الفكرة العامة

2. الفكرة العامة • أحلل وحيدات الحد . • أحلل ثلاثيات الحدود . • أحلل الفرق بين مربعين . • أحل معادلات تربيعية .

3. لماذا ؟ • هندسة عمارة : يمكن استعمال المعادلات التربيعية لنماذج إنشاءات هندسية كأقواس مداخل بعض المبانى الضخمة مثل ، مدخل مطار الملك خالد الدولى فى الرياض .

5. تحليل وحيدات الحد

6. فكرة الدرس • أحلل وحيدة الحد الى عواملها ـ • اجد العامل المشترك الأكبر لوحيدات الحد

7. المفردات • الصيغة التحليلة • العامل المشترك الأكبر ( ع.م.أ)

8. لماذ ؟ • : تعمل هند قلائد خرز. فإذا كان لديها ٦٠ خرزة فضية اللون و ١٥ خرزة ذهبية اللون. وترغب في أن تحتوي القلادة الواحدة على نوع واحد من الخرز وفي كل منها العدد نفسه من الخرز وتحوي كلٌّ منها أكبر عدد من الخرز، فستحتاج هند إلى تحديد العامل المشترك الأكبر للعددين ٦٠ ، ١٥ .

9. تحليل وحيدات الحد • : تحليل وحيدات الحد يشبه تحليل الأعداد الكلية. وتكون وحيدة الحد بالصيغة التحليلية إذا عبر عنها بحاصل ضرب أعداد أولية ومتغيرات بأس ١. • عند كتابة وحيدة الحد بالصيغة التحليلية نقول إننا حللنا وحيدة الحد تحليلا تامَّا.

10. مثال: الحل : حللى: - ٢٠ س ٣ ص ٢ تحليلا تاما. • ٢٠ س٣ ص٢ = -1×20 س٣ ص2 • = - ×١٠×٢×١ س ×س ×س ×ص ×ص • = - ×٥×٢×٢×١ س ×س ×س ×ص ×ص • لذا، فإن التحليل للعوامل لوحيدة الحد - ٢٠ س ٣ص ٢ هو: - ×٥×٢×٢×١ س ×س ×س ×ص ×ص.

11. العامل المشترك الأكبر • قد يكون لعددين كليين أو أكثر بعض العوامل الأولية المشتركة. ويسمى حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة بالعامل المشترك الأكبر لها.

12. العامل المشترك الأكبر (ع . م . أ ) • لعددين أو أكثر هو أكبر عدد يكون عاملا لكلٍّ من هذه الأعداد، ويمكن إيجاد العامل المشترك الأكبر لوحيدتي حدٍّ أو أكثر بطريقة مشابهة.

13. مثال: أوجد (ع.م.أ) لوحيدتي الحد ١٢ أ ٢ ب ٢ج ، ١٨ أ ب ٣ . الحل :

14. مثال: الحل : : لدى نورة ٢٠ وردة و ٣٠ زنبقة لعمل باقات زهور. فما أكبر عدد من الباقات المتماثلة يمكن عملها دون ترك أي زهرة؟ وكم عدد زهور كل نوع في كل باقة؟ • أوجد (ع .م. أ) للعددين ٢٠ ، ٣٠ . • ٢٠ = 22× ٥ • ٣٠ = ٥ × ٣ × ٢ • (ع .م. أ) للعددين ٢٠ ، ٣٠ هو ٥ × ٢ = ١٠ ، لذا يمكن لنورة عمل ١٠ باقات.بما أن ١٠ ×٢ = ٢٠ ، ١٠ × ٣ = ٣٠ ، لذا فستحتوي كل باقةعلى وردتين و ٣ زنابق.

16. -1×2 ×19 × ر × ب ×ب × ن × ن 1× 2× 2 ×3 ×حـ × حـ × هـ × هـ × هـ × هـ 1× 23 × أ × ب × ب -1×17 × س × س× س × ص × ص × ع = 1 = 24 حـ د 5أ س ص3 أكبر قيمة = 1

17. 1× 2× 3× 7 × حـ×حـ×حـ×هـ×هـ×هـ -1×5× 7 × أ × أ × أ × ب × ب 1× 5 ×19 × ص ×ص× ص 1×11×11×أ × ب × حـ × حـ × حـ -1×2×2×5×5×ك×ك×ك×ك×ر 1×3 ×3×3×3×ن×ن×ن×ن×ن×ن×ب

18. 6 حـ 5س2 2ع 5ن 6أ2 4ر

19. 2 28 = 2 × 2 × 7 36 = 2× 2 × 3 × 3 80 = 2× 2 × 2 × 2 × 5 20 ؛ 150 ؛ 120 ع . م . أ = 10

20. خاطئة 1×3×5×أ×أ×ب×حـ×حـ 1×2×3×ب×ب×ب×حـ×حـحـ×د 1×2×2×3×حـ×حـ×حـ×ف 1×2×11× د× د× د× ف× ل× ل 1×2×3×5×ف×ف×ل×هـ×هـ الحدود هى 6س ص5 ؛ 12 ص3 ؛ 18س2 ص4

21. 7-2 استعمال خاصية التوزيع

22. فكرة الدرس • أستعمل خاصية التوزيع لتحليل كثيرة حدود

23. المفردات • تحليل كثرة حدود ـ التحليل بتجميع الحدود ـ خاصية الضرب الصفرى

24. لماذا؟ : تحدد أجرة مخزن حسب مساحته. ويمكن تمثيل مساحة المخزن بالمعادلة م= ١٫٦ ض ٢ + ٦ض، حيث تمثل ض عرض المخزن بالأمتار، ويمكننا استعمال التحليل إلى العوامل وخاصية الضرب الصفري لإيجاد أبعاد المخزن الممكنة.

