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第 2 课时

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第十章 排列组合和二项式定理 10.1 分类计数原理和 分步计数原理. 第 2 课时. 2006 年 3 月 7 日. 教学目标. 进一步准确理解分类计数原理和分步计数原理的内涵， 并能在处理具体问题时准确判断是使用分类计数原理，还是使用分步计数原理。 掌握“分类”标准的确定和分类方案的选择，掌握“分步” 类型中一类可以重复选取问题的思考方法，. 重点. 分类标准的确定和重复问题的思考方法. 难点. 分类时如何做到不重不漏，以及对一类可以重复问题的结果 是 m n , 还是 n m 的理解。. 复习与回顾. 1. 上节课学习了那些主要内容？.

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  1. 第十章 排列组合和二项式定理 10.1分类计数原理和 分步计数原理 第2课时 2006年3月7日

  2. 教学目标 进一步准确理解分类计数原理和分步计数原理的内涵，并能在处理具体问题时准确判断是使用分类计数原理，还是使用分步计数原理。掌握“分类”标准的确定和分类方案的选择，掌握“分步” 类型中一类可以重复选取问题的思考方法， 重点 分类标准的确定和重复问题的思考方法 难点 分类时如何做到不重不漏，以及对一类可以重复问题的结果是mn,还是nm的理解。

  3. 复习与回顾 1. 上节课学习了那些主要内容？ 答: 分类计数原理和分步计数原理。 分类计数原理 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 简言之：分类则加 分步计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 简言之：分步则乘 2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点是什么？ 答:共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。 不同点是： 它们完成一件事情的方式不同, 分类计数原理是研究 “分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是研究“分步完成”, 即这些方法需要分成若干步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

  4. 复习与回顾 3. 如何判断何时使用分类计数原理、何时使用分步计数原理呢? 答:主要看是“分类完成”，还是“分步完成”。 如果完成一件事情有n类方法,且每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理。 如果完成一件事情有n个步骤,且每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步计数原理。 4. 如何保证在使用分类计数原理时能做到不重不漏呢? 答:首先要根据问题的特点确定一个明确的分类标准。然后再根据这个标准进行合理的分类； 其次，分类时要注意满足一个基本要求， 这就是： （1）完成这类事情的任何一种方法都肯定属于某一类； （2）分别属于不同两类的任何两种方法都是不同的。

  5. 应用与感悟 例1： 请数出：图中有多少个三角形？ 分析：解题的关键是要对问题进行合理的分类， 以保证做到不重不漏。 如何能保证不重不漏呢？ 关键在于确定一个分类标准。在这个标准下， 每一个三角形一定属于某一个类；属于不同 类的两个三角形一定是不同的。 分类方案：  将不同的三角形分成三类. 第一类：其中两边是原五边形的边的三角形. 第二类：其中仅有一边是原五边形的边的三角形. 第三类：其中没有一条边是原五边形的边的三角形. 解：  将不同的三角形分成三类. 第一类：其中两边是原五边形的边的三角形有5个. 第二类：其中仅有一边是原五边形的边的三角形有4×5＝20个. 第三类：其中没有一条边是原五边形的边的三角形有2×5＝10个. 答：图中有35个不同的三角形. 解题后反思：这个问题的分类标准是符合要求的。即每一类中的三角形一定 是不同的，并且所有的三角形必属于某一类。

  6. C 5 D 12 6 3 4 E B 7 12 A 6 F 6 H 8 G 应用与感悟 例2 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线 相通，连线上标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信 息量。现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时 传递，求单位时间内可以传递的最大信息量。 分析：解题的关键也是要对问题进行合理的分类，以保证做到不重不漏。 分类方案：分为四类。 第一类：沿A-C-D-B传递 第二类：沿A-E-D-B传递 第三类: 沿A-F-H-B传递 第四类: 沿A-G-H-B传递 解：分为四类。 第一类：沿A-C-D-B传递，单位时间内可以传递的最大信息量为3， 第二类：沿A-E-D-B传递，单位时间内可以传递的最大信息量为4， 第三类: 沿A-F-H-B传递，单位时间内可以传递的最大信息量为6， 第四类: 沿A-G-H-B传递，单位时间内可以传递的最大信息量为6， 故由分类计数原理，单位时间内可以传递的最大信息量为： 3+4+6+6=19 解题后反思：这个问题的分类标准显然也是符合要求的。

  7. 应用与感悟 例3：分别解下列两个问题： (1)3个孩子，4把椅子，每把椅子只能坐一人，让孩子都坐下，有几种方法? (2)3把椅子，4个孩子，每把椅子只能坐一人，让椅子都有人坐有几种方法? 解  ：(1)任务是让3个孩子都坐下，为了完成这个任务，可以分步让孩子一个一个地去坐下. 让第一个孩子坐下，有4种方案可以选择.这个孩子坐下了. 让第二个孩子坐下，因为已有一把椅子有人坐，所以他有3把椅子可以选择，他也坐下了. 让第三个孩子坐下，这时已有两把椅子有人坐，所以第三个孩子有两种选择.他也坐下了. 考虑这个问题是分步进行的，分步则乘. 共有4×3×2＝24种方法. (2)任务是让椅子都有人坐，为此可以分步一把椅子一把椅子地落实. 取出第一把椅子，有4种被人坐的机会，这把椅子与一个孩子退出考虑. 取出第二把椅子，这时还有3个没坐椅子的孩子，所以第二把椅子有3种被坐的方案，这把椅子也带走一个孩子. 取出第三把椅子，因为还有两个孩子没坐下，所以第三把椅子有两种被坐方案. 三把椅子都有人坐了，使分步进行的，分步则乘.共有4×3×2＝24种办法.

  8. 应用与感悟 例4：分别解下列两个问题： (1)3个孩子，4间屋子，让孩子都进屋，有几种结果? (2)3间屋子，4个孩子，让孩子都进屋，有几种结果? 解：(1)任务是让孩子都进屋，为完成任务，可以分步把4个孩子一个一个地派出去. 让第一个孩子进屋，有4个房间可以选择，即有4种进法，他进去了. 让第二个孩子进屋，因为屋子不仅能进一人，还可进多人，仍然有4种进法.他也进去了 同理，第三个孩子也有4种进法.他也进去了 任务是分步进行完成的，分步则乘，共有4×4×4＝64种结果. (2)任务仍然是让孩子进屋.也分步进行。 第一个孩子有3种进屋的选择，他进去了. 第二，三，四个孩子也各有3种进屋的选择，他们都进去了. 由于是分步进行，故由分步计数原理知，共有3×3×3×3＝81种结果. 解题后反思：本题与前一题最大的区别在于，规定椅子不能重复坐人，所以后面的人坐椅子的坐法逐步减少，房子可以重复进人，所以后面的人进房子的进法种数保持不变，前者属于不允许重复的分步问题，后者属于允许重复的分步问题。

  9. 例5 公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站， 乘客下车的 可能方式有( ) A.510 B. 10 C. 50 D.5 A 分析：因为前一个乘客从某个车站下车了，后一个乘客仍然 可以在这个车站下车， 本题属于允许重复的问题。 答：(1)36种；(2)78种；(3)54种；(4)65种. 解题后反思：到底是mn,还是nm？关键还是看“完成一件事” 是什么。从“完成这件事”的角度去思考，确定是“谁选择谁”。一般地，底数是完成每一步的方法数，指数是分成多少步的步数。

  10. 课堂练习： 1、5个应届高中毕业生报三所重点院校，每人报且仅报一所院 校，则不同的报名方法共有(    )种 A.35            B.53            C.P53            D.C53 2、某校组织团员分4个小组分别从3处风景点中选一处去春游，则 不同的春游方案种数是(    ) A.43              B.P43            C.34            D.43 3、用1、2、3、4、5这五个数字，组成无重复数字的三位数，其 中偶数有(    ) A.24个          B.30个          C.40个          D.60个 4、有4名同学争夺游泳，跑步，跳远三项冠军，获得冠军有种可能 5、由数字1、2、3、4、5可以组成数字允许重复出现的三位数个 6、用0到9十个数字可以组成多少个不同的：(1)8位数的电话号码 (包括数字全为零的号码).

  11. 小结 1、对“分类”型问题的思考方法: 首先要根据问题的特点确定一个明确的分类标准。然后再根据这个标准进行合理的分类； 其次，分类时要注意满足一个基本要求， 这就是： （1）完成这类事情的任何一种方法都肯定属于某一类； （2）分别属于不同两类的任何两种方法都是不同的。 2对 “分步”后可以重复选取一类问题的思考方法： 这类问题的结果到底底数是什么？指数是什么？ 关键还是看“完成一件事”指的是什么。从“完成这件事”的角度来确定是“谁选择谁”的问题，这样自然就能确定底数是每一步的方法数，指数是分成多少步的步数。 作业：《优化设计》P88、 习题课

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