第三章  线性方程组
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第三章 线性方程组. §1 消元法 §2 n 维向量空间 §3 线性相关性 §4 矩阵的秩 §5 线性方程组有解判别定理 §6 线性方程组解的结构. §1 消元法. 现在讨论一般线性方程组: (1) 其中 为 n 个未知量, s 为方程个数; 为.

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第三章 线性方程组

  • §1 消元法

  • §2 n维向量空间

  • §3 线性相关性

  • §4 矩阵的秩

  • §5 线性方程组有解判别定理

  • §6 线性方程组解的结构


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§1 消元法

  • 现在讨论一般线性方程组:

    (1)

    其中 为n个未知量,s为方程个数; 为


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方程组的系数, 为常数项。s与n不一定相等。满足方程组(1)的有序数组 称为方程组的解;解的全体称为解集合。如果两个方程组有相同的解集合,就称为它们是同解的。

, 。


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A为系数矩阵

为增广矩阵


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  • 解方程组

    方程组的解为(9,-1,-6)。


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用了

1、用一个非零的数乘某一方程;

2、把一个方程的倍数加到另一个方程;

3、互换两方程的位置。

定义1 变换1、2、3称为线性方程组的初等变换。及矩阵的初等行变换。

容易验证初等变换总是把方程组变成同解方程组。


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  • 用初等变换解一般线性方程组:

    对于方程组(1)如果 的系数

    全为零,(1)可以看为

    的方程来解。否则,利用初等变换(3)可以设 ,用变换(2)将方程组(1)变为:


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(3)

其中


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这样解方程组(1)就归结为解下方程组 (3)

(4)

对(4)重复以上过程,最后得到

一个阶梯形的方程组。


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其中 (3)

  • 当 时,方程组无解;

  • 当 时,分两种情况:

    1)r=n,这时阶梯形方程组为

    其中 。这时方程组有唯一解。


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2) (3)r<n,阶梯形方程组为

其中

,把它改写成


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(7) (3)


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这时,有无穷多组解。由(7)式,我们可以把 通过 表示出来,这样一组表达式称为方程组(1)的一般解,而 称为一组自由未知量。

  • r>n,是不可能的。

  • 总之:首先将方程组化为阶梯形的方程组,若 ,则方程组无解;

    若 ,方程组有解。在有解的情况下,若r=n,有唯一解;若r<n有无穷多解。


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定理1 这时,有无穷多组解。由(7)式,我们可以把 通过 表示出来,这样一组表达式称为方程组(1)的 在齐次线性方程组

中,如果s<n,那么它必有非零解。

证明 显然,方程组化为阶梯形方程组后,方程组的个数不会超过原方程组中的个数,即r≤s<n,由上结论知,r<n方程组有无穷解,因而必有非零解。


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同解方程组为用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简

一般解为

为自由未知量。


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  • 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简


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  • 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简 对增广矩阵作初等行变换

    从最后一行可以看出原方程组无解。

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§2 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简n维向量空间

  • 消元法是解方程组的一个行之有效的算法。但有时需要直接从原方程来判是否有解?并且,消元法化为阶梯形方程组的过程中,最后剩下来的方程个数是否是唯一的?这些问题都需要用向量的知识来解决。


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定义用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简2所谓数域P上一个n维向量就是由

数域P中n个数组成的有序数组

(1)

称为向量(1)的分量。

P为实数域,n=2为平面点,n=3为空间点。

n>3则没有几何意义了。

用希腊字母 来代表向量。

定义3如果n维向量

的对应分量相等,称为这两个向量相等,记作


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  • 定义4用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简 向量

    称为向量

    的和,记为

  • 满足 交换律

    结合律


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定义5用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简 分量全为零的向量(0,0,…,0)称为零向量,记为0。

向量

称为向量 的负向量,记为

  • 定义6


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  • 定义7用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简 设k为数域P中的数,向量

    称为向量 与数k的数量乘积,记为 。


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  • 定义8用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域P上的n维向量空间。

  • 向量可以表示为行向量和列向量:

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§3 线性相关性用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以,解方程组一般用增广矩阵化简

