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1. 小号发出的波足以把玻璃杯振碎

2. 第6章 机械振动基础 §1 简谐振动 §2 简谐振动的合成 §3 阻尼振动与受迫振动简介

3. 机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动 物理量： 等等

4. 重要的振动形式是 简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibration 物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以说 S.H.V.是振动的基本模型 或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质

5. 公式： 是相对于平衡位置的位移。 §1 简谐振动 • 基本概念 1.   平衡位置 质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力） 等于零，该位置即为平衡位置。 2.    线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移 （线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则 此作用力称作线性回复力。 3.    简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。

6. 6.1.1.简谐振动 以弹簧谐振子为例 设弹簧原长为坐标原点 由牛顿第二定律 整理得 简谐振动 令

7. 　　如质点运动的动力学方程可归结为： 　　　　　的形式，且其中 　决定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。 方程　　　　　　　的解为： （1） 弹簧振子作简谐振动的动力学方程 总结： 　　（1）式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。

8. 简谐振动的运动学方程 则速度和加速度分别为

9. 位移 振幅 6.1.2、简谐振动的振幅、周期、频率和相位 1.运动学表达式 弹簧谐振子 特征量： 广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量

10. 频率 周期 相位 圆频率 初相位 角频率 系统的周期性 固有的性质 称固有频率… 位相 周相 初位相 取决于时间零点的选择

11. 简谐振动的描述 1.解析描述

12. 均是作谐振动的物理量 频率相同 振幅的关系 相位差 超前 落后

13. 2.曲线描述

14. 小结 S. H. V. 的判据 1）谐振动运动学方程 2）动力学方程 从对象的运动规律出发 （电学规律 力学规律等） S.H.V.的标准形式

15. 6.1.3 振幅和初相的确定 决定简谐振动的具体形式 需知外力条件，还需知道初始条件，即t＝0时的 位移 和速度 。 设 书中例题6.1，6.2，6.4 （197页）

16. 练习题： 弹簧振子的振动表达式用余弦函数表示。若t＝0时物体的运动状态分别为（1） （2）过平衡位置向x正方向运动；（3） 且向x负方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。 解：设振动表达式为 则 同理 相量图分别为：

17. 6.1.4 简谐振动的能量 如 弹簧谐振子 系统机械能守恒 以弹簧原长为势能零点

18. 讨论 1)普适 2)时间平均值 3)由简谐振动能量求振动 例题6.5（203页） （理解）

19. 练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初 势能分别为 振动时，请回答： （1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？ 练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初 势能分别为 振动时，请回答： （1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？

20. 以角速度 6.1.5.旋转矢量表示法 用匀速圆周运动 几何地描述 S H V 规定 逆时针转 端点在x轴上的投影式

21. 优点 1） 直观地表达振动状态 分析解析式 可知 当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位 即 表达式中的余弦函数的综量 而旋转矢量图 可直观地显示该综量 用图代替了文字的叙述

22. < • 如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点 旋矢与轴夹角为零 意味 • 质点经二分之一振幅处向负方向运动 意味

23. < 0 < 0 向负方向运动 • 质点过平衡位置向负方向运动 < 0 同样 注意到：

24. > 0 或 > 0 或 > > 0 向正向运动 向正方向运动

25. 若 2） 方便地比较振动步调 由图看出：速度超前位移 加速度超前速度 位移与加速度 称两振动反相 称两振动同相

26. §2 简谐振动的合成 一、同方向同频率谐振动的合成 二、同方向不同频率谐振动的合成 拍 三、 两个垂直方向谐振动的合成 利萨如图形 四、谐振分析

27. 当一个物体同时参与几个谐振动时 • 就需考虑振动的合成问题 • 本节只讨论满足线性叠加的情况 • 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 • 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 • 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 • 可以给出重要的实际应用

28. 线性叠加 6.2.1、振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成 （双光束干涉的理论基础） • 结果： • 仍是谐振动 • 振动频率仍是 • 振动的振幅

29. 若 • 若 • 若 特殊结果： 同相 合振动加强 反相 合振动减弱 两振动同相 两振动反相 可能的最强振动 “振动加振动”不振动

30. 6.2.2、 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 拍 分振动： 线性相加： 结论：合成已不再是谐振动 但考虑到 1  2 可以用 谐振动表达式等效 加深认识

31. << 分析： 则 较 随时间变化缓慢 将合成式写成谐振动形式

32. 合振动可看做是振幅缓变的谐振动 合成振动如图示 表达式为

33. 拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频 由式 得 测未知频率的一种方法

34. 6.2.3、两个垂直方向谐振动的合成 1. 同频率的谐振动合成 线性相加： 轨迹方程是椭圆 即 合成的一般结果是椭圆

35. 不同 椭圆形状、旋向也不同 =   = 0  = /4 = /2 = 3/4 · y P · Q x  = 5/4 = 3/2  = 7/4 （-3/4） （-/2） （-/4）

36. y A1 x 例如左图： -A2 A2 0 - A1 2.频率比是简单的正整数 合成轨迹为稳定的闭合曲线—利萨如图 应用：测定未知频率

37. 四、谐振分析 利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算） 对周期性振动： T — 周期 k = 1 基频（） 决定音调 k = 2 二次谐频（2） 高次谐频 决定音色 k = 3 三次谐频（3） 

38. 受迫振动 阻尼自由振动 共振 自由振动 振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 振动的形式: (简谐振动）

39. §3 阻尼振动与受迫振动 一、 阻尼振动 二、受迫振动 三、共振

40. 一、 阻尼振动 1.阻尼振动 系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为:

41. 2.阻尼振动的动力学方程 由牛顿第二定律有 整理得 式中 系统固有频率 令 称阻尼因子

42. 阻尼振动方程为 3.振动表达式 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 从物理上考虑： 如果无阻尼 是谐振动的形式 存在阻尼 仍振动但能量会衰减

43. 所以 解的形式必定是 在谐振动的基础上乘上一衰减因子 即形式为： 可以证明：

44. 三种阻尼振动 临界阻尼 过阻尼 过阻尼： x 临界阻尼： 欠阻尼 0 t 欠阻尼：

45. 二 、受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化 即 由牛顿第二定律有

46. 整理得 其中 固有频率 阻尼因子

47. 3.稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为： 用旋矢法可求出上式的A和

49. 驱动力初相为零 画任意时刻旋矢图 由旋矢图可知： 得 位移与驱动力的相位差

50. 三、共振 在弱阻尼即 <<  0的情况下 当 =  0时 系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 • 共振现象 • 普遍 • 有利有弊 • 160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 • 几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 • 1940年 美国 桥 大风 流速