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四边形（一）

四边形（一）. 扬州市梅岭中学. 余云中. 熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征及识别方法，利用它们的特征及识别方法证明线段、角之间的数量或位置关系。. 一、知识回顾. 二、复习思路. 三、例题精析. 一、知识回顾. 归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形关系图：. 1 、平行四边形的特征： (1) 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； (2) 对边分别平行； (3) 对边分别相等； (4) 对角线互相平分．. 2 、平行四边形的识别方法： (1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

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四边形（一）

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  1. 四边形（一） 扬州市梅岭中学 余云中

  2. 熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征及识别方法，利用它们的特征及识别方法证明线段、角之间的数量或位置关系。熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征及识别方法，利用它们的特征及识别方法证明线段、角之间的数量或位置关系。

  3. 一、知识回顾 二、复习思路 三、例题精析

  4. 一、知识回顾 • 归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形关系图：

  5. 1、平行四边形的特征： • (1)是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； • (2)对边分别平行； • (3)对边分别相等； • (4)对角线互相平分．

  6. 2、平行四边形的识别方法： • (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； • (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； • (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； • (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．

  7. 3、矩形的特征(具有平行四边形的一切特征)： • (1)矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； • (2)矩形的四个角都是直角； • (3)矩形的对角线相等且互相平分．

  8. 4、识别一个四边形是矩形的方法： • (1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形； • (2)对角线相等的平行四边形是矩形； • (3)有三个角是直角的四边形是矩形； • (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

  9. 5、菱形特征(具有平行四边形的一切特征)： • (1)菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，有两条对称轴； • (2)菱形的四条边相等； • (3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

  10. 6、菱形的识别方法： • (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； • (2)四边都相等的四边形是菱形； • (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

  11. 7、正方形的特征： • (1)正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； • (2)正方形四条边都相等； • (3)正方形四个角都是直角； • (4)对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角等于45°．

  12. 8、正方形的识别方法： • (1)有一个角是直角的菱形是正方形； • (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

  13. 注意： 1、正方形概念的三个要点： • （1）是平行四边形； • （2）有一个角是直角； • （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

  14. 二、复习思路 • 1、在解决特殊四边形的有关问题时，应首先熟悉这些四边形的特征、识别方法，如矩形的对角线相等、四个角都是直角，菱形的四条边相等、对角线互相垂直等等；其次是在解题时要认真体会运用了哪些特征、识别，还有什么方法。例如通常欲证四边形是矩形（菱形），可先证它是平行四边形，再根据矩形（菱形）的特有条件证明它是矩形（菱形）；再则，要充分利用正方形的特征应用旋转方法或全等方法得全等三角形。 • 2、新课标比较重视通过平移、旋转变换掌握特殊四边形的概念特征和识别，会应用平移、旋转解决有关问题。

  15. 三、例题精析 • 例1、填空: • 两条对角线的四边形是平行四边形； • 两条对角线的平行四边形是矩形； • 两条对角线的平行四边形是菱形； • 两条对角线的四边形是矩形； • 两条对角线的四边形是菱形. 互相平分 相等 垂直 相等且互相平分 互相垂直平分

  16. 3 • 例2、如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有个.

  17. 例3、（2005福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）。按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是…………（ ） • A、都是等腰梯形 • B、都是等边三角形 • C、两个直角三角形，一个等腰三角形 D、两个直角三角形，一个等腰梯形 c

  18. 例4、（05浙江舟山实验区）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=（ ） • A、a1(b1－b2)+(a1+a2)b1 • B、a2(b2－b1)+(a1+a2)b2 • C、a1(b1－b2)+(a1+a2)b2 • D、a2(b1－b2)+(a1+a2)b1 C

  19. 例5（2005四川泸州）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．例5（2005四川泸州）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形． 第一种：可画为平行四边形EFGH ； 第二种：可画为平行四边形DEBG（或画为平行四边形AHCF）

  20. 例6、(2005湖北黄石)已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为.例6、(2005湖北黄石)已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为. 96cm2

  21. 例7、（2005深圳）如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为。例7、（2005深圳）如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为。 7

  22. 例8、（2005苏州）如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老师请同学将纸条的下半部分口ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案。例8、（2005苏州）如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老师请同学将纸条的下半部分口ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案。 • （1）请你在原图中画出翻折后的图形 • 口A′B′FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） • （2）已知∠A=630， 求∠B′FC的大小。

  23. （2） • （1）作图如图:

  24. 分析：连结AC，由菱形的特征与已知条件可得△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°，由∠EAF=60°，可得∠BAE=∠CAF，进而可得△ACF是△ABE绕点A旋转60°得到，∴AE=AF，得△AEF为等边三角形，从而求出∠CEF．分析：连结AC，由菱形的特征与已知条件可得△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°，由∠EAF=60°，可得∠BAE=∠CAF，进而可得△ACF是△ABE绕点A旋转60°得到，∴AE=AF，得△AEF为等边三角形，从而求出∠CEF． 例9、如图,菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,求∠CEF的度数．

  25. 解：连结AC，菱形ABCD中，AB=BC，∠ACB=∠ACD. • ∵∠B=60°, • ∴△ABC是等边三角形. • 于是有∠BAC＝∠ACB＝∠ACD=60°,AB=AC. • 由已知∠EAF=60°, • 可得 ∠BAE=∠CAF. • ∴△ACF是△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的. • ∴AE=AF. • ∴△AEF是等边三角形,∠AEF=60°. • ∵∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE， • ∴ ∠CEF＝∠BAE＝20°.

  26. 说明：菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有以下特性：说明：菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有以下特性： • (1)菱形的四条边相等； • (2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

  27. 例10、已知，正方形ABCD，△ADE是等边三角形，求∠BEC的度数.例10、已知，正方形ABCD，△ADE是等边三角形，求∠BEC的度数. • 分析：本题应分两种情况考虑： • (1)点E在正方形ABCD的外部; • (2)点E在正方形ABCD的内部. 然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解.

  28. 解：(1) 如图 • 当点E在正方形ABCD的外部时，由ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，得∠CDE＝90°＋60°＝150°，DE＝AD＝DC， • 因此∠DEC＝∠ECD＝(180°－150°)÷2＝15°. • 同理可推得∠ABE＝15°. • 则∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠DEC＝60°－15°－15°＝30°.

  29. (2) 如图 • 当点E在正方形ABCD的内部时，由ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，得 • ∠EAB＝∠DAB－∠DAE＝90°－60°＝30°, • AE＝AD＝AB, • 因此∠AEB＝∠ABE＝(180°－30°)÷2＝75°. • 同理可推得∠DEC＝75°. • 则∠BEC＝360°－∠AEB－∠AED－∠DEC • ＝360°－75°－60°－75° • ＝150°. 说明：以正方形的一边画等边三角形有两种情况，解此题时容易漏解

  30. 在解有关特殊四边形的问题时，要充分利用其特征。在解有关特殊四边形的问题时，要充分利用其特征。 • 证明两线段互相平分，设法证明线段四个端点组成的四边形是平行四边形往往是解决问题的关键。 • 平行四边形常常还是证明线段相等或平行、角相等的有效手段。

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