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第 4 章 电路的定理 (Circuit Theorems).  重点 :. 1. 熟练掌握叠加定理，戴维南和诺顿定理 ; 掌握替代定理. 2. 了解特勒根定理 , 互易定理和对偶原理。. 电压源 （ u s =0) 短路. 电流源 ( i s =0) 开路. 4 - 1 叠加定理 ( Superposition Theorem ). 在线性电路中，任一支路电流 ( 或电压 ) 都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流 ( 或电压 ) 的代数和 。. 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用. 不作用 的. i 1.

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  1. 第4章电路的定理(Circuit Theorems)  重点: 1. 熟练掌握叠加定理，戴维南和诺顿定理; 掌握替代定理. 2. 了解特勒根定理,互易定理和对偶原理。

  2. 电压源（us=0) 短路 电流源(is=0) 开路 4-1 叠加定理 (Superposition Theorem) 在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用 不作用的

  3. i1 证明 i1 = i11 + i12 +i13 ib1 ia1 ib ia us1 us2 us3 R2 R1 R1 R3 + + + + i11 i12 i13 – – – – R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 ia2 ia3 ib2 ib3 + + us1 us2 us3 – – 举例证明定理

  4. ib1 ia1 R1 + i11 i12 i13 – R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 ia2 ia3 ib2 ib3 + + us1 us2 us3 – – R11ia1+R12ib1=us1 R21ia1+R22ib1=0 R11ia2+R12ib2=-us2 R21ia2+R22ib2=us2 R11ia3+R12ib3=0 R21ia3+R22ib3=-us3

  5. i1 ib ia 证得 ia = ia1 + ia2 +ia3 us1 us2 us3 R2 R1 R3 + + + us1-us2 us2-us3 – – – R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22 即回路电流满足叠加定理

  6. 第j列 推广到l个回路 , 第j 个回路的回路电流：

  7. us1  usb 把 usi 个系数合并为Gji 第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流 支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。 同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。

  8. 应用叠加定理时注意以下几点： 1.叠加定理只适用于线性电路求电压和电流； 不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。 2.应用时电路的结构参数必须前后一致。 3. 不作用的电压源短路；不作用的电流源开路 4.含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。 5. 叠加时注意参考方向下求代数和。

  9. 6 + + u 10V 4A 4 – – 6 6 + + + u' u'' 10V 4A 4 4 – – – 例1. 求图中电压u。 解: (1) 10V电压源单独作用， 4A电流源开路 (2) 4A电流源单独作用， 10V电压源短路 u"= -42.4= -9.6V u'=4V 共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V

  10. I1 10 I1 6 + – + + 10V + Us 4A 4 + – U1" – U1' – – I1'' 10 I1'' 6 I1' + – 10 I1' 6 + – + + + Us' Us'' 4A 4 10V – 4 – – 例2 求电压Us 。 解: (2) 4A电流源单独作用： (1) 10V电压源单独作用： Us'= -10 I1'+U1' Us"= -10I1"+U1”

  11. I1' 10 I1' 6 + – + + U1" + U1' – 4 10V – – I1'' 10 I1'' 6 + – + + Us' Us'' 4A 4 – – Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1' =-101+41= -6V Us"= -10I1"+U1” = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V

  12. kus us kr r R R 齐性原理（homogeneity property) 当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。

  13. IL + U - R1 R3 R5 例3 + R2 R4 + Us RL UL – – 解 法一：分压、分流。 法二：电源变换。 法三：用齐性原理（单位电流法） 设 IL=1A U K = Us / U UL= KILRL

  14. us1 r1+r2 us2 R k2 us2 k1 us1 us1 us2 k2 r2 k1 r1 r1 r2 R R R R k1 us1 k1 r1+k2 r2 k us1 us1 k2 us2 R k r r k us2 us2 R R 可加性(additivity property) 例4 线性 例5 例6 线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。

  15. ik + + A A A uk 支 路 k uk ik – – 4-2 替代定理 (Substitution Theorem) 任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于ik的 独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。