25. استعمال خاصية التوزيع فى التحليل • استعملت خاصية التوزيع في الفصل السابق لضرب وحيدة حد في كثيرة حدود كما في المثال الآتي: • ٥ع ( ٤ع + ٧) = ٥ع ( ٤ع)+ ٥ع ( ٧) • = ٢٠ ع ٢+ ٣٥ ع

26. : ويمكنك الإفادة من ذلك في العمل عكسيا للتعبير عن كثيرة الحدود بصورة حاصل ضرب عاملين: وحيدة الحد، وكثيرة الحدود. • ١٫٦ ض ٢ + ٦ ض= ١٫٦ ض (ض)+ ٦(ض) = • ض ( ١٫٦ ض+ ٦)

27. : كذلك ٥ع ( ٤ع+ ٧) يمثل تحليل ثنائية الحد ٢٠ ع ٢+ ٣٥ ع. ويشتمل تحليل كثيرة الحدود تحليلها إلى عواملها الأولية.

28. مثال • الحل استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود الآتية: 27ص٢ + ١٨ ص • أوجد (ع .م. أ) لجميع الحدود. • ٢٧ ص ٢ = × ٣ × ٣ × ٣ ص × ص . • ١٨ ص = 2 × ٣ × ٣ × ص • (ع .م. أ) = ٣ × ٣ × ص = ٩ص

29. اكتب كل حد على صورة حاصل ضرب (ع .م. أ) في باقي العوامل. واستعمل خاصية التوزيع لإخراج (ع .م. أ). • ٧ ص ٢ + ١٨ ص = ٩ص( ٣ص) + ٩ص( ٢ ) • = ٩ص( ٣ص + ٢ )

30. : تسمى الطريقة التي تستعمل فيها خاصية التوزيع لتحليل كثيرة حدود تتك ّ ون من أربعة حدود أو أكثر التحليل بتجميع الحدود؛ لأن الحدود تجمع بطريقة معينة ثم يحلل كل تجميع، ثم تطبق خاصية التوزيع لإخراج عامل مشترك.

32. مثال • الحل : حلل: ٤ ك ر + ٨ ر + ٣ ك + ٦. • ٤ك ر + ٨ ر + ٣ ك + ٦ • = ( ٤ك ر + ٨ ر) + ( ٣ ك + ٦) • = ٤ ر(ك + ٢) + ٣(ك + ٢) • لاحظ أن (ك+ ٢) عامل مشترك لِـ ٤ ر (ك+ ٢) َ و ٣ (ك+ ٢). • = ( ٤ر + ٣) (ك + ٢)

33. مثال • الحل : حلل: ٢م ك - ١٢ م + ٤٢ - ٧ ك. • ٢م ك - ١٢ م + ٤٢ - ٧ ك • = ( ٢م ك - ١٢ م ) + ( ٤٢ - ٧ م) • = ٢م(ك - ٦) + ٧( ٦ - ك ) • = ٢م(ك - ٦) + ٧[(- ١)(ك - ٦)] • = ٢م(ك - ٦) - ٧(ك - ٦ ) • = ( ٢م - ٧)(ك - ٦)

34. لاحظ أن أحد العاملين على الأقل في كل حالة يساوي صفرا. وتبين هذه الأمثلة خاصية الضرب الصفري.

36. مثال • الحل حل كلا من المعادلات الآتية وتحقق من صحة الحل: ( 2د + ٦)( ٣د - ١٥ ) = ٠ • ( ٢د + ٦)( ٣د - ١٥ ) = ٠ • ٢د + ٦ = ٠ أو ٣د - ١٥ = ٠ • ٢د = - ٦ ٣د = ١٥ • د = - ٣ د = ٥ • الجذران هما - ٣ ، ٥.

38. مثال • الحل يمكن تمثيل ارتفاع سهم ع بالأمتار بالمعادلة ع= - ٥ ن ٢ + ٢٠ ن، حيث ن الزمن بالثواني. إذا أهمل ارتفاع رامي السهام، بعد كم ثانية يصل السهم إلى الأرض بعد إطلاقه ؟ • عندما يصل السهم إلى الأرض ع= ٠ • ع= - ٥ ن ٢ + ٢٠ ن • ٠ = - ٥ ن ٢ + ٢٠ ن • ٠ = ٥ ن (- ن+ ٤) • ٥ ن= ٠ أو - ن + ٤ = ٠ • ن= ٠ أو -ن = - ٤ • ن = ٤ • يصل السهم إلى الأرض بعد إطلاقه بِ ٤ ثوا ٍ ن.

39. 7-3 المعادلات التربيعية : س2 + ب س + جـ =0

40. فكرة الدرس • أحلل ثلاثية حدود على الصورة : س2 + ب س جـ

41. المفردات • المعادلة التربيعية

42. لماذا؟ : بركة سطحها مستطيل الشكل، يراد وضع سياج حولها طوله ٢٤ م. إذا كانت مساحة سطح البركة ٣٦ م ٢، فما بعداها؟ لحل هذه المسألة، يجب إيجاد عددين حاصل ضربهما ٣٦ ومجموعهما يساوي نصف محيط البركة أي ١٢ .

43. تحليل س2 + ب س + جـ =0ضرب ثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب، على أن تكون كل ثائية حد منهما عاملا لناتج الضرب. ويمكن استعمال نمط ضرب ثنائيتي الحد لتحليل أنواع معينة من ثلاثيات لحدود.

50. مثال يصمم سعيد لوحة إعلان لبيع أقراص مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كان ارتفاع الجزء العلوي من اللوحة ٤ بوصات، ويزيد طول باقي اللوحة على عرضها بِ ٢ بوصة. و مساحة اللوحة ٦١٦ بوصة مربعة، فأوجدى عرض اللوحة. • الحل