第１日目第１時限の学習目標

第１日目第１時限の学習目標 • 平成２２年度「教育統計」の学習内容の概要を知る。 • 尺度の４水準の例とそれらの特色の概要を学ぶ。 • １変量データを手にした時の、分布の特徴の記述の方法を学ぶ。 • 基本的な一変量統計量（その１）について学ぶ

平成２２年度「教育統計」　　　　　　　　　　の学習内容－１平成２２年度「教育統計」　　　　　　　　　　の学習内容－１ • 尺度の水準 • 代表値とばらつきの各種指標 • 度数分布表及び散布図 • 連関と相関の各種指標 • 順列、組み合わせ、確率 • 確率分布とその期待値・分散 • 母集団と標本 • 点推定と区間推定

平成２２年度「教育統計」　　　　　　　　　　の学習内容－２平成２２年度「教育統計」　　　　　　　　　　の学習内容－２ • 検定と２種類の過誤 • 平均値の差の検定 • ピアソンの相関係数とその検定 • 分割表の検定 • ３つ以上の平均値の差の検定（分散分析） • 検査の信頼性と妥当性 • まとめと小テスト

教育や心理の分野での統計における　　尺度水準の識別の必要性とそのルーツ－１教育や心理の分野での統計における　　尺度水準の識別の必要性とそのルーツ－１ • 教育や心理など主として社会行動科学の分野が扱う現象には、多種多様なものがあり、それらの統計を取るためには、データがどのような性質を持っているのかを分析に先立ちチェックしておく必要がある。 • データは、一旦コード化されコンピュータに入力されると、便利な統計ソフトを用いれば、簡単に結果を出すことができるが、統計ソフトのそれぞれの分析方法にはそれぞれ前提が幾つか存在する。 • とりわけ、データがどのレベルの情報を持っているのかは、それらの前提のうちで、基本的なものの１つである。

教育や心理の分野での統計における　　尺度水準の識別の必要性とそのルーツ－２教育や心理の分野での統計における　　尺度水準の識別の必要性とそのルーツ－２ • 心理学のみならず、物理学等における「測定」に関する議論は、歴史的には２０世紀の前半から中頃までに盛んになされた（例えば、千野、有斐閣、p.537）。 • 例えば、キャンベルら (Campbell, N. R. & Jeffreys, H., 1938) は、測定を「測定対象システムの（数以上の）特性を表すように、特性を支配している法則により数字を割り当てること」と定義した。 • 一方、スティーブンス (Stevens, S. S., 1951) は、「測定とは規則に従って対象もしくは事象に数字を割り当てること」と定義した。

教育や心理の分野での統計における　　尺度水準の識別の必要性とそのルーツ－３教育や心理の分野での統計における　　尺度水準の識別の必要性とそのルーツ－３ • いずれにせよ、測定では一般に対象や事象に対して数字を割り当てるので、個々の測定が数字の持つ基本的な特徴である順序 (order)、距離 (distance)、及び原点 (origin)、の情報を持っているかどうかの検討が不可欠である。 • とりわけ、スティーブンス (1958) は、尺度を名義尺度 (nominal scale)、順序尺度 (ordinal scale)、間隔尺度 (interval scale)、比率尺度 (ratio scale) に分類した。

尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要 • 名義尺度　　　（例）男を１、女を２とコーディング。　　　（特色）コード値には順序情報さえない。 • 順序尺度　　　（例）一番よく遊ぶ友達を１、その次によく　　　　　　遊ぶ友達を２、とコーディング。　　　（特色）コード値には順序にのみ意味が　　　　　　ある。

尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要－２尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要－２ • 間隔尺度　　（例）非常に賛成に１、賛成に２、どちらでもな　　　　　いに３、反対に４、全く反対に５、とコーディ　　　　　ングする。　　（特色）コード値間の差に意味がある。 • 比率尺度　　（例）身長。　　（特色）コード値間の比に意味がある。

尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要－３尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要－３ • 尺度の４水準のより詳細な定義については、例えば千野のホームページの「講義ノート」の中の「心理統計学」の第１章「少数データの平均と標準偏差の求め方」の１．１節を、を参照のこと。なお、

尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要－３尺度の４水準の例と　　　　　　　それらの特色の概要－３ • 千野のホームページの URL は、 http://www.agu.ac.jp/~chino である。あるいは、Yahoo か Google で　　　　　　　　　　「千野研究室」　と入力して検索してもよい。

１変量データを手にした時の　　　　　　　分布の特徴の記述－１１変量データを手にした時の　　　　　　　分布の特徴の記述－１ • 我々が、何らかの目的で N 個のデータ　を手にしたとする。 • データがどの尺度レベルを満たしていようとも、サンプル数 N がある程度以上大きい場合、簡単にデータの全体像をつかむためには、度数分布を描いたりヒストグラム（棒グラフ）を描けばよい。

１変量データを手にした時の　　　　　　分布の特徴の記述－２１変量データを手にした時の　　　　　　分布の特徴の記述－２ • そのためには、もしデータが名義尺度レベルであるとすれば、例えば、１．男、２．女、の各々の度数を数えればよい。 • 一方、順序尺度以上のレベルであれば、小さい順から大きい順次並べ、階級を設定し、各階級に落ちる度数を数えればよい。 • 千野のホームページの講義ノートの中の「データ解析/基礎と応用」の１．２．１節の「定量変数の分布特性」のページの例は、その２例を示す。

１変量データを手にした時の　　　　　　分布の特徴の記述－３１変量データを手にした時の　　　　　　分布の特徴の記述－３ • この例に見るように、教育や心理の分野のデータの分布には多様なものがある。 • これらの多様な分布の特徴としては、　（１）分布の中心的な値（代表値）の指標　（２）分布のばらつき（裾野の広さ）の指標　（３）分布のとんがりの程度の指標　（４）分布の（対称性からの）歪みの指標、　などがある。

１変量データを手にした時の　　　　　　分布の特徴の記述－４１変量データを手にした時の　　　　　　分布の特徴の記述－４ • これらの指標は、数理統計学の分野では一般に統計量(statistic) と呼ばれる。 • これらの指標は、より一般的には、数理統計学では（理論）分布の積率(moment)、確率母関数 (probability generating function)、積率母関数 (moment generating function)、特性関数 (characteristic function)、キュミュラント(cumu- lants) を用いて検討される。 • この授業では、これらの詳細については省略する。

平均分散基本的な１変量統計量ー１(a) （標本）平均と分散

基本的な１変量統計量ー１(b) 平均値の計算例 • データは、サンプル数、すなわち N=5 で、 15, 67, 31, 89, 44 　　とする。 • この時、

基本的な１変量統計量ー１ (c) 定義式による分散の計算例 • データは、サンプル数、すなわち N=5 で、 15, 67, 31, 89, 44　で、平均は 49.2 なので、　　定義式による分散 vxは、つぎのように計算できる：

基本的な１変量統計量ー１ (d)計算ミスの少ない分散の計算法 • データは、サンプル数、すなわち N=5 で、 15, 67, 31, 89, 44　で、平均は 49.2 なので、　　手計算による分散 vxは、つぎのように計算できる：

基本的な１変量統計量ー１ (e) 不偏分散 • 不偏分散の定義 N ではなく、N-1 で割ることに注意実際の計算はこちら

基本的な１変量統計量－１(f) 不偏分散の計算の具体例 • 定義より、不偏分散は、うえの具体例では、 N=5, vx=685.76 なので、

基本的な１変量統計量ー１ (g) 標準偏差の定義と計算例 • 標準偏差の定義と計算例分散の開平（平方根）の計算が必要

　　　　　　　演習（１） • つぎの５個から成るデータセットの１つを用いて、その平均、分散、不偏分散、及び標準偏差を計算せよ：　　　（データセット１）：　９４、１８、６８、６５、３１　　　（データセット２）：　８１、５、７３、６、６３　　　（データセット３）：　２３、４６、１６、５２、７７　　　（データセット４）：　９０、７８、３６、１４、６７

基本的な１変量統計量ー１ (h) 平均値の性質（参考） • 平均値は、代表値の１つで、データの中心的な値を示す。 • 平均値は、個々の値の原点を定数 a だけずらすと、a だけずれる。ただし、もとの値のままでも代表値としての性質は持っている。

基本的な１変量統計量ー１ (i) 分散の性質（参考） • 分散は、データのばらつきの１つの指標である。 • 分散は、原点を a だけ移動させても変わらない（原点移動に対する不変性）。

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