П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян

1. П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян Влияние критерия Нехорошева на динамическую апертуру кольцевых накопителей с системой октупольных линз

2. Введение. • Октупольные линзы часто включаютс в структуру кольцевых накопителей для создания зависимости частот поперечных колебаний частиц от амплитуды колебаний. Это необходимо для стабилизации поперечных когерентных неустойчивостей ;;однако, как показали последние исследования динамической апертуры (ДА) в синхротроне СИС100 (Дармштадт, Германия), динамическая апертура ДА магнитного кольца при этом уменьшается. • Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий (критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс, устойчива (устойчивость по Нехорошеву). Ю.Сеничев показал, что ДА кольца, в котором включена система коррекции хроматичности, может быть улучшена при установке двух семейств октупольных линз, удовлетворяющих критерия Нехорошева[4]. При этом остается открытым вопрос об учете влиянии ошибок магнитного поля на ДА. Исследование этого вопроса и является целью настоящей работы. Были спроектированы две структуры: одна с сильной модуляцией бета-функции, что позволяет выполнить критерий Нехорошева, и вторая структура, в которой этот критерий не выполнен. Для обеих структур рассчитана зависимость ДА от силы тока в октупольных обмотках при наличии систематических и случайных ошибок магнитного поля. Ряд параметров колец ( длина, энергия , бетатронная частота ) совпадали; основное отличие составлял разный набег фазы на период структуры.

3. Критерий Нехорошева 1. • Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий (критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс, устойчива (устойчивость по Нехорошеву). Н.Нехорошев исследовал устойчивость динамической системы с гамильтонианом в переменных действие-фаза где - малое возмущение. Эта динамическая система описывает одиночный нелинейный резонанс в канонических переменных. • Нехорошев сформулировал критерий устойчивости динамической системы следующим образом. Система уравнений: не должна иметь корней в области действительных чисел (за исключением тривиального решения . Мы видим, что устойчивость такой системы зависит только от свойств невозмущенного Гамильтониана Каковы же должны быть эти свойства?

4. Критерий Нехорошева 2. • Рассмотрим квадратичный двумерный гамильтониан: Тогда второе уравнение системы (2) принимает вид: Эта квадратичная форма не имеет действительных корней при условии: • В стандартных обозначениях MADX , где бетатронные частоты поперечных колебаний. В этих обозначениях критерий Нехорошева для поперечных колебаний в магнитном кольце можно записать в следующем виде:

5. Семейства октупольных линз. • В сглаженном приближении такой Гамильтониан можно создать с помощью октупольных линз. Рассмотрим два симметричных семейства октуполей (одно в горизонтальной плоскости, другой в вертикальной). Число октуполей , сила октуполей , значения β функций на месте расположения октуполей : . В этом случае получим: • Подставляя эти формулы в критерий Нехорошева, получим следующее условие: • Решением неравенства (9) является условие • Задачей настоящей работы является проверка влияния критерия Нехорошева на динамическую апертуру (ДА) кольца, включающего два семейства октупольных линз , с учетом влияния систематических и случайных ошибок магнитного поля.

6. Параметры колец 1.

7. Параметры колец 2.

8. Рис.1. Структура ячейки, октуполи и βфункции в периоде структуры 1-го кольца

9. Рис.2. Структура ячейки, октуполи и βфункции в периоде структуры 2-го кольца. Вычисления ангармонических коэффициентов с помощью программы MADX показывают выполнение критерия Нехорошева в 1-м кольце (сильная модуляция βфункций). Во втором кольце критерий Нехорошева не выполнен.

10. Динамическая апертура колец 1. Рис.3. Динамическая апертура 1-го кольца. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36 Рис.4. Динамическая апертура 2-го кольца. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4 , □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 72. Расчеты ДА проведены при наличии регулярной нелинейности в магнитной структуре кольца с помощью программы MADX. Коэффициенты нелинейности заданы такие же, как в проекте SIS100. Мы видим, что в обоих кольцах динамическая апертура падает с ростом тока в октупольных обмотках; однако, в случае удовлетворения КН это падение более медленное (25 % в первом кольце и 60% во втором).

11. Динамическая апертура колец 2. • Динамическая апертура 1-го кольца при наличии флуктуаций полей в дипольных магнитах и квадрупольных линзах.● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36. Динамическая апертура 2-го кольца при наличии флуктуаций полей в дипольных магнитах и квадрупольных линзах. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 1200м-4, □ − N∙K3 = 2400м-4 , N = N1 = N2 = 72.

12. Дискуссия. • Ускоритель отличается от рассмотренной Н.Н.Нехорошевым простейшей динамической системы рядом особенностей: • Гамильтониан для семейств октупольных линз не является точным: он получен с помощью метода усреднения в первом порядке по теории возмущений. Наряду с членами, включенными в квадратичный двумерный гамильтониан , он содержит также октупольные гармоники., которые уменьшают динамическую апертуру даже в отсутствие возмущений магнитного поля 2 Возмущение содержит широкий спектр гармоник и не сводится к члену ; в общем случае при пересечении резонансов возмущенный гамильтониан зависит также от продольной переменной s, а в этом случае теорема Нехрошева не действует. • Вероятно, именно в силу этих особенностей октупольные семейства ухудшают ДА даже при выполнении критерия Нехорошева. Эти результаты, строго говоря, относятся только к рассмотренному примеру. Следует, однако, ожидать, что этот вывод справедлив и для колец с другой магнитной структур ой. • Заметим, что первое возражение (неточность Гамильтониана) может быть снято при специальном выборе магнитной структуры (идея С.Нагайцева и Co). Второе возражение, однако, остается в силе. • Призываем молодое поколение продолжить исследование этой увлекательной темы!