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数理逻辑 (4). 希尔伯特规划与公理集合论. 希尔伯特规划. ( 1 )公理化数学。 ( 2 )所有真的数学内容都能够在这个公理系统下证明。 ( 3 )证明这个公理系统是协调的。 ( 4 )对于任何“实在”的内容能通过“理想”的方法证明的都能够用“实在”的方法证明。 ( 5 )存在一个算法来判定是否一个语句能够被证明。 “ Wir müssen wissen . Wir werden wissen . ”. 一个例子( 1 ). 偏序语言 L ={≤} 。 稠密无端点全序公理系统 DLO: ∀ x∀y(x≤y ∨ y≤x ); ∀ x(x≤x );

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Presentation Transcript
slide1

数理逻辑 (4)

希尔伯特规划与公理集合论

slide2
希尔伯特规划

(1)公理化数学。

(2)所有真的数学内容都能够在这个公理系统下证明。

(3)证明这个公理系统是协调的。

(4)对于任何“实在”的内容能通过“理想”的方法证明的都能够用“实在”的方法证明。

(5)存在一个算法来判定是否一个语句能够被证明。

“Wirmüssenwissen. Wirwerdenwissen.”

slide3
一个例子(1)

偏序语言L={≤}。

稠密无端点全序公理系统DLO:

  • ∀x∀y(x≤y∨ y≤x);
  • ∀x(x≤x);
  • ∀x∀y∀z(x≤y∧y≤z→x≤z);
  • ∀x∀yz(x<y→x<z<y);
  • ∀xyz(x<y∧z<x)。
slide4
一个例子(2)

DLO的所有可数模型都同构,因此DLO是完备的。

(Q,≤)是DLO的一个模型,因此DLO是协调的。

存在一个算法来判定是否一个语句能够被DLO证明。

1901 1983
塔斯基1901-1983 波兰

初等几何的公理化与判定算法。

代数闭域的完备性与可判定性。

1871 1954 1891 1965
策梅洛弗兰克尔1871-1954,德国 1891-1965, 德国

ZF公理系统:

slide7
悖论的排除
  • {x|x∉ x}不是集合。
  • 全体集合不构成集合。
  • 全体序数不构成集合。
slide8
ZF的一个自然模型
  • V0=Ø
  • Vα=∪β<αP (Vβ)
  • V=∪αP (Vα)
  • 对于所有序数α, Vα是一个传递集合。
slide9
ω
  • 由无穷公理以及comprehension,ω存在。
  • 对于任何集合x,令trcl(x)=x∪(∪y∈xtrcl(y))为包含x的最小的传递集合。

传递闭包的存在性由替换公理保证。

slide10
良基公理
  • 对于所有的集合x,存在一个序数α使得x∈Vα。
  • 因此V是ZF的最大的模型。
slide11
递归定理

定理:给定一个函数F:V×V->V,存在一个函数G:V->V使得对于所有的集合x,G(x)=F(x,G|{y|y∈x}).

证明:应用良基公理。#

令F(x,h)=sup{α+1|y∈x(h(y)=α)},定义集合x的秩:

rank(Ø)=0

rank(x)=sup{rank(y)+1|y∈x}。

andrzej mostowski 1913 1975
AndrzejMostowski1913-1975,波兰

坍塌定理:如果一个集合模型(M, ∈)满足外延公理,则存在唯一一个传递集合N使得(M, ∈)同构于(N, ∈)。

证明:令G(x)={G(y)|y∈x∧y∈M}。#

slide13
无穷公理
  • Vω的元素都是有穷集合。(Vω, ∈)满足除了无穷公理外的所有ZFC公理。
  • ZF可以构造PA的一个模型。实际上ZF-Infty的模型存在性等价于PA模型的存在性。
slide14
幂集公理
  • 如果κ是不可达基数,则(Vκ, ∈)是ZFC的模型。
  • 令H(κ)={x||trcl({x})|<κ}。
  • (H(ω1), ∈)是除了幂集公理外的所有ZFC的模型。
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一个分析定理

定理:存在一个不可测的实数集。

证明 1:构造维塔利集。x~y当切仅当x-y是有理数。

[x]表示等价类。一个维塔利集就是一个集合从每一个等价类中选出一个元素。

证明 2: 构造伯恩斯坦集合。从每一个正测度闭集中选取两个元素,一个放在里面,一个放在外面。

slide16
选择公理

选择公理(AC):对于所有非空集合X,如果X有一个非空集合作为元素,则f:X→∪X∀x≠Ø(f(x) ∈x)。

选择函数的可定义性。

罗素:"The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of socks, but not an infinite number of shoes."

slide17
良序公理

良序公理:所有集合都可以良序化。

证明:显然良序公理蕴含选择公理。

对于任何集合X,存在幂集P (X)。则存在f(A)∈A对于多有的A∈P (X)。于是在序数上做归纳定义:g(0)=Ø,g(α)=f(X-∪β<α{g(β)})。由分离公理,g的值域是X的子集。由替换公理,g的定义域有上界。因此g的值域是X。于是定义x<y当且近当g-1(x) ∈g-1(y)。 QED

1906 1993
左恩引理1906-1993 德国

左恩引理:如果偏序集P的每一个全序子集都有一个上界,则P包含一个极大元。

定理:左恩引理与选择公理等价

证明:良序公理证明左恩引理。

左恩引理证明良序公理:给定任何一个集合A,定义一个偏序集合(F,≤)使得f ∈F当且仅当f是从序数到A的单射。f≤g当且仅当g是f的扩张。则任何一个极大元都是从序数到A的满射。QED

slide19
选择公理的弱形式

可数选择公理(ACω):对于所有非空可数集合X,如果X有一个非空集合作为元素,则f:X→∪X∀x≠Ø(f(x) ∈x)。

依赖选择原理(DC):对于所有非空集合X以及X上的二元关系R,如果∀x∈Xy∈XR(x,y),那么存在一个{xn}n使得∀nR(xn,xn+1) 。

slide20
选择公理的应用

每一个偏序集都可以扩张成一个全序集。

勒贝格测度的可数可加性。

哈恩-巴拿赫定理。

逻辑的紧致性定理。

思科伦定理。

自然数集合是最小的无穷集合。

slide21
塔斯基悖论

任何一个闭球B都可以分解成两个跟B同样大小的球。即B=X∪Y但是存在X,Y和B的分解使得它们的各个对应部分全等。

slide22
无穷公理(2)

一个集合A是无穷的,如果:

(1)A与它的一个真子集等势;或者

(2)存在ω到A的单射;或者

(3)不存在A到自然数的单射。

选择公理下这些定义都是等价的。

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习题
  • 用ZFC证明存在一个不连续函数f使得f(x+y)=f(x)+f(y)。
  • 用ZFC证明(Vω+ω, ∈)满足除替换公理(Replacement)外的所有ZFC公理。
  • 用ZFC证明ZFC-幂集公理+“每一个集合都是可数的”是协调的。
  • 证明替换公理中!y可换成y。
slide24
阅读材料
  • 《Axiom of Choice 》, Thomas Jech