Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В .

1. Комбинаторика. Вероятность. Выполнила: Николаева М. В.

2. Теория Вероятности Главные понятия: Событие – это факт, который может произойти в результате испытания Испытание – это осуществление определённого комплекса условий

4. Виды событий

5. Различают события

6. Комбинаторика- изучает количество комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества Элементы комбинаторики

7. Перестановки-это комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения n! = 1*2*3*…n (факториал) 0!=1 Пример: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Ответ: На первом месте может стоять любая из трёх чисел, на втором месте уже любая из 2 чисел, а на третьем только одна. Всего вариантов 3!=6

8. Задачи • Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3 горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других флаг? • В семье 6 человек, и за столом стоят 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторения. ? • Десять разных писем раскладывают по одному в десять конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания? • В коридоре висят 4 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

9. Ответы • 1*2*3 = 6 комбинаций • 6*5*4*3*2*1 = 720 различных способов • 10! = 3628800 способов • Каждая лампочка может гореть или не гореть, тогда число всех способов освещения равно 2*2*2*2 = 16

10. Размещения– это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. = Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Ответ: Искомое число сигналов = 5*6=30 сигналов

11. Сочетания– это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. - = Пример: Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? Решение: Искомое число способов = Ответ: 45 способов

12. Задачи • «Проказница мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких- нибудь попавшихся под лапы музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколько способов выбора есть у • Мишки? • 2) Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трёх членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

13. Ответы = 1) = = 13*11*9 = 1287 способов 2) Чтобы выбрать председателя – 80 способов, для секретаря – 79 способов. А порядок выбора для комиссии не имеет значения. Сделать это можно способами = = = = 13*77*76 = 76076 Всего способов 6320*76076 = 480800320

14. Выбор нескольких элементов

15. Задачи 1)В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч? 2)Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий? 3)В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих.. Сколькими способами это можно сделать, если а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?

16. Ответы 1) = 21 = 15 2) Первый способ: Второй способ: Условно переименуем друзей. Первый поздоровался со 2, 3, 4, 5, 6. Всего 5 рукопожатий. Для второго неучтёнными остались рукопожатия с 3, 4, 5, 6. Всего 4 рукопожатия и т. д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15 1 2 2 6 6 1 3 5 5 4 3 4

17. 3)Для первого случая порядок выбора важен: например Коля решает по алгебре, Катя – по геометрии, а наоборот уже будет другая комбинация. Тут применимо правило умножения. По алгебре может решить один из 27 учеников, а по геометрии – уже один из оставшихся 26 учеников. Получаем 27*26 = 702 способа. Для стирания с доски порядок вызова учеников не важен, т. е. к примеру, вызов Коли и затем Кати ничем не отличается от вызова Кати и затем Коли.. Поэтому если считать как в первом случае, то любую пару учеников мы посчитаем дважды. Значит количество вызовов без учёта порядка будет ровно в два раза меньше, чем количества вызовов с учётом порядка. Ответ: а) 702; б) 351

18. Перестановки с повторениями – это комбинации, состоящие из одних и тех же n элементов, из которых некоторые одинаковы, и отличающихся только порядком их расположения. Пример: Перечислите различные перестановки слова МАМА Решение: мама, маам, ммаа. Амам, аамм, амма. Ответ: 6 перестановок

19. Сочетания с повторениями –это комбинации , составленные из n различных элементов, среди которых встречаются одинаковые, по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. = Пример: В кондитерском магазине продаётся 4 сорта пирожных: наполеон, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Ответ: = = = =120

20. Вероятность Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. Где m – число исходов, , благоприятствующих событию А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания. Свойства вероятности 1) Вероятность достоверного события равна единице. 2) Вероятность невозможного события равна нулю. 3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулём и единицей. Р(А) =

21. Алгоритм Для нахождения вероятности случайного события А опыта следует: 1)Найти число N всех возможных исходов данного опыта; 2) Найти количество N (А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А; 3) Найти число N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А Пример Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра. Решение: Пусть событие А – нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число всех элементарных исходов равно 10. Таким образом, искомая вероятность равна Р(А) =

22. Правило умножения Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания В Пример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет все три раза. Решение: По правилу умножения получаем 1/2*1/2*1/2

23. Задачи • По цели произвели 24 выстрела, причём было зарегистрировано 19 попаданий. Найти частоту попаданий • В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

24. Ответы 1) 19/24 2) 10/30 = 1/3

25. Спасибо за внимание!