第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

1. 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 本章要点： • 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 • 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 • 周期信号和非周期信号的频谱分析 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析 • 取样定理

2. 定义：如果两个矢量 和 相互垂直，则称 和 为正交矢量。 设在平面上，两个矢量 和 夹角为， 在 上的投影为  §4.1信号分解为正交函数 信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似 一、正交矢量：

3. 若用 来近似表示 ，则表达式为：  §4.1信号分解为正交函数 其误差矢量为： 1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量 是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：

4. §4.1信号分解为正交函数 2、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢量的平方最小： C12标志着两个矢量相互接近的程度。

5. y x §4.1信号分解为正交函数 平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。 这个概念可推广到n维空间。 二、正交函数： 设在时间区间（t1，t2）内，两函数f1(t)，f2(t)。 用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来表示f1(t)。即：

6. 令 可得： §4.1信号分解为正交函数 设误差函数为： 为使f1(t)和f2(t)达到最佳近似，用均方误差：

7. §4.1信号分解为正交函数

8. §4.1信号分解为正交函数 当c12为0时，表示两个函数正交。 c12为f1(t) 与f2(t)的相关系数。由此，给出正交函数的 定义：

9. §4.1信号分解为正交函数 正交函数的定义： 1、 在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足条件： 则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数 2、 若 f1(t)与f2(t)是复变函数，则 f1(t)与f2(t)在[t1,t2]区间上正交的条件是：

10. §4.1信号分解为正交函数 三、正交函数集： 定义：在[t1,t2]区间上定义的n个非零实函数集 g1(t), g2(t) ,…,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、 gj(t)均满足： 其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集

11. §4.1信号分解为正交函数 任意一个函数f(t)在区间[t1,t2]内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示： 在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,…,cn：

12. 令 则： §4.1信号分解为正交函数

13. 则称此函数集为完备正交函数集。 若 §4.1信号分解为正交函数 四、完备正交函数集 在区间[t1,t2]内，用正交函数集g1(t),g2(t) ,...,gn(t)，来近似表示函数f(t)，其方均误差为 ：

14. §4.1信号分解为正交函数 所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示： 此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。

15. §4.1信号分解为正交函数 常用的完备正交函数集: 1、三角函数集： 函数1，cost,cos2t, …,cosnt,...,sint, sin2t,… ,sinnt,…, 当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内组成完备正交函数集。其中T=2/ 2、复指数函数集： 函数集ejnt,n=0,±1, ±2,…,是一个复变函数集，在区间[t0，t0+T]内是完备正交函数集。