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第二章 点、直线、平面的投影

第二章 点、直线、平面的投影. 2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影. 2.1 投影的基本知识. S. 投影中心. 投射线. B. B. B. 物体. A. A. C. A. C. C. 投影. b. b. b. a. c. a. a. c. c. P. P. P. ( b ) ．斜投影. ( a ) ．中心投影. 投影面. 一．投影的概念与投影法. （ c ） 正投影. 平行投影法. 中心投影法. 2.2 　点的投影. Z. Z. W.

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第二章 点、直线、平面的投影

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  1. 第二章 点、直线、平面的投影 • 2-1 投影的基本知识 • 2-2 点的投影 • 2-3 直线的投影 • 2-4 平面的投影

  2. 2.1 投影的基本知识 S 投影中心 投射线 B B B 物体 A A C A C C 投影 b b b a c a a c c P P P (b)．斜投影 (a)．中心投影 投影面 一．投影的概念与投影法 （c） 正投影 平行投影法 中心投影法

  3. 2.2　点的投影 Z Z W V V W O X YW O X H Y YH H 一．点在三投影面体系中的投影 1．三投影面体系的建立 （a）三投影面的展开 （b）三投影面体系的建立

  4. Z Z az a′ az a〞 W V a′ a〞 az V a′ a〞 W ax ax X ayw O X YW A ayw ax O X ay ayh ayh a a a H Y YH YH H 2. 点的三面投影 从前向后投影—Ｖ（正面）—正面投影图—主视图 从上向下投影—Ｈ（水平面）—水平面投影图—俯视图 从左向右投影—Ｗ（侧面）—侧面投影图—左视图 Z YW

  5. Z Z Z az a′ az a〞 W V a′ a〞 az V a′ a〞 W ax ax X YW ayw O X YW ayw ax A O X ay ayh ayh a a a H Y YH YH H 3．点的直角坐标和投影规律 Ａa′=aax=a〞az=oy 1．点到投影面的距离等于相邻投影的投影到相对应的投影轴上的距离。 Aa=a′ax=a〞ay=oz Aa〞=a′az=aay=ox a′a⊥ox 2．点的投影连线垂直于所对应的轴线。 a′a〞⊥oz aax=a〞az=oy

  6. Z Z az a′ （ b′） az b〞 a〞 a′ b〞 c〞 c′ （ b′ ） c′ V a〞 ax Ｂ X YW ayw O W ax A c〞 C b ay ayh b X a a c c YH Y H 二．两点的相对位置 △X=Xa-Xc △Y=Ya-Yb △Z=Za-Zc

  7. Z Z a′ （ b′） az b〞 a〞 V c〞 c′ W ax YW ayw O X b ayh a Y c YH H 三．重影点 当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。 当Xa=Xb 、Ya=Yb、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。 当Ya=Yb 、Za=Zb、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。 az a′ b〞 （ b′ ） c′ a〞 Ｂ X ax A c〞 C ay b a c

  8. 2.3 直线的投影 Ｐ 直线的投影特征 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ ２ Ｃ Ａ Ｂ １ Ａ Ａ b ２ b b c a １ a (b) a a 1．AB∥P直线 实形性 2．AB∠P直线 类似性 3．AB⊥P直线 重影性或积聚性 4．点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上。 　 直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。

  9. b′ b′ b〞 a′ a′ a〞 b b V a a W X H 一．直线的三面投影及投影特征 １．直线的三面投影 Z b〞 Z B a〞 β γ α X YW O A Y YH ２．直线在三投影面体系中的投影特征 ∠Ｖ、Ｈ、Ｗ　直线　类似性 ⑴．一般位置直线 α、β、γ 在三投影面上都不反映真实大小

