Исследовательская работа на тему «Процентные вычисления в жизненных ситуациях».

1. Исследовательская работа на тему «Процентные вычисления в жизненных ситуациях». Выполнила: Ученица: XI класса Пахомова Ольга. Руководитель: Пьянзина В.И.

2. Цель работы:показать широту применения такого простого и известного учащимся математического аппарата, как процентные вычисления. Научиться решать задачи с простыми и сложными процентами. Задачи: • Выяснить историю происхождения процентов; • Выяснить сферы пользования процентов, их роль в жизни человека; • Найти самые разнообразные задачи с процентами, выяснить их методы решения.

3. План моей исследовательской работы 1.Введение 2.Проценты в прошлом и настоящем. 3.Банковские операции и расчеты. 4. Простые проценты. 5.Сложные проценты. 6.Опытно-экспериментальная работа на примере села Большое Игнатово. 7.Задачи с историческими сюжетами. 8.Задачи из ЕГЭ. 9.Мой принцип решения задач с процентами 10. Заключение 11. Список литературы.

4. Введение. Почему я выбрала тему «Проценты»? В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Поэтому выбранная мной тема особенно актуальна. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. Именно в торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредиты, налог на прибыль и т.д. – всё это проценты. Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни. Ценность полученных результатов в том, что они продемонстрировали широкий спектр применения расчёта процентов в экономических сферах, т.е. тесную взаимосвязь математики с экономикой. .

5. Проценты в прошлом и настоящем. Слово «процент» происходит от лат. слова “pro centum”, что означает «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян, в их клинописных табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты и производить сложные вычисления, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять, рассчитывать проценты и сложные проценты. В первые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге. Знак «%» происходит, как полагают, от итал. слова cento(сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой арифметике допустил опечатку – вместо ctoнаписал %.

6. Банковские операции и расчеты. Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество ~ выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Известно, что в XIV-XV вв. В Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, со­ставляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.

7. Простые проценты Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада (So), независимо от срока хранения и количества начисления процентов. Пример: Пусть вкладчик открыл в сберкассе счет и положил на него S руб. пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы So. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет So/100* р руб. и величина вклада станет равной S = So+ So/100* р = So (1+р/100) руб.; р% называют годовой процентной ставкой. Если по прошествии одного года вкладчик снимает со счёта начисленные проценты So/100* р, а за два года начисленные проценты составят 2So*р/100 руб., через n лет на вкладе по формуле простого процента будет: Sn=So (1+р*n/100)

8. Сложные проценты Рассмотрим другой способ расчёта банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счёта сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет начислять проценты не только на основной вклад, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами. Sn=S0 (1+р/100)n, где n = 1,2,3….

9. Применение процентов Проценты применяются в различных сферах жизнедеятельности человека: в финансовой и экономической (банки), социальной (распределение населения), политической( голосование), коммунальной (повышение и понижение стоимости электроэнергии и квартплаты), в товарных отраслях (распродажи, скидки), в научной (химия, физика – величина КПД),

10. Опытно-экспериментальная работа. Уместнее всего рассмотреть практическую задачу, имеющую применение в реальной жизни, и наиболее удачной оказалась задача на расчет кредитов. С математической точки зрения она интересна тем, что не входит в школьную программу. Действительно, в наше время люди все чаще и чаще берут товары в кредит (ссуда в денежной или товарной форме, предоставляемая кредитором заемщик на условиях возвратности, чаще всего с выплатой процента за пользование ссудой), который доступен каждому. Конечно же, всем хочется приобрести нужный товар, как можно выгодней. Очень интересно, какие кредиты в нашем селе самые удобные. Для проведения этого эксперимента взяты распечатки форм кредитов Сбербанка России и ОАО Инвест Сбербанк .Для того чтобы рассчитать итоговую сумму кредита не обойтись без формул сложных процентов. Sn=S0 (1+р/100)n ( n – срок кредита, m – число выплат в год). Допустим, мы решили купить сотовый телефон за 7 тысяч и стиральную машинку за 11 тысяч. Сразу же возникает вопрос, что выгоднее: взять деньги под проценты в сбербанке или оформить товар в кредит в магазине? В сбербанке России мы можем взять следующие кредиты на любую бытовую технику: «На неотложные нужды», «Доверительный»,«Единовременный». А в селе Большое Игнатово в магазине «Бытовая техника» нам предлагают кредит «Потребительский» на сотовый телефон и кредит «2%» на любую другую бытовую технику.

