖形為右圖的哪一支？ (2)滿足 － ＝4之P點 所形成的圖形為右圖的哪一支？ 設 a＞0, (1) ＝2a, 若動點P滿足| － |＝2a, 則P點 所形成的圖形為何？ (2) ＜2a, 若動點P滿足| － |＝2a, 則P點 所形成的圖形為何？ 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  11. 隨堂練習1-0 請看課本p.229 若 ＝6, 則滿足| － |＝4之P點所形成 的圖形為雙曲線, 如右圖, 試問： (1)滿足 － ＝4之P點 所形成的圖形為右圖的哪一支？ (2)滿足 － ＝4之P點 所形成的圖形為右圖的哪一支？ • 解： • (1)乙. (2)甲. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  12. 隨堂練習1-0 請看課本p.229 設 a＞0, (1) ＝2a, 若動點P滿足| － |＝2a, 則P點 所形成的圖形為何？ (2) ＜2a, 若動點P滿足| － |＝2a, 則P點 所形成的圖形為何？ • 解： • (1)兩射線. (2)沒有圖形. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  13. 請看課本p.229 • 與雙曲線有關的名詞, 介紹如下： •  二焦點所連的線段的中點, 稱為雙曲線的中心. • 過二焦點F1, F2的直線與雙曲線交於二點, 此二點 稱為雙曲線的頂點. 此二頂點的連線段稱為雙曲線 的貫軸. • 雙曲線上任意一點到焦點 • 的距離, 稱為雙曲線的焦半徑. • 連接雙曲線上相異兩點的 • 線段稱為雙曲線的一弦.過焦點的弦稱為焦弦.焦弦中與 貫軸所在直線垂直者稱為雙曲線的正焦弦. 圖4-16 隨堂1-3 雙曲線 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  14. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 雙曲線 隨堂1-3 雙曲線 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  15. 請看課本p.229 • 二、雙曲線的性質 • 我們可利用雙曲線的定義推得下列的性質： • 性質一設F1, F2為雙曲線的兩個焦點, 為雙曲線的貫軸, 若點P為Γ上任意一點, 且| － |＝2a, • 則 ＝2a. • 證：由於A,B在雙曲線上, • 根據雙曲線的定義可得 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  16. 請看課本p.230 • 證： • 由－得 ＝ , • 所以 ＝2a.  隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  17. 隨堂練習1-1 請看課本p.230 • 承性質一, 試說明 . • 解： • 由於O為 的中點, 即 = • 且 = , • 所以 . 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  18. 請看課本p.230 • 設雙曲線的貫軸 長為2a, • 長為2c, 如右圖所示, • 在過中心O且與貫軸垂直的 • 直線上取C, D兩點, • 使 ＝ ＝b, • 其中b＝ , • 則 稱為此雙曲線的共軛軸. • 性質二雙曲線對稱於貫軸、共軛軸與中心. 圖4-17 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  19. 請看課本p.230 • 證： • 在性質一中, 若過P作對稱於直線F1F2的對稱點Q,則直線F1F2垂直平分 , • 所以 ＝ , ＝ ,又| － |＝2a, • 故| － |＝2a, • 由雙曲線的定義可知點Q在雙曲線Γ上, 所以雙曲線對稱於直線F1F2, • 故雙曲線對稱於貫軸所在的直線. • 雙曲線對稱於共軛軸所在的直線與中心的部分留給同學們自行練習. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  20. 隨堂練習1-2 請看課本p.230 試說明雙曲線對稱於共軛軸所在的直線與中心. • 解： • 若過P作對稱於直線CD的對稱點Q, • 則直線CD垂直平分 . • 過P, Q作直線AB的垂直線, 分別交直線AB於S, R, • 如右圖, 則PQRS為矩形, 且 = , • 所以 = , = , • 又∠PSF1 =∠QRF2 = 90°, • 故△PSF1 △QRF2, • 所以 = , • 同理可得 = . 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  21. 隨堂練習1-2 請看課本p.230 試說明雙曲線對稱於共軛軸所在的直線與中心. • 解： • 又 = 2a, 故 = 2a, • 由雙曲線的定義可知點Q在雙曲線Γ上, • 所以雙曲線對稱於共軛軸所在的直線. • 若過P作對稱於 的中點O的對稱點R, • 則 = , 又 = , • 所以PF1RF2為平行四邊形, • 故 = , = , • 又 = 2a, • 故 = 2a, 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  22. 隨堂練習1-2 請看課本p.230 試說明雙曲線對稱於共軛軸所在的直線與中心. • 解： • 由雙曲線的定義可知點R在雙曲線Γ上, • 所以雙曲線對稱於 的中點O. 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  23. 請看課本p.231 性質三設雙曲線Γ的兩個焦點分別為F1, F2, 且 ＝2c, 若貫軸長 ＝2a, 共軛軸長 ＝2b, 則雙曲線的 正焦弦長為 • 證： • 設 為過F1的正焦弦, • 如右圖所示, • 因為直線F1F2為雙曲線的對稱軸, 所以 ＝ . • 設 ＝x, 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  24. 請看課本p.231 • 證： • 又 － ＝2a, • 則 ＝2a＋x. • 因為△PF1F2 為直角三角形,所以由畢氏定理可得　(2a+x)2=(2c)2+x2, • 整理得 ax＝c2－a2, • 又b＝ , 即 b2＝c2 －a2, • 所以 ax＝b2, 得 x＝ • 故雙曲線的正焦弦長 ＝ 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  25. 隨堂練習1-3 請看課本p.231 設雙曲線Γ的兩焦點距離為10, 貫軸長為8, 試求雙曲線的正焦弦長. • 解： • 因為兩焦點距離為10, 貫軸長為8, • 所以2c = 10, 2a = 8, 即c = 5, a = 4, • 由c2 = a2 + b2得b2 = 52 – 42 = 9, • 故正焦弦長為 隨堂1-3 隨堂1-0 隨堂1-1 隨堂1-2 返回 下一主題

  26. 乙、中心在原點的雙曲線標準式 請看課本p.231 在坐標平面上, 根據雙曲線的定義, 可以推導出雙曲線的方程式,底下我們先來看一個例子. 前一主題 例 1 下一主題

  27. 例題1 請看課本p.232 設F1(3, 0), F2(－3, 0)為雙曲線Γ的兩個焦點, 若P(x, y)為雙曲線上任意一點, 且| － |＝4, 試 求雙曲線Γ上的P點所滿足的方程式. • 解： • 由| － |＝4可得 • | － |＝4, • 去絕對值得 － ＝±4, • 即 ＝ ±4, • 兩邊平方展開得 • x2－6x＋9＋y2＝(x2＋6x＋9)＋y2±8 ＋16, 前一主題 例 1 返回 下一主題

  28. 例題1 請看課本p.232 設F1(3, 0), F2(－3, 0)為雙曲線Γ的兩個焦點, 若P(x, y)為雙曲線上任意一點, 且| － |＝4, 試 求雙曲線Γ上的P點所滿足的方程式. • 解： • 化簡得 3x＋4＝ 2 , • 再將兩邊平方展開得 • 9x2＋24x＋16＝4[(x2＋6x＋9)＋y2], • 化簡得5x2－4y2＝20,即 • 所以雙曲線Γ上的P點滿足方程式 前一主題 例 1 返回 下一主題

  29. 請看課本p.232 • 底下我們根據雙曲線的定義來推導雙曲線的方程式. • 1. 當F1(c, 0), F2(－c, 0)為雙曲線Γ的兩個焦點, • 其中c>0, 則此雙曲線的貫軸在x軸 上, 共軛軸在y軸上, 中心為原點, • 如圖4-18所示. • 若點P(x, y)為雙曲線上任意一點, • 且| － |＝2a, 其中c＞a＞0, • 則 － ＝±2a, • 移項得 ＝ ±2a, 圖4-18 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  30. 請看課本p.232 • 即 ＝ ±2a, • 兩邊平方展開得 • x2－2cx＋c2＋y2＝x2＋2cx＋c2＋y2±4a ＋4a2, • 化簡得 cx＋a2＝ a , • 再將兩邊平方展開得a4＋2a2cx＋c2x2＝a2x2＋2a2cx＋a2c2＋a2y2, • 化簡得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2), • 令 b＝ , 則b2x2－a2y2＝a2b2, • 所以雙曲線Γ上的點P滿足方程式 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  31. 請看課本p.233 • 反之, 若點P(x,y)滿足 • 其中b＝ , 則我們可仿照第211頁滿足 • 的點都在橢圓上的討論, 推導得點 • P(x, y)在此雙曲線上. • 由上述的討論可得： • 滿足| － |＝2a的雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  32. 請看課本p.233 • 2.當F1(0,c), F2(0,－c)為雙曲線Γ '的兩個焦點, 其中c>0, 則此雙曲線的貫軸在y軸上, 共軛軸在x軸上, 中心為原點, 仿照上述的討論可得雙曲線Γ '的方程式為 • 與 兩式都稱為雙曲線的標 準式, 我們將其結果整理如下： 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  33. 請看課本p.233 • 雙曲線的標準式 設c＞a＞0, b＝ , 則 • 以F1(c,0), F2(－c,0)為兩個焦點, • 且滿足| － |＝2a • 所有P點所形成的圖形為 • 雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  34. 請看課本p.233 • 設c＞a＞0, b＝ , 則 • 以F1(0,c), F2(0,－c)為兩個焦點, • 且滿足| － |＝2a • 所有P點所形成的圖形為 • 雙曲線方程式為 • 註：a, b, c三數的關係為c2＝a2＋b2. 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  35. 例題2 請看課本p.234 試求滿足下列條件的雙曲線方程式.中心為原點, 一焦點為(13, 0), 貫軸長為24.二焦點為(0, 5)與(0, －5), 頂點為(0, 3). • 解： •  因為雙曲線的中心在 • 原點且一焦點為(13,0), • 故c＝13, 其貫軸在x軸上, • 如右圖所示. • 又貫軸長為24 , 故2a＝24 , • 即 a＝12 . 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  36. 例題2 請看課本p.234 試求滿足下列條件的雙曲線方程式.中心為原點, 一焦點為(13, 0), 貫軸長為24.二焦點為(0, 5)與(0, －5), 頂點為(0, 3). • 解： • 由c2＝a2＋b2 , • 得 b2＝c2－a2＝169－144＝25, • 故雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  37. 例題2 請看課本p.234 試求滿足下列條件的雙曲線方程式.中心為原點, 一焦點為(13, 0), 貫軸長為24.二焦點為(0, 5)與(0, －5), 頂點為(0, 3). • 解： •  因為雙曲線的二焦點為(0, 5)與(0, －5),故雙曲線的中心在原點, c＝5,其貫軸在y軸上, 如右圖所示. • 又有一頂點為(0, 3), 故a＝3, • 由c2＝a2＋b2 • 得 b2＝c2－a2＝25－9＝16, 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  38. 例題2 請看課本p.234 試求滿足下列條件的雙曲線方程式.中心為原點, 一焦點為(13, 0), 貫軸長為24.二焦點為(0, 5)與(0, －5), 頂點為(0, 3). • 解： • 故雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  39. 隨堂練習2 請看課本p.234 試求滿足下列條件的雙曲線方程式. 頂點為(3, 0)與(– 3, 0), 二焦點間的距離為10. 中心為原點, 一焦點為(0, 6), 貫軸長為10. • 解： • 因為頂點為(3, 0)與( –3, 0), • 二焦點間的距離為10, • 所以中心在原點, 且a = 3, c = 5. • 由 得 = 25 – 9 = 16, • 由於中心在原點且焦點在x軸上, • 所以貫軸在x軸上, 故雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  40. 隨堂練習2 請看課本p.234 試求滿足下列條件的雙曲線方程式. 