UVIJANJE

1. UVIJANJE

2. UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA Pri analizi osnovnih opterećenja prizmatičnog štapa uvijanjem ili torzijom nazivamo slučaj kada se u bilo kojem presjeku štapa dinama vanjskih sila, koje djeluju s jedne strane promatranog presjeka, svodi na moment Mt, koji odgovara vektoru paralelnom s uzdužnom osi štapa. Taj se moment naziva moment uvijanja ili moment torzije. Pretpostavljamo da se vlastita težina štapa može zanemariti, te imamo čisto uvijanje. Uslov ravnoteže u tom slučaju glasi: Vanjske momente smatramo algebarskim veličinama, dajući im u zavisnosti od smisla rotacije pozitivan, odnosno negativan predznak.

3. UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA

4. UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA Ako je npr. osovina opterećena vanjskim momentima prema slici njeno je opterećenje u presjeku x izraženo momentom torzije Mt, koji je jednak algebarskoj sumi svih vanjskih momenata lijevo ili desno od presjeka x. Njegov se predznak utvrđuje od slučaja do slučaja. U teoriji uvijanja postavljaju se dva glavna pitanja: a) Određivanje tangencijalnih naprezanja , koja djeluju u nekom presjeku, b) određivanje deformacija, ugla torzije . Teorija elastičnosti daje odgovore na ta dva pitanja za neke specijalne slučajeve, kada presjek ima jednostavan geometrijski oblik (kružnica, elipsa, pravougaonik). Čvrstoća daje elementarno rješenje samo za kružni presjek štapa.

5. UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA Pri analizi napregnutog štapa opterećenog na uvijanje analizu temeljimo na ovim pretpostavkama: a) Poprečni presjeci štapa u procesu deformacije ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os štapa. b) Poluprečnici u tim presjecima ostaju ravni (ne iskrivljuju se) i okreću se za isti ugao. c) Pomake smatramo malim, a materijal štapa homogenim i izotropnim. Ispitivanja pokazuju da je za štapove kružnog presjeka teorija osnovana na tim pretpostavkama u skladu s eksperimentalnim rezultatima.

6. EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI UVIJANJU Na osnovu rezultata laboratorijskih ispitivanja određena je za uvijanje štapa od mekog čelika zavisnost između momenata uvijanja i ugla torzije kao što je to prikazano na dijagramu. Iz dijagrama, vidi se da Mtod 0 do A raste linearno u zavisnosti od φ. Tačka A odgovara granici proporcionalnosti materijala.

7. ODREĐIVANJE KUTA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Da bismo našli zavisnost između ugla torzije i momenta torzije uvodimo pojam relativnog kugla torzije . Taj je ugao jednak odnosu ugla torzije i duljine štapa (osovine): Za osovinu konstantnog presjeka:

8. ODREĐIVANJE UGLA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Prema izrazu za moment torzije i izraza za relativni ugao torzije imamo izraz za moment torzije (u radijanima): gdje je ctkoeficijent krutosti štapa, odnosno osovine pri uvijanju, a GIp krutost presjeka štapa pri uvijanju (torziona krutost). Vidimo da GIp ima u teoriji uvijanja istu ulogu kao aksijalna krutost EI pri rastezanju. Dimenzija je [PL2] odnosno u jedinicama Nmm2.

9. ODREĐIVANJE UGLA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Relacija za ugao torzije prikazana grafički u koordinatama pokazuje linearnu zavisnost Mt = f(φ) , kao što je pokazano na slici, te imamo:

10. ODREĐIVANJE UGLA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Nađimo izraz za potencijalnu energiju uvijanja. Uzmimo da je ugao torzije štapa, na koji djeluje moment Mt, jednak φ0 . Pri povećanju Mt za vrijednost dMt dobit će ugao φ0 beskonačno malen prirast dφ0 (prema slici). Ako pretpostavimo da se Mt ne mijenja u granicama dφ, možemo elementarni rad ili energiju koja se troši za dodatno uvijanje štapa izraziti:

11. ODREĐIVANJE UGLA TORZIJE I POTENCIJALNE ENERGIJE UVIJANJA Integriranjem (sumiranjem) elementarnih vrijednosti u granicama promjene φ0 od nule do φ dobivamo potencijalnu energiju uvijanja: S pomoću izvedenih izraza možemo za Ep napisati još dva izraza: Prvi izražava zavisnost Ep od ugla torzije φ, a drugi od momenta torzije Mt.

12. STATIČKI DIJAGRAMI PRI UVIJANJU Razmotrimo najjednostavniji slučaj opterećenja osovine vanjskim momentom Mt koji djeluje u krajnjem presjeku. Nanesemo li u određenom mjerilu ispod odgovarajućih presjeka vrijednosti iznad nulte linije, paralelne s uzdužnom osi osovine, dobit ćemo dijagram momenata uvijanja u obliku pravougaonika.

13. STATIČKI DIJAGRAMI PRI UVIJANJU Za osovinu duljine xugao torzije ima vrijednost: Odatle slijedi da dijagram ima linearan oblik, tj. površina dijagrama je u obliku trokuta. Dijagram relativnog ugla torzije određuje se prema veličini:

14. UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Ispitivanja u laboratoriju pokazuju da se poprečni presjeci neokruglih štapova pri uvijanju znatno iskrivljuju, pojavljuju se deplanacije presjeka.

15. UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Na slici šematski je prikazana raspo­djela tangencijalnih naprezanja u presjeku pravouglog oblika i to duž osi simetrije, duž dijagonala i duž konturnih strana pravougaonika.

16. UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA Najveće tangencijalno naprezanje pojavljuje se na sredini duljih strana presjeka i može se izraziti jednačinom: U toj formuli su h i b dimenzije presjeka, pri čemu je h > b, dok je α koeficijent čija vrijednost zavisi od odnosa h/b.

17. UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA • Najveće naprezanje može se dovoljnom točnošću odrediti i s pomoću približne formule: • Najveće naprezanje može se dovoljnom točnošću odrediti i s pomoću približne formule:

18. UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA • Kut torzije na jedinicu duljine štapa pravougaonog presjeka određuje se po formuli: • U svim razmatranim slučajevima jedinični ugao torzije proporcionalan je momentu torzije i zato se može izraziti u obliku:

19. UVIJANJE ŠTAPOVA NEOKRUGLOG PRESJEKA C je konstanta koja karakterizira torzionu krutost štapa. Kod štapa kružnog presjeka: a za štap pravougaonog presjeka: