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Die Cantorfunktion. Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null ?. Verlauf. Cantormenge Beschreibung der Abbildung Funktionsuntersuchung Monotonie Stetigkeit Differenzierbarkeit. Eine Cantormenge. Die Mitteldrittel oder „Middle thirds Cantor set!“
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Die Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null ?
Verlauf • Cantormenge • Beschreibung der Abbildung • Funktionsuntersuchung • Monotonie • Stetigkeit • Differenzierbarkeit
Eine Cantormenge • Die Mitteldrittel oder „Middle thirds Cantor set!“ • Die Konstruktion:
Cantormenge • Alle Zahlen deren Ternärdarstellung keine 1 enthält. • Bsp. in der triadischen Entwicklung
Die Abbildung Wobei die nun entstandenen Entwicklung als eine dyadische Entwicklung interpretiert wird!
Die AbbildungBeispiel • 1/3 = 0,0222222… (Ternärsystem) • (Binärsystem) • Das bedeutet
Die AbbildungMonotonie • Monoton steigend da gilt:
Die AbbildungSurjektivität Dann gibt es eine dyadische Entwicklung :
Die AbbildungSurjektivität Hieraus folgt : Da wir für y beliebige Werte aus dem Intervall [0,1] einsetzen können und direkt ein Element x der Cantormenge finden,welches auf y abgebildet wird, ist die Abbildung Surjektiv
Die Abbildung Ausdehnen • Bisher nur für • Ausdehnung auf das Intervall [0,1]:
Die Abbildung Ausdehnen Es gilt:
Die Abbildung Ausdehnen Definition für : Bedeutet die Abbildung ist konstant auf diesen Intervallen!
Die Cantorfunktion • Formal:
Die Cantorfunktion • Das ist die Cantorfunktion!!
Die Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null.
Funktion ist wohldefiniert, da zu jeder reellen Zahl höchstens eine triadische Darstellung ohne 1 existiert!
Die Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null.
Monotonie • Monotonie: Folgt aus der Definition…
Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null.
Stetigkeit Für alle und alle gilt:
Stetigkeit Anders aufgeschrieben: Dies ist die Definition der glm. Stetigkeit!
Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null.
Differenzierbarkeit Auf dem offenen Intervall konstant! Differenzierbar! Ableitung = 0!
Differenzierbarkeit • Betrachten die 2 Fälle: • Die triadische Entwicklung enthält unendlich viele Koeffizienten = 2 • Die triadische Entwicklung enthält unendlich viele Koeffizienten = 0
Differenzierbarkeit • 1) Koeffizienten = 2:Wir wählen J so, dass aJ = 2 gilt und wählen:
Differenzierbarkeit • Der Differenzenquotient: Da J beliebig groß gewählt werden kann, ist der Differenzquotient nicht beschränkt!
Differenzierbarkeit • 2) Koeffizienten = 0:Wir wählen J so, dass aJ = 0 gilt und wählen:
Differenzierbarkeit • Der Differenzenquotient: Da J beliebig groß gewählt werden kann, ist der Differenzquotient nicht beschränkt!
Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null.
Fast Überall Eine Eigenschaft gilt fast überall, wenn es eine Nullmenge gibt, sodass alle Elemente im Komplement die Eigenschaft haben.
Eine Präsentation von Kevin Hirsch. Die Cantorfunktion Eine stetig monotone Funktion mit einer Ableitung fast überall gleich Null !
