Standard ML

1. Standard ML Sequences

2. Sequences, Lazy Lists • Characteristics of lazy lists • Elements are not evaluated until their values are required • May be infinite • Expressing lazy lists in ML datatype 'a seq = Nil | Cons of 'a * (unit-> 'a seq); fun head(Cons(x,_)) = x; > val head = fn : 'a seq -> 'a fun tail(Cons(_,xf)) = xf(); > val tail = fn : 'a seq -> 'a seq • ML evaluates the E expression in Cons(x,E), so to obtain lazy evaluation we must write Cons(x,fn()=>E).

3. Examples Of Sequences • An increasing sequence of integers fun from k = Cons(k,fn()=>from(k+1)); > val from = fn : int -> int seq from 1; > val it = Cons (1, fn) : int seq tail it; > val it = Cons (2, fn) : int seq • A sequence of squared integers fun squares Nil : int seq = Nil | squares (Cons(x,xf)) = Cons(x*x, fn()=> squares (xf())); > val squares = fn : int seq -> int seq squares (from 1); > val it = Cons (1, fn) : int seq head(tail(tail(tail(tail it)))) > val it = 25 : int

4. Elementary Sequence Processing • Adding two sequences • fun addq (Cons(x,xf), Cons(y,yf))= Cons(x+y, fn()=>addq(xf(),yf())) | addq _ : int seq = Nil; > val addq = fn: int seq * int seq -> int seq • Appending two sequences • fun appendq (Nil, yq) = yq | appendq (Cons(x,xf), yq) = Cons(x,fn()=>appendq(xf(),yq)); > val appendq = fn : 'a seq * 'a seq -> 'a seq • appendq (xq, yq) :No elements of yq appear in the output unless xq is finite !

5. Functionals for Sequences • Interleaving two sequences • fun interleaving (Nil, yq) = yq | interleaving (Cons(x,xf),yq) = Cons(x, fn()=>interleaving(yq,xf())); > val interleaving = fn: 'a seq * 'a seq -> 'a seq • mapq and filterq • fun mapq f Nil = Nil | mapq f (Cons(x,xf)) = Cons( f(x), fn()=>mapq f (xf()) ); > val mapq = fn : ('a ->'b) -> 'a seq -> 'b seq • fun filterq pred Nil = Nil | filterq pred (Cons(x,xf)) = if pred x then Cons(x,fn()=>filterq pred (xf())) else filterq pred (xf()); > val filterq = fn : ('a ->bool) -> 'a seq -> 'a seq

6. Sieve of Eratosthenes [http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes]

7. Example: Prime numbers • fun notDivide p = filterq (fn n => n mod p <> 0); > valnotDivide = fn : int -> intseq -> intseq notDivide pbuilds a filter that removes all numbers that are divisible byp. • fun sieve (Cons(p,nf)) = Cons(p, fn () => sieve(notDivide p (nf()))); > val sieve = fn : intseq -> intseq Sievereceives a sequence and returns a sequence in which every head places anotDividefilter on the tail; therefore the tail never has numbers that are divisible by any number that has ever been in the head. • val primes = sieve (from 2); > val primes = Cons (2, fn) : intseq

8. שאלה ממבחן (אביב 2013 מועד ב') עבור שאלה זו ניזכר בהגדרת רצף שראינו בכיתה: datatype 'a  seq =  Nil  |  Cons of 'a * (unit -> 'a seq); ובפונקציות הבאות, שראינו גם כן בכיתה: fun tail (Cons(_,xf)) = xf(); fun from(x) = Cons(x,fn()=>from(x+1)); fun mapq f Nil = Nil   | mapq f (Cons(x,xf)) = Cons(f(x), fn()=>mapq f (xf())); fun mapq_3 f Nil = Nil  | mapq_3 f (Cons(x,xf)) = if (x mod 3 = 0 ) then                               Cons(f(x), fn()=>mapq_3 f (xf()))                             else  Cons(x, fn()=>mapq_3 f (xf())); כן כמו נגדיר את שתי הפונקציות הבאות, שלא ראינו בתרגול :

9. שאלה ממבחן (המשך) רשמו מה יהיה הפלט של ML לאחר הכנסת כל אחת מהפקודות הבאות .עבור סעיפים בהן ישנה יותר מפקודה אחת, יש לרשום את הפלט לאחר הכנסת הפקודה האחרונה בקבוצת הפקודות! א. (2 נק) mysterySeq_1 op+ (from 0); val it = Cons (0,fn) : intseq ב. (3 נק) mysterySeq_1 op+ (from 0);tail (tail (tail it)); val it = Cons (7,fn) : intseq ג. (3 נק) mysterySeq_2 op+ (from 0); tail (tail (tail it)); val it = Cons (4,fn) : intseq ד. (3 נק) mysterySeq_2 op+ (from 0); tail (tail (tail (tail it))); val it = Cons (4,fn) : intseq

10. שאלה ממבחן (אביב 2008) נציג את ההגדרה של sequences שנלמדה בכיתה : datatype 'a seq = Nil | Cons of 'a * (unit-> 'a seq); כמו כן נציג את הכרזת from כפי שנלמדה בכיתה : fun from k = Cons(k,fn()=>from(k+1)); בשאלות הבאות ניתן להיעזר בכל פונקציה שנלמדה בתרגול. כמו כן, בכל סעיף ניתן להשתמש בסעיף קודם, גם במידה ולא מימשת את הפונקציה בו. א. השלימו את הפונקציה הבאה בML אשר מקבלת sequence ומחזירה true אם הוא שווה ל Nil. fun isNil(Nil) = true | isNil(_) = false; ב. השלימו את הפונקציה הבאה ב ML כך שתקבל רצף ותחזיר רצף אשר מכיל רק את האיברים בעלי האינדקס הזוגי ברצף המקורי (האינדקס של האיבר הראשון הוא 1 ). fun evens(Nil) = Nil |evens(sq) = if isNil(tail(sq)) then Nil else Cons(head(tail(sq)), fn() => evens(tail(tail(sq)))); ג. השלימו את הפונקציה הבאה ב ML כך שתקבל רצף ותחזיר רצף אשר מכיל רק את האיברים בעלי האינדקס האי זוגי ברצף המקורי. fun odds(Nil) = Nil | odds(sq) = Cons(head(sq), fn() => evens(tail(sq)));

11. שאלה ממבחן (אביב 2008) ד. מה תהיה תגובת ML להכרזה הבאה: val x = head (tail(evens(tail(from(1)))); val x = 5 : int ה. השלימו את הפונקציה הבאה ב ML כך שתקבל רצף ותחליף בין המיקומים של כל איבר באינדקס אי זוגי ברצף והאיבר שבאינדקס הזוגי העוקב לו (אם כזה קיים). לדוגמא עבור רצף שאיבריו הם 1,2,3,4,5,6,7 יוחזר הרצף שאיבריו הם 2,1,4,3,6,5,7. ניתן להניח כי הרצף שמתקבל אינו Nil. fun switch(sq) = interleaving(evens(sq),odds(sq));