第六章 势流理论

1. 第六章 势流理论 课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？ 势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。 求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的 力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即 须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）

2. （６-１） (６-２) （６-３） ３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来， 要求出ｐ，必须先求出速度V ４. 对于势流，存在速度φ，满足： ５.φ满足拉普拉斯方程： 若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉 斯方程可以解出φ。

3. 求解思路可简述为： 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于 固体的力和力矩。 求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍 一个简单的方法： “迭加法” 迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。

4. 本章主要研究内容： 1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流（几个调和函数） 3.绕园柱体的无环流流动 4.绕园柱体的有环流流动 5.附加惯性力与附加质量 6.作用于流体上的力和力矩

5. 本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。 明确两点重要结论： １）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻 力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。 ２）若园柱体本身转动，则它要受到升力的作 用，即著名的麦格鲁斯效应。

6. 图 6－1 §６-1 几种简单的平面势流 平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所 • 在平面，无垂直于该平面的分量； • 与该平面相平行的所有其 • 它平面上的流动情 况完 • 全相同。

7. 图 6－2 船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。

8. 积分得势函数： （６-4） 一、均匀流 设所有流体质点均具有与 ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０ 现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为： 积分常数不起作用，可省去。

9. 流函数的全微分： 图6－3 积分得流函数：ψ＝Voｙ （６-5） 由（６-4） 和（６-5）有： ｙ=const，流函数等值 线（流线） ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交

10. 图6－4 例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流 动或薄平板的均匀纵向绕流。 二、源或汇 流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，反向流动谓之汇。

11. 在直角坐标系下： 图6－5 在极坐标下： （6－7） 设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ Vr=f(r)， V = 0 不可压缩流体的连续性方程： 2πrVr＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2πr （６-6）

12. （６-8） 图6－6 采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分： 流线为θ＝const，为原点 引出的 一组射线 等势线为ｒ＝const，流 线为同心圆,相互正交。

13. 图6-7 当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动， 可以用源（汇）的速度势来描述。

14. 图6－8(a) 三、偶极子 无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δx→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一 个有限数值，即： Ｑδx→Ｍ （δx→０） (6-9) 这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。 用迭加法求φ和ψ

15. 场点Ａ离源和汇的距离 是个小量，利用泰劳展开得: r１≈r2＋δx cosθ１ 当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r

16. 利用泰劳展开: （６-１0） 令 （６-11） 极坐标下： 直角坐标下： 展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：

17. 所以 代入上式得: 对于流函数： 这里：r2＝ x Sinθ1 当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ

18. 流函数为： 直角坐标系下： （６-12） 令ψ＝C即得流线族： 或 即 配方后得: （６－14）

19. 图6-8（b） 偶极子的方向 为ｘ轴负向 流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆， 等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。 这些圆与ψ＝const正交 注意： 偶极子的轴线和方向 轴线：源和汇所在的直线 方向：由汇指向源的方向

20. （６－15） 所求速度的点到 点涡的距离 涡索旋涡强 度的两倍 图 6-9 四、点涡（环流） 点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡， 方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小 与半径成反比： 采用极坐标来求φ和ψ

21. 积分得速度势函数: （６－16） 流函数 积分得流函数： （６－17） 流线：ψ＝const 同心圆 图 6-9 Γ＞０对应于反时针的转动 Γ＜０对应于顺时针的涡旋

22. §6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶 极子迭加形成的流动。 均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动

23. 圆柱绕流的边界条件： • 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处 为均匀流。 2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即 r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0的圆周是一条流线。

24. ｒ ∞ 或 （ ６－18） （ ６－19 ） 边界条件的数学表达式 （a）无穷远条件： （ｂ）物面条件： r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线） 均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:

25. 令（6－19）式为零： 若 ，即 令 , 就有r = r0， 若Sinθ＝０，有θ＝０或π 因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴 圆周r = r0 也是ψ＝０流线的一部分 现在验证边界条件（ａ）

26. 将 代入φ，有： (6-20) (6 – 21) 当ｒ→∞，从上式可得: 验证边界条件（b） 当ｒ=ｒ０ 时，Vｒ＝0, 满足不可穿透条件。

27. 上述结果表明： 1.无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势， 完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的 边界条件。 2.无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在 ｒ≥ｒ０区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动 情况完全一样。 迭加后将ｒ＜ｒ０的部分去掉，用ｒ＝ｒ０的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。

28. （６－22） 与s坐标方向相反 圆柱表面的速度分布: 由（６-21）式，当ｒ＝ｒ０时： 对Ａ，Ｃ两点： θ＝π或０， ｖ＝０ 驻点：速度为零的点

29. Ｂ，Ｄ两点： （6－23） 速度达到最大值，圆柱体半径无关。 在流线ψ＝０ 上（包括ｘ轴和圆柱表面）： • 流体从∞以流速V０流向圆柱，接近圆柱速逐 • 渐减小，到达Ａ点时速度降至零。然后分为二 • 支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达B，D • 点时速度增至2V０达最大值。

30. （６－24） 无穷远均匀流中压力 2.经过Ｂ，Ｄ后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时速度 又降至零。离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方 的无限远处时再恢复为ｖ０。 柱面上的压力分布: 定常，不计质量力的拉格朗日积分式为: 将（６-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:

31. 压力系数: （６－25） 圆柱体上： （６-2６） 压力分布既对称于ｘ轴 也对称于ｙ轴。 在Ａ，Ｃ两点压力最大 在Ｂ，Ｄ两点压力最小

32. 沿ψ＝０这条流线的压力变化为： -处： Cｐ=０，压力渐大Ａ点达极大Cｐ＝１ Ａ分两支分别流向Ｂ，Ｄ点。 Ｂ，Ｄ点：压力为极小值 Cｐ＝－３ Ｃ点：恢复到极大值， Cｐ＝１，Ｃ点  + 压力再次减小至p0，Cｐ＝０

33. 升力L： 阻力R： 合力在ｙ轴上的分量 合力在x轴上的分量 理想流体对圆柱体的作用力: 绕圆柱的无环量流动： 升力Ｌ＝０ 压力分布对称于ｘ轴 阻力 Ｒ＝０ 压力分布对称于 y轴 结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。

34. 正压 负压 破坏了压力分布对ｙ轴的对称性

35. 达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为： １. 理想流体 ２. 物体周围的流场无界 ３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点 ４. 物体作等速直线运动 ５. 物体表面流动没有分离 若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。 由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。

36. §６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应 绕圆柱体的有环量流动： 绕圆柱体的无环流 环量为Γ顺时针平面点涡 边界条件仍成立：1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件

37. （6-29） 当ｒ=ｒo (圆周仍为流线) (6-30) 将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加： 顺射针转动取负 流场中速度分布为:

38. （6－31） 由环流引起 r=ｒ0 即圆柱表面上速度分布： 圆柱上表面： 顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速 度方向相同，故速度增加。 圆柱下表面： 方向相反，因而速度减少。

39. 驻点处ｖｓ=０，由（6-31）有 解出驻点位置 ： （6－32） 驻点位置与Γ的大小有关： 1）Γ 4πr0V0 两驻点在圆柱面上 ,并对称 位于三、四象限。 Γ增加，则 A,B两驻点下移，并互相靠拢。

40. 2）Γ＝4πr0V0 两个驻点重合成一点。 3）Γ＞ 4πr0V0 驻脱离圆柱面沿ｙ轴向下。 令式（6-30）中 Vｒ= Vθ =０， 解出两个驻点：一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。 实际只有一个在圆柱体外的 自由驻点。

41. 结论： 1. 合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力 2. 合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力

42. 得： （6－33） 升力大小的计算： 将圆柱表面上速度分布得： Vｓ＝－2V０sinθ－Γ２πr０代入柏努利方程

43. 单位长圆柱所受到的升力为： 于是得到升力的大小： （6－34） 将（６-33）代入上式，并考虑到 称为库塔——儒可夫斯基升力定理 上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系： 即升力的大小准确地和环量Γ成正比，此 外还和流体密度ρ及来流速度V０成正比。

44. 该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅 对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。 真实流体由于粘性，圆柱后部会有分离，除 升力外还会有阻力，但升力仍可用（６-3４） 式计算。 升力的方向: 右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°

45. 绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。 麦格鲁斯效应： 如乒乓球、排球中的弧圈球、飞行而又旋 转的炮弹等受到横向力的作用，都是这一原理 的应用。 德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用麦 格鲁斯效应在他的试验船Buckan号上设置铅 垂的旋转圆柱以代替风帆，即旋筒推进器。

46. L的分力 旋转圆筒 合速度V 升力Ｌ  V 推力: L在船前进方向的分力

47. 解: 积分得: 即f(x)=C。则流函数为: 例6.2 已知速度势φ=x３-３x y2 ，求流函数ψ 式中f(x)为与y无关的函数。将ψ对x求导:

48. 例6.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流 函数分别为 和 而 解: 积分得： (a) 对θ求导得: 另外 所以 即 代入(a)得势函数: 求：叠加后的速度势

49. 例6.6 已知流函数 求: １）驻点位置； ２）绕物体的环量； ３）无穷远处的速度； ４）作用在物体上的力。 解 : １）求驻点位置(先求速度场)

50. 令ｖθ＝０，有 即驻点位置为 令ψ＝０，则零流线为r=5的圆柱即为物面。 在物面上，ｒ＝５时，Vｒ＝０，所以 ２）求环量