  16. 2.5A 2.5A 1A 2 10V 5V 5 2 10V 5V 5V 1.5A A A A + + + + 1A 1A 1V 1A ? 1V 1V _ 1A 1 - - - 不满足 满足 B B B 1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 说明 2. 替代定理的应用必须满足得条件: 1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。 ? ? 2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。

  17. ik ik A A + 支 路 k + uk 支 路 k A A – uk – uk – + C B B – + uk ik A + + A uk uk – – B 证明: AC等电位

  18. a a Ri A + Uo b - b 4-3 戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ri的串联组合来等效替代；其中电压Uo等于端口开路电压，电阻Ri等于端口中所有独立电源置零后端口的入端等效电阻。

  19. a i a i Ri + + A N' + u N' u 证明 Uoc – – – b b 替代 a a a P 叠加 + + + + A A = u'' i u i u' Ri – – – b b b 电流源i为零 网络A中独立源全部置零 u"= -Ri i 得 u = u' + u" =Uoc-Ri i 证明: u'=Uoc (外电路开路时a、b间开路电压)

  20. a a Isc A Gi b b 诺顿定理 任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导。

  21. I I + + uo1 uo2 - - A1 A2 Ro2 Ro1 A I - + U 30K 10K 60K J 5K B -100V 40V 200V A + 30K 10K 60K UAB - + + - 100 40 B 200 - - + 例1 例2 外电路含有非线性元件 当电流I > 2mA时继电器的 控制触点闭合（继电器线圈 电阻是5K）。 问现在继电器触点是否闭合。 解： 求开路电压UAB

  22. A + uAB I - + U - 60K 5K RAB B A + 30K 10K 60K UAB - + + - 100 40 B 200 - - + UAB=26.7V RAB=10 // 30 // 60 = 6.67K 二极管导通 I = 26.7 / (5+6.67) = 2.3mA >2mA 结论: 继电器触点闭合。

  23. 10 10 5 20 10 20 20 2A R + + + + + 15V 5V 85V - - - - - 10 10 5 20 2A R 10 + + 10 5V 15V 85V - - 5 2A R + 10V 85V - 例3 R多大时能从电路中 获得最大功率，并求 此最大功率。 解：

  24. 10 5 R + 30 10 R0 50V 85V + + + - - - - R U0 10 5 2A R + 10V 85V - R =4.29获最大功率。

  25. 已知如图，求UR。 例4 6I1 6 – + + + Ri + I1 3 UR + 3 UR 9V 3 Uo - – – – Uo=9V I1=9/9=1A 6I1 6 – + + + I1 9V 3 Uo – – 解： (1) 求开路电压Uo Uo=6I1+3I1

  26. 6 + Isc 9V – 6I1 6 – + + I1 Isc 9V 3 – I1=0 (2) 求等效电阻Ri 方法1 开路电压、短路电流 Uo=9V 3I1=-6I1 Ri = Uo / Isc =9/1.5=6  Isc=1.5A

  27. + 6I1 6 I – + Ri 3 UR + + I1 Uo - 3 U – I1=I6/(6+3)=(2/3)I – U =9  (2/3)I=6I Ri = U /I=6  方法2 加压求流（独立源置零，受控源保留） U=6I1+3I1=9I1 (3) 等效电路

  28. 2 + - 1 4 3 + – 4 1 3 2 4 2 3 4 1 1 2 3 N 2 2 1 1 3 3 5 5 4 4 6 6 4-4 特勒根定理(Tellegen’s Theorem) 一.具有相同拓扑结构的电路 N

  29. 1 2 3 4 4 1 2 3 2 2 1 1 3 3 5 5 4 4 N 6 6 例: N *对应支路取相同的参考方向 *各支路电压、电流均取关联的参考方向

  30. 网络N 和 具有相同的拓扑结构。 - - ^ uk uk   + + ik ^ ik   二. 特勒根定理 取： 1. 对应支路取相同的参考方向 2. 各支路电压、电流均取关联的参考方向 N 特勒根定理

  31. 流出节点的 所有支路电流和 n个节点 ,有n项 同理可证： 功率守恒定理 是特勒根定理的特例. 证明 令 流出 流出 = 0

  32. i1 - + 5V ix R 10V 1A R + - i2 N 例 已知如图 ,求电流 ix 。 解 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。 由特勒根定理，得