  • 以下我们总是在一固定的数域P上的n维向量空间讨论。

  • 本节我们讨论向量的线性关系。两个向量的之间的关系是成比例, 及

    多个向量的比例关系表现为线性组合。

  • 定义9 向量 称为向量组 的一个线性组合,如果有数域P中的数

    使


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也称为 可由向量组 线性表出。

如任一n维向量 都是向量组

的一个线性组合

向量组 称为n维单位向量组。


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  • 零向量是任一向量组的线性组合。 也称为 可由向量组

  • 定义10 如果向量组 中每一向量 都可以经过向量组 线性表出,那么向量组

    就称为可以经过向量组

    线性表出。如果两向量组互相可以线性表出,它们就称为等价。

  • 每个向量组都可以由它自身线性表出。

  • 如果向量组 可经向量组

    线性表出, 可以经 线性表出,那么向量组


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可以经 线性表出, 也称为 可由向量组

  • 事实上 如果


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  • 向量组等价性质 也称为 可由向量组 :

    1)反身性 每一个向量组都与它自身等价;

    2)对称性 如果向量组 与

    等价,那么 与

    等价;

    3)传递性 如果向量组 与

    等价, 与

    等价,那么 与

    等价


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定义11 也称为 可由向量组 如果向量组

中有一个向量可以由其余向量线性表出,

那么向量组 称为线性相关。

例如


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两个向量线性相关,则 或 也称为 可由向量组

(两个不一定同时成立)

  • 在三维空间中,两个向量线性相关表示共线;三个向量线性相关,表示共面。

  • 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。

  • 定义11` 向量组 称为线性相关的,如果有P中不全为零的数


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使 也称为 可由向量组

  • 当 时,两定义是一致的。

  • 事实上 若按定义11, 是线性相关的,则其中有一向量是其余向量的线性组合,不妨设

    因 不全为零,按定义11`,线性相关。


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反之,若 按定义11`线性相关, 也称为 可由向量组

即有不全为零的数

使

不妨设 ,于是

这说明 可以由其余向量线性表出,所以此向量组按定义11也线性相关。


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定义12 也称为 可由向量组 一向量组 不线性相关,即没有不全为零的数 使得

就称为线性无关;或者说 称为线性无关,如果由

可以推出


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如果一个向量组的一部分线性相关,那么这个向量组线性相关;换句话说,如果一向量组线性无关,那么它的任一个非空的部分组也线性无关。如果一个向量组的一部分线性相关,那么这个向量组线性相关;换句话说,如果一向量组线性无关,那么它的任一个非空的部分组也线性无关。(部分相关,整体相关;整体无关,部分无关)

  • 单个向量线性相关当且仅当 ;两个向量线性相关当且仅当对应分量成比例。

  • n维单位向量组 线性无关。


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如果一个向量组的一部分线性相关,那么这个向量组线性相关;换句话说,如果一向量组线性无关,那么它的任一个非空的部分组也线性无关。 判断

是否线性相关?

解 设


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由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关, 特别取一组解(3,-1,-1)得

一般判别一个向量组

(2)

是否线性相关,按定义11`,看方程

(3)

是否有非零解,


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分量形式为:由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关

(4)

因此, 向量组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)有非零解。

  • 如果(2)线性无关,那么在每一个向量上添加一个分量得到的n+1 维的向量组

    (5)

    也线性无关。(原来无关,延长无关)


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  • 事实上由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关,与向量组(5)相对应的齐次线性方程组为

    (6)

  • 显然(6)的解全是(4)的解,如果(4)只有零解,则(6)也只有零解。

    这个结论可以推广到添加几个分量上去。


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  • 定理2由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关 设 与 是

是两个向量组,如果

1)向量组 可以经

线性表出,

2)r>s,

那么向量组 必线性相关。

(多的用少的线性表出,多的线性相关)。


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证明由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关 由1)有

为了证明 线性相关,设

如果我们能找到不全为零的数

使上式成立,那就证明了

的线性相关性。


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由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关


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因为由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关r>s,齐次线性方程组

中未知量个数大于方程个数,由定理1,它有非零解。


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  • 推论1由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关 如果向量组 可以经过向量组 线性表出,且

    线性无关,那么r≤s.