12. Проведем расчет по одному из кредитов на сотовый телефон («На неотложные нужды» Сбербанка России): =10125 Аналогично рассчитали оставшиеся кредиты. Получены следующие результаты:

14. Сравним более выгодные кредиты на сотовый телефон в диаграмме: Из диаграммы хорошо видно, что кредит на телефон выгоднее оформить в Сбербанке России. А вот кредит на любую другую бытовую технику выгоднее оформить в магазине «Бытовая техника» через ОАО Инвест Сбербанк. Зная формулу сложного процента, легко рассчитать выгоду кредита в любой момент. Это помогает экономить семейный бюджет.

15. Ну а если же мы решили положить деньги в банк, опять же хочется найти самый выгодный вклад. Допустим, я решила положить в банк 30 000 рублей на 2 года. Сбербанк России в нашем селе предложил мне следующие вклады:

16. По истечению срока вклада со счеты мы снимем: Из таблицы видно, что самым выгодным вкладом для нас является «Депозит Сбербанка на 1 месяц и 1 день» Следует не забывать, что рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни многих других причин.

17. Задачи с историческими сюжетами. Рассмотрим одну гипотетическую ситуацию, иллюстрирующую колоссальный рост вклада при увеличении срока его хранения. Предположим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. Это, конечно, не совсем реальная ситуация, но примем ее и займемся вычислениями. В какую сумму превратится эта копейка через 2000 лет, Т.е. к нашему времени? По формуле сложных процентов при So = 1 коп., п = 2000 лет, р = 5% имеем: S = 1 * (1 + 0,05)2000 =(1,05)2ООО коп. Оценим эту величину. Непосредственным подсчетом убеждаемся, что (1,05)14 ~ 1,98 ~ 2 коп. Следовательно, через 14 лет наш вклад в одну копейку удвоится. Это удвоение произойдет 142,8 раза = 2000 : 14, следовательно, к 2000 г. одна копейка превратится в 2142 копеек. Оценим это число. Известно, что 210 = 1024, 220 = 1 048 576, 222 = 4 194 304, 240 = 1 099511 627 776. Поэтому интересующая нас сумма в 2'142 представляется в виде: 2142 = 240.240.240 .222 = =(1 099 511 627 776)3*4 194 304 коп.! Эта сумма превосходит все денежные запасы мира!Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Однако суть явления - рост величины вклада до колоссальных размеров при возрастании срока его хранения - эта модель показывает очень хорошо.

18. Задачи из ЕГЭ. Задача1(В9 2005г.) Если положить на вклад «Накопительный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад 30000 рублей и три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года вложенная сумма денег увеличилась на 9930 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на вклад «Накопительный». Решение: 30 000(1+р)3=39 930 (1+р)3=39 930/30 000 (1+р)3=(1,1)3 р=0,1 0,1*100%=10% Ответ: на 10%.

19. Мой принцип решения задач с процентами Рационально мыслить и рационально считать – таков девиз при решении задач. • Прежде, чем начать решать подобные задачи, необходимо повторить методы отыскания части от целого и целого от части. • Выяснить, какая величина принята за целое, т.е. за 100%. • Ответить на вопрос: известна ли эта величина? • Выяснить, как найти величину, которая приходится на 1%. • Выяснить, что требуется найти – число по его проценту или процент от числа. • Выполнить необходимые действия. Я считаю, что для правильного и лёгкого решения заданий на проценты необходимо проводить анализ задачи.

20. Заключение. В заключение хочется сказать, проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Теперь я знаю формулу сложных процентов и могу быстро высчитать, где мне выгоднее взять кредит или вложить деньги, тем самым хорошо сэкономить и пополнить семейный бюджет.

21. Список использованной литературы 1.Липсиц И.В. Экономика без тайн. М., 1994 2.Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.,1967. 3Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.,1997 4.Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. СПб., 1997 5.Шевкин А.В. Текстовые задачи. М. , 1997 6.СимоновА.С. Проценты и банковские расчеты-1998-№4. 7. Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал. – М.: ООО Школьная Пресса, №10/2003. 8.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.,1992 9. Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. М.,1997 10.Литцман Е. Великаны и карлики в мире чисел. М., 1959. 11.Интернет.