一、变上限定积分

第三章　函数的积分学 第六节　微积分的基本公式一、变上限定积分二、微积分的基本公式

y B y = f (x) C A O a x b x ≤ ≤ 一、变上限定积分如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x]上曲边梯形AaxC 的面积，如图中阴影部分所示的面积. 当 x 在区间 [a, b]上变化时, 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分 (x) 记作  (x)，是上限变量 x 的函数. 即

定理1 若函数f (x) 在区间[a, b]上连续， 则变上限定积分并且它的导数等于被积函数，在区间[a, b]上可导，即

y B y = f (x) C A (x) O a x b x 证　按导数定义，由  (x) 的定义得对应的函数  (x) 的量  (x)，给自变量x以增量 x，x +x  [a, b]，即  (x) =  (x + x) - (x)  x + x

　　根据积分中值定理知道，在x与 x +x 之 间至少存在一点 x，使  (x) 所以，当x  0 时有 x  x， f (x) f (x)，成立. 又因为 f (x) 在区间 [a, b]上连续，从而有  (x) 故

变上限定积分 定理 1 告诉我们，是函数 f (x) 在区间 [a, b]上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理 1 也称为原函数存在定理.

求 (x). 例1 解根据定理1，得

例 2 求 F (x). 解根据定理1，得

求 (x). 例 3 解  (x)

例 4 解

二、微积分的基本公式 定理2 如果函数f (x) 在区间[a, b]上连续，那么 F(x) 是f (x) 在区间[a, b]上任一原函数，

≤ ≤ 证　由定理 1 知道又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b]上一个原函数， f (x) 在 [a, b]上的一个原函数，由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，即 ① 把 x = a代入①式中，于是得则，常数 C = F(a)，

移项，得 令 x = b代入上式中，再把积分变量 t换成 x，得 ② 　　为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的这样 ② 式就写成如下形式：

例5计算下列定积分. 解

例6计算下列定积分. 解

例8计算 解把被积函数化简.

≤ 例9 ≤ 解

一、变上限定积分

一、变上限定积分

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