  • 推论2n+1个n维向量必线性相关。

    因为n+1个n维向量可由单位向量组线性表出。

  • 推论3 两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量。


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定义13由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关 一向量组的一个部分组称为一个

极大线性无关组,如果这个部分组本身是

线性无关的,并且从这向量组中任意添加

一个向量(如果有的话),所得到的部分

向量组都线性相关。


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  • 由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关

    因为 且 线性无关,所以 为一个极大线性无关组, 也是一个极大线性无关组。

  • 任意一个极大线性无关组都与向量组等价;因而,一向量组的任意两个极大线性无关组是等价的。

    (课上证明)

  • 定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

    由上结论和定理2的推论3得。


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  • 定义14由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

  • 例如

    的秩是2。

  • 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同。

  • 等价向量组必有相同的秩。

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§4 矩阵的秩由消元法可解的方程组有无穷多组解,故向量组线性相关

  • 矩阵可以看成行向量组成的,也可看成列向量组成的。

  • 定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩。

  • 例 矩阵


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是行向量组的一个极大线性无关组。所以行秩为3。A的列向量组为

线性无关,

所以 是列向量组的一个极大线性无关组,列秩为3。

  • 引理 如果齐次线性方程组


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(1)

的系数矩阵

的行秩r<n,那么,它有非零解。

  • 证明 这是定理1的改进。

    以 代表A的行向量组,因为它


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的秩为 (1)r,所以极大线性无关组是由r个向量组成。无妨设 是一个极大线性无关组。我们知道,向量组

与 是等价的,也就是说方程组(1)与方程组

(2)

可以互相线性表出,因而方程组(1)与(2)同解。对于方程组(2)应用定理1,即得所要的结论。||


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  • 定理4 (1) 矩阵的行秩和列秩相等。

  • 证明 设所讨论的矩阵为

    而A的行秩=r,列秩= 。我们先来证

    以 代表A的行向量组,无妨设 是它的一个极大线性无关组。因 是线性无关的,


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所以方程组 (1)

只有零解,及齐次线性方程组

只有零解。由引理,这个方程组的系数矩阵


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的行秩≥ (1)r。因之在它的行向量组中可以找到r个是线性无关的,不妨设为

线性无关。根据上一节的结论,在这个向量组上添加几个分量得到的向量组

也线性无关。它恰好是矩阵A的r个列向量,由于它们是线性无关的,所以矩阵A的列秩 。

同理,可以证明 。所以有

。||


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  • 矩阵的行秩与列秩统称为 (1)矩阵的秩。

  • 定理5 矩阵

    的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n。

  • 证明充分性。因为A的秩小于n,所以A的n个行向量组线性相关。当n=1时,A只有一个数,即只有一个一维向量,它又是线性相关的向量组,就是零向量,从而|A|=|0|=0. 当n>1时,矩阵A中有一行是其


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余各行的线性组合。从这一行依次减去其余各行的相应的倍数,这一行就全变为零,由行列式性质知|A|=0。

必要性。我们对n做数学归纳法。

当n=1时,由|A|=0可知A的仅有一个元素就是零,因而A 的秩为零。假设结论对n-1级矩阵已证,现在来看n级矩阵的情况。我们以 代表A的行向量。检查A的第一列的元素

,如果它们全为零,那么A的列向量组中含有零向量,当然秩小于n。如果这n个元素中有一个不为零,譬如说 ,那么从第二行直到第n行减去第一行的


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适当的倍数,把 消成零,即得 余各行的线性组合。从这一行依次减去其余各行的相应的倍数,这一行就全变为零,由行列式性质知|

其中

由|A|=0可知n-1级矩阵


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的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量

线性相关,这就是说,有不全为零的数

使

改写一下,有


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这组数当然也不全为零,从而向量组 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量

线性相关,它的秩小于n。||

  • 推论 齐次线性方程组

    有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵


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的行列式等于零。 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量

  • 证明 条件的充分性可由定理5及引理直接得出。条件的必要性是Cramer法则的直接推论。

  • 定义16 在一个s×n的矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的k级行列式,称为A的一个k级子式。


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其中 。 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量

  • 例 矩阵

  • 定理6 一矩阵的秩是r的充分必要条件是矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有的r+1级子式全为零。

