1 / 47

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算 .

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算. 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关系 . 5. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 . 6. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题. 1. 两个向量的夹角 (1) 定义和范围. (2) 两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件. [ 思考探究 1]

catrin
Download Presentation

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算 .

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算.

  2. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题.

  3. 1.两个向量的夹角 (1)定义和范围

  4. (2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件

  5. [思考探究1] 　　在△ABC中，设 ＝a， ＝b，则a与b的夹角为∠ABC吗？ 提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.

  6. 2.平面向量的数量积

  7. 3.与平面向量的数量积有关的结论 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

  8. [思考探究2] 　　若a∥b，则a与b的数量积有何特点？ 提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°， ∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.

  9. 1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝()1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝() A.34B.(34，－68) C.－68 D.(－34,68) 解析：a·(b·c)＝(1，－2)×(5×2＋8×3)＝(34，－68). 答案：B

  10. 2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋ 2b|＝ ( ) A. B. C.4 D.12 解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12， ∴|a＋2b|＝ . 答案：B

  11. 3.已知|a|＝1，|b|＝ ，且a⊥(a－b)，则向量a与向量 b的夹角是 () A.30° B.45° C.90° D.135°

  12. 解析：设向量a与b的夹角为θ， 由a⊥(a－b)，得 a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0， ∴|a||b|cos θ ＝|a|2， ∴cos θ ＝ ∴θ ＝45°. 答案：B

  13. 4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的 投影为. 解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴|a|cos〈a，b〉＝ 答案：

  14. 5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝. 解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ . 答案：

  15. 1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝ |a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算， 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用. 2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

  16. 已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为 ，求： (1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. [思路点拨]

  17. [课堂笔记](1)a·b＝|a|·|b|·cos ＝3×4×(－ )＝－6 . a2＝32＝9，b2＝16. ∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2 ＝3×9－8×(－6 )＋64＝91＋48 . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×(－6 )＋16＝25－12 . ∴|a＋b|＝

  18. 若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题.若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题. 解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)， ∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，－14)， a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6).

  19. ∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6) ＝5×(－1)＋(－14)×(－6) ＝－5＋84 ＝79. (2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)， ∴|a＋b|＝

  20. 已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ ，则 (1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°； (2)a·b＝0⇔ θ ＝90°； (3)a·b＜0⇔90°＜θ ＜180°. [特别警示]　在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.

  21. 已知|a|＝1，a·b＝ ，(a－b)·(a＋b)＝ ， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值. [思路点拨]

  22. [课堂笔记](1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ， ∴|a|2－|b|2＝ ， 又∵|a|＝1，∴|b|＝ 设a与b的夹角为θ，则cosθ ∴ θ ＝45°.

  23. (2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2× ∴|a－b|＝ . (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2× ∴|a＋b|＝ ，设a－b与a＋b的夹角为α， 则cosα＝

  24. 1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0). 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

  25. 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， ＝ (－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且 ，求实数m，n的值. [思路点拨]

  26. [课堂笔记]　由于C、A、B三点在同一条直线上， 则 而 ＝(7，－1－m)， ＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0， ① 又∵ ∴－2n＋m＝0， ② 联立①②解得

  27. 　 平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向.

  28. [考题印证] (2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2). (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.

  29. 【解】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ ┄┄┄┄(4分) (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋ )＝ .┄┄┄┄┄┄┄(8分) 又由0＜θ＜π知， ＜2θ＋ ＜ ，所以2θ＋ ＝ ，或2θ＋ ＝ .因此θ＝ ，或θ＝ .┄┄┄(12分)

  30. [自主体验] 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积.

  31. 解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB， 即a· ＝b· ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ∴a＝b. ∴△ABC为等腰三角形. (2)由题意可知m·p＝0， 即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab.

  32. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 即(ab)2－3ab－4＝0， ∴ab＝4(舍去ab＝－1)， ∴S＝ absinC＝ ·4·sin ＝

  33. 1.(2009·宁夏、海南高考)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向 量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ()

  34. 解析：a＝(－3,2)，b＝(－1,0). λa＋b＝(－1－3λ，2λ)，a－2b＝(－1,2). ∵λa＋b与a－2b垂直，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴(－1－3λ)(－1)＋2λ·2＝0， 解得λ＝－ . 答案：A

  35. 2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满 足 则 等于 ()

  36. 解析：M为BC中点，得 又∵ P为AM的 等分点， 答案：A

  37. 3.已知在△ABC中，若 则△ABC是 () A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.钝角三角形

  38. 解析：由 ∴△ABC是直角三角形. 答案：C

  39. 4.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a －b|＝. 解析：|5a－b|2＝25|a|2＋|b|2－10a·b ＝25＋9－10×1×3×(－ )＝49. ∴|5a－b|＝7. 答案：7

  40. 5.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若 a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 的模为.

  41. 解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)；∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量 ＝(－8,8)， ＝8 . 答案：8

  42. 6.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝ (1,2). (1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

  43. 解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝ 可得： ∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4). (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2× ＝0， ∴a·b＝ ∴cosθ＝ ＝－1， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.

More Related