  33. k支路 k支路 c a a c j支路 j支路 线性电阻网络 N 线性电阻网络 N – + ijk uk uj ikj – + d b d b (b) (a) 4-5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 第一种形式: 激励电压源，响应电流 图a电路中，只有j支路中有电压源uj，其在k支路中产生的电流为 ikj 。 图b电路中，只有k支路中有电压源uk，其在j支路中产生 的电流为 ijk 。 当 uk=uj时，ikj=ijk。

  34. k支路 a c j支路 线性电阻网络 N + u – b d A i (a) k支路 a c j支路 线性电阻网络 N – i u A + d b (b)

  35. c a c a 线性电阻网络 N 线性电阻网络 N – + ijk uj Ik Ik ikj uk Ij Ij – + d b b d (a) (b) 证明 选定回路电流，使支路j和支路k都只有一个回路电流 流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。 列方程

  36. j列 k列 j行 k行 图b 图a 图a 图b

  37. 当含有受控源时，系数矩阵不对称 互易定理不成立。 图a 图b 无受控源，系数矩阵对称 当 uk=uj时，ikj=ijk 互易定理成立。

  38. Ij 线性电阻网络 N + uj Ik – 名词介绍 入端电导 Gjj 转移电导 Gkj

  39. j k + ujk ik j' – k' (b)  当 ik=jj时，ukj=ujk + j k ij ukj j' – k' (a) 第二种形式: 激励电流源，响应电压 课后思考

  40. I 例1 2 8 3 + 10V – 2 4 – + 10V I1 2 8 3 I I3 I2 2 4 求电流I 。 回路法，节点法，戴维南 解 利用互易定理 I2 = 0.5 I1=0.5A I3 = 0.5 I2=0.25A I= I1-I3 = 0.75A

  41. 2V _ 0.25A + I1 R 2 + R 10V 2 _ 0.25A + R 2V 2 _ 例2 求：I1 已知如图 , 解 注意方向 互易 齐次性

  42. (2) 激励为电压源时，响应为电流 电压与电流互易。 激励为电流源时，响应为电压 应用互易定理时应注意： (1) 适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。 (3) 电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路； 电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。 (4) 互易时要注意电压、电流的方向。 (5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。

  43. 1. 平面网络； 2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）； 3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素 称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。 G1 R2 R1 G2 il un us – + is 4-6 对偶原理(Dual Principle) 一. 网络对偶的概念 例1. 网孔电流方程： 节点电压方程： (R1 + R2)il = us (G1 + G2 )un = is

  44. (R1 + R2)il = us (G1 + G2 )un = is G1 R2 R1 G2 il un us – + is 对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。 电阻 R 电压源 us网孔电流 ilKVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is节点电压 unKCL 并联 节点

  45. R1 R3 un1 G2 un2 i1 + + is1 + il1 us1 il2 u1 rm i1 G1 G3 R2 gm u1 – – – (G1+G2)un1- G2un2 = is1 (R1+R2) il1- R2il2 = us1 -(R2-rm) il1 +(R2+R3) il2 =0 -(G2-gm )un1+(G2+G3) un2= 0 例2 网孔方程： 节点方程： 网孔电阻阵 CCVS T形  节点导纳阵 VCCS 形 对应元素 两个电路互为对偶电路。

  46. 二. 对偶原理： （或陈述）S成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶 两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题 元素替换，所得命题（或陈述）S对电路N成立。 对偶关系 基本定律 U=RII=GU U=0 I=0 对偶元件 R G L C  对偶结论 开路电流为零，短路电压为零； 理想电压源不能短路， 理想电流源不能开路； 戴维南定理，诺顿定理；  分析方法 网孔法 节点法 对偶结构 串联 并联 网孔 节点 Y 对偶状态 开路 短路

  47. R1 R3 un1 G2 un2 等效和对偶是两个完全不同的概念 i1 + + is1 + il1 us1 il2 u1 rm i1 G1 G3 R2 gm u1 – – – 三. 求对偶电路的方法（打点法） 例

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