  • 证明 必要性。设矩阵A的秩为r。这时,矩阵A中任意r+1个行向量都线性相关,矩阵A的任意r+1级子式的行向量也线性相关。由定理5,这种子式全为零。


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现在来证矩阵 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量A中至少有一个r级子式不为零。因为

的秩为r,所以A中有r个行向量线性无关,譬如说,就是前r个行向量。把这r行取出来,作一新的矩阵

显然,矩阵 的行秩为r,因而它的列秩


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也是 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量r,这就是说,在 中有r列线性无关。不妨假设前r列线性无关,因而,行列式

它就是矩阵A的一个r级子式。这就证明了必要性。

充分性。设矩阵A中有一r级子式不为零,而所有r+1级子式全为零,我们证明A的秩为r。

首先,由行列式按一行展开的公式可知


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如果 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量A的r+1级子式全为零,那么A的r+2级子式也为零。所有大于r的子式全为零。

设A的秩为t,由必要性t ≥ r ,否则,A的r级子式就全为零了。同样t r,否则A就要有一个t(≥r+1)级子式不为了零,而按照假定这是不可能的。因之t=r。这就是我们要证明的结论。

定理包含两部分,一部分是,矩阵A的秩≥r的充分必要条件是A有一个r级子式不为零;另一部分是,矩阵A的秩≤r的充分必要条件为A的所有r+1级子式全为零。从定理的证明可看出,在秩A为r的矩阵中


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不为零的 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量r级子式所在的行正是它行向量的一个极大线性无关组,所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组。

  • 因为矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组。而等价向量组含有相同的秩,因此,初等行变换不改变矩阵的秩。同样地,初等列变换也不改变矩阵的秩。一般用初等变换化:


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  • 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量r(A)=r。

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§5 线性方程组有解的判别定理 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量

  • 设线性方程组为:

    (1)

    引入向量


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于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量

显然,线性方程组(1)有解的充分必要条件为向量 可以表成向量组

的线性组合。


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  • 线性方程组有解的判别定理 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量 线性方程组(1)有解的充分必要条件为它的系数矩阵

    与增广矩阵

    有相同的秩。


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  • 证明 的行列式为零。根据归纳法假设,这个矩阵的行向量组线性相关,因而向量 先证必要性,设线性方程组(1)有解,即 可以由向量组 线性表出。由此立即推出,向量组

    与向量组

    等价,因而有相同的秩。这两个向量组分别是矩阵A与 的列向量组。因此,矩阵A与 有相同的秩。

    充分性。设矩阵A与 有相同的秩,就是说,它们的列向量组 与 有相同的秩,令它们的秩为r。 中的极大线性无关组是由r个向量组成,不妨设

    是它的一个极大线性无关组,


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显然 也是向量组

的一个极大线性无关组,因此向量 可经向量组 线性表出。也即 可经 线性表出。因此,方程组(1)有解。||

  • 在消元法中将 化为上阶梯阵的情形:

    当且仅当 ,即A与 有相同的秩时,方程组有解。


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  • Cramer法则也可以求解方程组。若A与 的秩为r,则A有一个r级子式不为零,不妨设为左上角的r级子式。 的前r行就是一个极大线性无关组,第r+1,…,s行都可以经它们线性表出。因此方程组(1)与

    (4)

    同解。


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  • r=n时,由Cramer法则,方程组(4)有唯一解,也就是方程组(1)有唯一解。

  • 当r<n时,将方程组(4)改写成 (5)

  • 对于(5)用cramer法则,可以解出



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§6 线性方程组解的结构

  • 解的结构就是在无穷多解时,解与解之间的关系问题。在无穷多解时,全部解都可用有限多个解表示。

  • 齐次线性方程组解的性质:

    (1)


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1、两个解的和还是方程组的解;

2、一个解的倍数还是方程组的解。

  • 几何意义:n=3时,每个齐次线性方程组表示一个过原点的平面。于是方程组的解也就是这些平面的交,如果不只是原点的话,就是一条过原点的直线或一个过原点的平面。以原点为起点,两端点在一条直线或一个平面上的向量具有以上性质。

  • 齐次线性方程组解的线性组合还是方程组的解。

  • 定义17 齐次线性方程组(1)的一组解


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称为(1)的一个 基础解系,如果

1)(1)的任一个解都能表成 的线性组合;