  10. ⑵．投影面的平行线： Z ∥Ｖ面　　　直线　实形性 １）．正平线　 ∠Ｈ、Ｗ面　直线　类似性 ab∥OX a〞b〞∥OZ b′ V b′ b′ a〞 b〞 β＝０°α、γ在正面上反映真实大小。 a′ B W a〞 a′ γ b〞 a′ A a〞 β α γ B b〞 A B α ２）．水平线 ∥Ｈ面　　　直线　实形性 ∠Ｖ、Ｗ面　直线　类似性 a′b′∥OX a〞b〞∥OY α=0° β、γ在水平面上反映真实大小。 β A a X b a a b Y b H b′ Z b〞 b〞 b′ γ a〞 b′ α b〞 a′ ３）．侧平线 β α ∥Ｗ　直线　实形性 ∠Ｖ、Ｈ面　直线类似性 ab∥OZ a〞b〞∥OY γ=0° α、β在Ｗ面上反映真实大小。　 a〞 a〞 a′ a′ X YW a O a β a γ b b b YH

  11. Z （3）．投影面的垂直线 １）．正垂线 ⊥Ｖ　　　点　　积聚性 ∥Ｈ、Ｗ　直线　实形性 β=90° α、γ=0° ab∥OY a′b′∥OY V a′ a′ b′ b″ a″ (b′) W A a″ (b″) B a′ b′ a″ B b″ A B A ２）．铅垂线 ⊥Ｈ　　　点　　积聚性 ∥Ｖ、Ｗ　直线　实形性 α＝90° β、γ=0° a′b′∥OZ a″b″∥OZ b X b a a(b) a Y H Z 3）．侧垂线 a″ ⊥Ｗ　　　点　　积聚性 ∥Ｖ、Ｈ　直线　实形性 γ＝90° α、β=0° ab∥OX a′b′∥OX a′ (b′) b″ a″ a′ a′ b′ b′ a″(b″) b″ X YW O b b a a(b) a YH

  12. Z V W X Y H Z k′ k″ k1′ k2′ X YW O k1(k2) k YH 二．两直线的相对位置 １．两直线平行 　　如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定相互平行。 ２．相交两直线 　　如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则这两直线在空间一定相交平行。 ３．交叉两直线 　　既不平行又不相交的两直线。

  13. 30 30° 20 例２－１　判断下列两直线的相对位置。 c′ a′ b′ c′ k′ a′ b′ d′ d′ X O X O d b c cD=c′d′ cK=c′k′ Kk∥Dd K k a b a d c D 交叉两直线 交叉两直线 例２－２　　已知正平线AB＝30mm、β＝30°、AB距Ｖ面20mm、　　　　A点在B点的左上方，试作该直线的两面投影。 a′ b′ X O b a

  14. Ｖ Ｖ Ｈ Ｈ 三．垂直相交两直线的投影 　　垂直相交两直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则两直线在所平行的投影面上的投影反映直角。反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则此两直线在空间必定相互平行。 b′ c′ b′ a′ B01 a′ Yb-Ya β c′ b′ X B A α O Zb-Za a′ b B B0 a c C a b b A c a

  15. AB实长 AB实长 Zb-Za Yb-Ya AB实长 四．用直角三角形法求线段的实长 b′ b01 β Zb-Za Yb-Ya b′ a′ α b X O a a′ a X O a α b0 b b

  16. CK实长 △Y △Y k0 c′ k′ b′ a′ X O b k a c 例２－４已知菱形CD的对角线BD的两面投影和另一对角线AC的一个端点Ａ的水平投影a，试完成菱形的两面投影。 a′ d′ o′ b′ c′ X O a d b o c

  17. 2.4 平面的投影 Ｐ Z X YW O YH 一．平面的表示法 １．几何要素表示法 Z ２．迹线表示法 ＰＺ V ＰＺ ＰＶ ＰＷ ＰＶ W ＰＷ O ＰＹ ＰＸ ＰＹ X ＰＸ ＰＨ ＰＨ ＰＹ Y H

  18. a″ b″ Z Z X X YW YW O O YH YH PV PW a′ PV PW b′ a PH b 铅垂面及平面内的直线 水平面的迹线表示法

  19. Q Q Q P 二．平面的投影特征 平面的投影特征 １．Ｑ∥Ｐ　　平面　实形性 ２．Ｑ⊥Ｐ　　直线　积聚性　　 ３．Ｑ∠Ｐ　　平面　类似性

  20. a′ a′ b′ a″ c′ c′ b′ A Z b″ C c″ a a B c c X YW b O b YH 三．平面的三面投影及投影特征 １．平面的面投影 a″ V b″ c″ W X H 平面的投影图 一般位置平面的投影及投影特征

