第一章第 4 课时：因式分解

第一章第4课时： 因式分解 • 要点、考点聚焦 • 课前热身 • 典型例题解析 • 课时训练

要点、考点聚焦 1.因式分解的定义把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解式分解因式. 2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法： ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (4)分组分解法： ①分组后能提公因式； ②分组后能运用公式.

3.因式分解的一般步骤 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来. (2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq型分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.

课前热身 1.下列多项式中，能用公式进行因式分解的是( ) A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2-2x+ 1/4 D.x2-4y2 D 2.(2001年·江苏南京)分解因式：ax2+2ax+a=. a(x+1)2 3.(2001·山东济南)分解因式： (x+y)2-4(x+y)+4=. (x+y-2)2 (x+1)(x-1)2 4.(2002年·江苏宿迁)分解因式：x3-x2-x+1=. 解：x3-x2-x+1=(x3-x2)-(x-1)=x2(x-1)-(x-1) =(x-1)(x2-1)=(x+1)(x-1)2

5.(2002年·湖北武汉)分解因式： ax2+ay2-2axy-ab2=. a(x-y+b)(x-y-b) 解：ax2+ay2-2axy-ab2 =a［(x2+y2-2xy)-b2］ =a［(x-y)2-b2］ =a(x-y+b)(x-y-b) 6.如果方程ax2+bx+c=0有实数根x1,x2，那么 ax2+bx+c=( ) A.(x-x1)(x-x2) B.(x+x1)(x+x2) C.a(x-x1)(x-x2) D.a(x+x1)(x+x2) C

D 7.多项式x2-5x-6分解因式的结果是( ) A.(x+2)(x-3) B.(x-2)(x+3) C.(x-1)(x+6) D.(x+1)(x-6) 8.(2003年·南京市)在实数范围内分解因式： x2-2 x+3= . 9.(2003年·南通市)分解因式：mn+mn2=mn(1+n);a2+4ab+4b2=. (a+2b)2

典型例题解析 【例1】因式分解： (1)-4x2y+2xy2-12xy； (2)3x2(a-b)-x(b-a)； (3)9(x+y)2-4(x-y)2； (4)81a4-1； (5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1； (6)(a2+b2)2-4a2b2.

解： (1)原式=-2xy(2x-y+6) (2)原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1) (3)原式=［3(x+y)+2(x-y)］［3(x+y)-2(x-y)］ =(5x+y)(x+5y) (4)原式=(9a2)2-1２ =(9a2+1)(9a2-1) =(3a+1)(3a-1)(9a2+1) (5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4 (6)原式=(a２+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2

【例2】因式分解：-3an-1+12an-12an+1(n＞1的正整数).【例2】因式分解：-3an-1+12an-12an+1(n＞1的正整数). 解：原式=-3an-1［1-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1)］ =-3an-1(1-4a+4a2) =-3an-1(2a-1)2 【例3】因式分解： (1)m3+2m2-9m-18； (2)a2-b2-c2-2bc； (3)x4-5x2+4； (4)x3-2x2-5x+6.

解： (1) 原式=(m2+2m2)-(9m+18) =m2(m+2)-9(m+2) =(m+2)(m2-9) =(m+2)(m-3)(m+3) 或者：原式=(m3-9m)+(2m2-18) =m(m2-9)+2(m2-9) =(m2-9)(m+2) =(m-3)(m+3)(m+2) (2)原式=a2-(b2+2bc+c2) =a2-(b+c)2 =(a+b+c)(a-b-c) (3)原式 =(x2)2-5(x2)+4 =(x2-4)(x2-1) =(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) (4) 原式 =x3-x2-x2-5x+6 =x2(x-1)-(x2+5x-6) =x2(x-1)-(x+6)(x-1) =(x-1)(x2-x-6) =(x-1)(x-3)(x+2)

【例4】求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除. 解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n=15×2×2n-1 =30×2n-1. ∵n为自然数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除. 【例5】分解因式：x3+6x2+11x+6. 解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6 =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x2+3x+2) =(x+3)(x+1)(x+2)

方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6 =x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2) =(x+2)(x2+4x+3) =(x+2)(x+1)(x+3) 方法三：原式=x3+x2+5x2+5x+6x+6 =x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1) =(x+1)(x2+5x+6) =(x+1)(x+2)(x+3) 方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6) =x(x2+5x+6)+(x2+5x+6) =(x2+5x+6)(x+1) =(x+2)(x+3)(x+1)

方法小结： 1.因式分解应进行到底. 如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2) =(x2+2)(x+ )(x- ). 应在实数范围内将它分解到底. 又如：分解因式:22-8x-6=2(x2-4x-3) 令x2-4x-3=0，则 x= = =2± ∴2x2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )

2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原.2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. 如:(a2+b2)２-4a2b2 =(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2 =［(a+b)(a-b)］2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4 实际该题到第2个等于号就分解到底了，不能再向下计算了!

3.注意解题的技巧的应用，不能死算. 如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 =［(x+1)(x+7)］［(x+3)(x+4)］-9 =(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9 =［(x2+8x)+7］［(x2+8x)+15］-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+105-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+96 =(x2+8x +6)(x2+8x +16) =(x2+8x+6)(x+4)2

课时训练 a(x+1)2 1.(2003年·福州市)分解因式：ax2+2ax+a= . 2.下列变形中，从左边到右边是因式分解的是( ) A.mx+nx-n=(m+n)x-n B.21x3y2=3x3·7y2 C.4x2-9=(2x+3)(2x-3) D.(3x+2)(x-1)=3x2-x-2 C 3.分解因式：x3-x=. x(x+1)(x-1) 4.下列各式中能用平方差公式分解因式的是( ) A.4x2+y2 B.-x2-25y2 C.(x-2y)2-9 D.x6-y3 C

5.在下列各式的因式分解中，分组不正确的是( ) A.m2+2mn-1+n2=(m2-1)+(2mn+n2) B.xy+x+y+1=(xy+y)+(x+1) C.ab+bx+ay+xy=(ab+bx)+(ay+xy) D.x3+xy2+x2y+y3=(x3+xy2)+(x2y+y3) A 6.用提公因式法把9x2m-3xm分解因式后，括号内的代数式是( ) A.3xm B.3xm-1 C.xm-3 D.3x2m-1-1 B

第一章第 4 课时： 因式分解