頂點為(3, 0)與(– 3, 0), 二焦點間的距離為10. 中心為原點, 一焦點為(0, 6), 貫軸長為10. • 解： • 因為中心為原點, 一焦點為(0, 6), • 所以c = 6. • 又貫軸長為10, 所以2a = 10, 即a = 5, • 由 得 = 36 – 25 = 11, • 由於中心在原點且焦點在y軸上, • 所以貫軸在y軸上, 故雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  41. 例題3 請看課本p.235 設雙曲線方程式為 試求： 中心、頂點與焦點的坐標. 貫軸、共軛軸與正焦弦的長. • 解： • 由於 即 • 所以雙曲線的中心在原點(0, 0), • 且a＝5, b＝3, 如右圖所示. • 由　c2＝a2＋b2得 • c＝ ＝ . 故得 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  42. 例題3 請看課本p.235 設雙曲線方程式為 試求： 中心、頂點與焦點的坐標. 貫軸、共軛軸與正焦弦的長. • 解： •  中心坐標為 (0, 0), • 頂點坐標為(5, 0)與 (－5, 0), • 焦點坐標為( ,0)與 (－ ,0). • 貫軸長為2a＝10, • 共軛軸長為2b＝6, • 正焦弦長為 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  43. 隨堂練習3 請看課本p.235 設雙曲線方程式為 試求： 中心﹑頂點與焦點的坐標. 貫軸﹑共軛軸與正焦弦的長. • 解： • 由於 • 即 • 則a = 3, b = 6, 由 • 得c = = 3 . • 故得 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  44. 隨堂練習3 請看課本p.235 設雙曲線方程式為 試求： 中心﹑頂點與焦點的坐標. 貫軸﹑共軛軸與正焦弦的長. • 解： • 中心坐標為(0, 0), • 頂點坐標為(0, 3)與(0, –3), • 焦點坐標為(0, 3 )與(0, –3 ). • 貫軸長為2a = 6, • 共軛軸長為2b = 12, • 正焦弦長為 = 24. 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  45. 請看課本p.235 • 從二次世界大戰以來, 船隻使用了遠距離無線電導航系統（LORAN）作為獨立導航的條件. 從兩個距離遙遠的觀測站, 同時發射無線電波給在海上的船隻, 此時如果船隻到兩觀測站的距離不相等, 船隻接收到無線電波就會有時間差, 再由無線電波的速度可計算得知, 船隻到兩觀測站的距離之差, 則由雙曲線的定義可知, 船隻此時的位置在以此兩觀測站為焦點的某一個雙曲線上, 舉例說明如下： 前一主題 例2 隨堂2 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  46. 例題4 請看課本p.236 假設A , B兩觀測站位於直線岸邊, 相距200 公里, 且A觀測站在B觀測站的正西方. 船隻接收到從A , B兩觀測站發射的無線電波, 利用時間差及無線電波的速度計算得知, 船隻到A站距離比到B站距離多120 公里, 並確定從A站發出的比從B站發出的多120 公里遠. 若我們訂定一個直角坐標系,其原點在A , B兩觀測站的中點, 直線AB為x軸, 當A , B位於一雙曲線的兩焦點時, 試求此時船隻所在的雙曲線方程式. 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  47. 例題4 請看課本p.236 • 解： • 因為兩觀測站被定位為雙曲線的二焦點, • 故c＝100. 船隻到兩觀測站的距離相差120公里, • 根據雙曲線的定義, • 此差值即為2a, 故a＝60. • 由c2＝a2＋b2得 • b2＝c2－a2＝1002－602＝6400, • 由於雙曲線的貫軸在x軸上, • 故雙曲線方程式為 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  48. 隨堂練習4-1 請看課本p.236 承例題4, 假設從岸邊到船隻的距離為40公里, 試找出船隻的坐標. • 解： • 如果船隻離岸邊40公里, 設y = 40代入雙曲線方程式求x. • 因為船隻較接近B點, 故船隻坐標為( , 40). 前一主題 例2 隨堂2 返回 下一主題 例3 隨堂3 例4 隨堂4-1

  49. 丙、雙曲線的漸近線 請看課本p.236 • 設P為曲線y＝f( x )上的一點, 若點P沿著曲線y＝f( x )的一邊移動時, 點P與直線L的距離愈來愈接近0, 但不為0(即點P與直線L可任意的接近, 但不會接觸), 則我們稱直線L是曲線y＝f(x)的一條漸近線. • 例如：指數函數y=2x , 當x愈小時, 2x愈接近0 , 但 仍大於0 , 所以y=2x圖形上的點愈接近x軸, • 但不與x軸相交, 所以x軸即為指數函數 • y=2x圖形的漸近線. 如圖4-19所示 前一主題 隨堂4-2 隨堂4-3 下一主題

  50. 丙、雙曲線的漸近線 請看課本p.237 • 對數函數y=log2x（x>0）, 當x愈接近0時, 即y=log2x圖形上的點愈接近y軸, 但不與y軸相交, 所以y軸即為對數函數y=log2x圖形的漸近線. 如圖4-20所示 圖4-19 圖4-20 前一主題 隨堂4-2 隨堂4-3 下一主題

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