  21. c′ c″ Z b″ b′ 45° a″ X YW O YH ２．平面在三投影面体系中的投影特征 (1)　一般位置平面 　∠Ｖ、Ｈ、Ｗ面　　平面　类似性 α、β、γ角不反映真实大小。　 (2) 　投影面的垂直面 (3) 　投影面的平行面 例２－５．已知△ABC为一正垂面，其水平投影△abc和a′已知， 　　　　　 △ABC对Ｈ面 的倾角α＝45°，试作出△ABC的正面投影 　　 和 侧面投影。 a′ b a c

  22. Ｚ Ｚ Ｚ Ｚ Ｚ Ｚ γ Ｖ Ｖ Ｖ α Ｗ Ｗ Ｗ Ｘ Ｘ Ｘ Ｏ Ｏ Ｏ ＹＷ ＹＷ ＹＷ Ｘ Ｘ Ｘ Ｈ Ｈ Ｈ ＹＨ ＹＨ ＹＨ Ｙ Ｙ Ｙ 名称 立体图 投影图 投影特征 ⊥V　直线　积聚性β＝90° 正垂面 ∠H、W　平面　类似性　α、γ在V面上反映真实大小。 ⊥H直线　积聚性　α＝90° 铅垂面 ∠V、W　平面　类似性β、γ在H面上反映真实大小。 β γ ⊥W　直线　积聚性　γ＝90° 侧垂面 β ∠V、H　平面　类似性　α、β在W面上反映真实大小。 α

  23. Ｚ Ｚ Ｚ Ｚ Ｚ Ｚ Ｖ Ｖ Ｖ Ｗ Ｗ Ｗ Ｘ Ｘ Ｘ Ｏ Ｏ Ｏ ＹＷ ＹＷ ＹＷ Ｘ Ｘ Ｘ Ｈ Ｈ Ｈ ＹＨ ＹＨ ＹＨ Ｙ Ｙ Ｙ 名称 立体图 投影图 投影特征 ∥V　平面　实形性　β＝0° 正平面 ⊥H、W面　直线　积聚性　α、γ＝90°。 水平投影平行于ＯＸ轴，侧面投影平行于ＯＺ轴。 ∥H　平面　实形性　α＝0° 水平面 ⊥V、W面　直线　积聚性β、γ＝90°。 正面投影平行于OX轴，侧面投影平行于OY轴。 ∥W　平面　实形性　γ＝0° 侧平面 ⊥V、H直线　积聚性　α、β＝90°。 正面投影平行于OZ轴，水平投影平行于OY轴。

  24. l′ 3．平面上的直线和点 ⑴．平面上取直线 几何条件： a)．　　一直线通过平面上两点，则此直线必在　　该平面上。 b)．　　一直线通过平面上一点，且平行于平面　　上的另一直线，则此直线必在该平面上。 ⑵．平面上取点 几何条件： 　若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 a′ 例2－６．已知△ABC平面上L点的水　　　 平投影l，求其正面投影l′，又　　 知K点的正面投影k′和水平投　　　 影k，试判断K点是否在△ABC　　　 平面上。 1′ k′ b′ 2′ c′ X O a l 1 k 结论：K点不在平面上 b 2 c

  25. 15 4′ 2′ 1′ 3′ 26 1 4 3 2 a′ a″ Z 4′ h′ 4″ 3″ g′ 3′ 2″ 1″ 1′ l′ 2′ c′ c″ b′ b″ X YW l O g b h a 3 2 4 YH 1 c 例2－７．在△ABC平面上取一点K，　　　使K点在A点之下15mm，在A　　　点之前26mm，试求出K点的　　　两面投影。 X a′ k′ 例2－８．完成如图所示平面图形的水　　　平投影，并求侧面投影。 c′ b′ O a k b c

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