2) 线性无关。

  • 定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于n-r,这里r表示系数矩阵的秩(以下将看到,n-r也就是自由未知量的个数)。

  • 证明 设方程组(1)的系数矩阵的秩为r,无妨设左上角的r级子式不为零。于


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是由上节分析,方程组(1)可改成 (3)

  • 如果r=n,则方程组没有自由未知量只有零解。以下设r<n。

    我们知道,把自由未知量的任意一组值 代入(3),就唯一地得到方程组(1)的一组解。换句话说,方程组(1)的任意两个解,只要自由未知


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量的值一样,这两个解就完全一样。 (3)

在(3)中我们分别用n-r组数

(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1) (4)

来代自由未知量,就得出(3)——也就是方程组(1)的n-r个解:

(5)

我们现在证明(5)就是一个基础解系。

首先证明线性无关。


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事实上 (3),因为(4)线性无关,而(5)为向量组(4)添加r个分量得到的,所以(5)也线性无关。

再证(1)的任意一个解可以由

线性表出。设

(6)

是(1)的一个解。由于 是(1)的解,所以线性组合

(7)

也是(1)的一个解。比较(7)和(6)最后n-r个分量完全相同,所以有


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这就是说,任意一个解 都可以表示成 (3)

的线性组合。

至于其他的基础解系,由定义知,一定与这个基础解系等价,同时它们又都是线性无关的,因而含有相同的个数,这就证明了定理的第二部分,

  • 任意一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组是基础解系。


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  • 下面讨论一般的线性方程组: (3)

    (9)

  • 齐次方程组(1)称为方程组(9)的导出组。

  • 1、(9)的两个解的差是它的导出组 (1)的解;

  • 2、(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。


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  • 定理8 (3) 如果 是方程组(9)的一个特解,那么方程组(9)的任意解可以表成

    (10)

    其中 是导出组(1)的一个解。因此,对于方程组(9)的任一个特解 ,当 取遍它的导出组的全部解时,(1)就给出(9)的全部解。

  • 证明 显然

    由上面的性质1, 是导出组(1)的一个解,令


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就得到定理的结论。既然(9)的任一解都能表成(10)的形式,由性质2,在 取遍(1)的全部解的时候

就取遍(9)的全部解。||

  • 由定理8得到方程组(9)的结构形式

    其中 是(9)的一个特解, 是导出组的一个基础解系。

  • 推论 在方程组有解的情况下,解是唯一的充分必要条件是导出组(1)只有零解。


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  • 线性方程组理论与解析几何的关系 就得到定理的结论。既然(9)的任一解都能表成(10)的形式,由性质2,在 取遍(1)的全部解的时候。

    (11)

    在(11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组(11)有没有解的问题,就相当于这两个平面有没有交点的问题。

  • 1、A的秩=1, 的秩=1。这就是说A的两行成比例,又 的两行也成比例,所以这两个平面重合。方程组有解。


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  • 2、 就得到定理的结论。既然(9)的任一解都能表成(10)的形式,由性质2,在 取遍(1)的全部解的时候A的秩=1, 的秩=2。则两个平面平行而不重合。方程组无解。

  • 3、 A的秩=2,这时 的秩=2。两平面不平行,但相交。方程组有解。此时,譬如说 是自由未知量,一般解的形式为

    两平面相交于一条直线。可改写为点向式方程


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引入参数 就得到定理的结论。既然(9)的任一解都能表成(10)的形式,由性质2,在 取遍(1)的全部解的时候t,令 ,参数方程为:

(13)

  • (11)的导出组是

    (14)

    从几何上看这是两个与(11)中两平面平行且过原点的平面,因而它们的交线过原点且与直线(13)平行,所以这条直线的参数方程就是:


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(15)

(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系。


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例、已知向量组 (15)

如果各向量组的秩分别为

R(I)=R(II)=3,R(III)=4.证明:向量组

的秩为4。


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(15) 因R(I)=R(II)=3,所以 线

性无关,而 线性相关,故存在数 使得

(1)

设有数 使得


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将(1)代入上式,化简得 (15)

由R(III)=4知 线性无关。

所以

得,

故 线性无关,即其秩

为4。

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