楊氏係數測定（彎曲式）

1. 楊氏係數測定（彎曲式） 大 綱 目的、儀器 原理 實驗步驟 實驗報告

2. 目的、儀器 • 目的 • 測量金屬棒受重力作用而彎曲的最大撓度，並計算金屬棒的楊氏係數。 • 儀器 • 橫樑彎曲器、光槓桿、望遠鏡、游標尺、米尺。

3. 原理 • 在彈性限度內，彈性體受外力作用因而產生形變，其應力σ（單位面積所受之力）和應變δ（長度變化量和原長之比）之比為一個常數，稱為該物體的彈性係數。若此外力為垂直於橫截面的拉力或壓力，則此常數稱為楊氏係數(Young’sModulus)。設金屬棒的原長為l，截面積為A，受外力F 作用後，產生長度變化量Δl，則楊氏係數Y 為 • 楊氏係數在CGS 制的單位為dyne/cm2 ，MKS 制的單位為N/m2 。

6. 考慮一材質均勻的矩形金屬棒，水平放置在兩支撐架上，金屬棒的中央受一重力Mg 作用而彎曲，如圖9-1 所示。比較水平金屬棒和彎曲金屬棒的橫截面可知，水平金屬棒的上半部分（虛線以上）因受到內壓的力量而在縱方向收縮，水平金屬棒的下半部分（虛線以下）因受到外拉的力量而在縱方向伸長，中央的虛線表不收縮和不伸長的縱向面，稱為中性面。為方便說明，將圖9-1的彎曲弧線上下顛倒，如圖9-2 所示，圖9-3 為其橫截面的座標圖。除了正中央的橫截面外（和作用力Mg 平行），其餘的橫截面因上下部份分別受壓力和拉力的作用，各轉了某個角度而成為傾斜面，但傾斜面仍和弧線垂直，如圖中的mn和pq 兩對稱面。

7. 將弧線視為某圓弧線的一部分，則橫截面mn 和pq 的延長線交會於圓弧線的曲率中心O，自O 點至中性面的距離稱為曲率半徑。中性面和橫截面的交叉線稱稱為中性軸，對圖9-2 中的橫截面mn 而言，中性軸的方向和紙面垂直，在圖9-3 中設為z 軸，另外正y 軸方向指向曲率中心，因此x 軸垂直yz 平面在圖二中沿著縱向朝左和中性面相切。橫樑受外力作用而彎曲現象，乃應力矩對橫截面作用使其對中性軸轉動，直到反向應力矩增大至與應力矩相抗衡時，橫樑的彎曲即形成。（注意：橫截面mn 的x、z 軸和pq 的x、z 軸方向在小角度dθ時恰好相反）

8. 設橫截面mn 和pq 間的夾角為dθ，弧線1 代表中性面在兩橫截面間的長度dx ，若弧線1 和曲率中心的距離為ρ （曲率半徑）則dx = ρ dθ ，也等於兩橫截面在金屬棒尚未彎曲前的距離。距離中性面為y 的縱向面以弧線（圖中虛線）2代表，則x 方向的應變為

9. 也就是說，縱向面的應變和距中性面的距離成正比，當y > 0 時（中性面的下方部份） δx < 0，表示縱向面收縮；當y < 0 時（中性面的上方部份） δx >0 ，表示縱向面伸長。從楊氏係數的定義(1)可知x 方向的應力為

10. 公式(3)中的負號表示應力的方向：對pq 面而言，當y > 0 時應力朝負x 軸方向，當y < 0 時應力朝正x 軸方向，這一對正負x 軸應力矩使橫截面從原來位置轉動至pq 的位置。同時由(3)式可知橫樑的頂面及底面所受的應力為最大。 • 因為沒有沿著縱向面的作用力（外力Mg 的方向沿著中央橫截面），故橫截面的x 方向合力為零，也就是

11. 這表示橫截面積對z 軸的一次矩為零（參見圖9-3），因此z 軸必通過橫截面的形心C（形心的定義見本文末尾），換句話說在橫樑的彈性範圍內（y 值固定），中性軸通過橫截面的形心。 • 對中性軸（z 軸）而言橫截面所受的平衡力矩為 • 代入(3)式中的應力x σ 得 • 上式定義橫截面對中性軸的慣性矩為I= ∫y2dA，故曲率半徑的倒數（曲度）為

17. 實驗步驟

18. 預習

19. 附表：

20. 實驗報告 • ※所有測量值以CGS 制填寫，楊氏係數請改為MKS 制表示。 • 一、銅棒

22. 二、鋼棒