Procesos de Poisson

1. Procesos de Poisson Un proceso {N(t), t ≥0} es un proceso de conteo si N(t) corresponde al número de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]

2. Propiedades del proceso de conteo • N(t) es siempre un entero no negativo • Si tenemos dos instantes de tiempo distintos s y t, con s<t, entonces: N(s) < N(t) • Si s<t, entonces, el número de eventos que ocurren en el intervalo [s, t] corresponde a N(t) – N(s)

3. Incrementos independientes • Se dice que un proceso de conteo {N(t), t ≥0} presenta incrementos independientes, si el número de eventos que ocurren en intervalos disjuntos de tiempo son independientes E1 E2 En En+1 0 s t N(s) N(t) – N(s)

4. Incrementos estacionarios • El proceso de conteo {N(t), t≥0} presenta incrementos estacionarios, si la distribución de probabilidad de N(t + s) – N(t) depende de s pero no de t, es decir, la distribución del número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo sólo depende del largo del intervalo y de nada más.

5. Propiedad de orden • Un proceso de conteo tiene la propiedad de orden si: 1) P{ N(dt) = 1 } = l dt 2) P{ N(dt) ≥ 2 } = 0 3)P{ N(dt) = 0 } = 1 - l dt

6. Proceso de Poisson • Definición: El proceso de conteo {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson si cumple con: • la propiedad de incrementos independientes • la propiedad de incrementos estacionarios • la propiedad de orden

7. Teorema 1: • Si {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson, entonces la distribución del número de eventos en un instante de tiempo cualquiera viene dada por: P{N(t) = n} = e–lt(lt)n n!

8. Tiempo entre eventos • Teorema 2: En un proceso de Poisson a tasa l, los tiempos T1, T2, …, Ti son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas, con distribución exponencial de parámetro l.

9. Para el tiempo entre eventos: i) P {Ti ≤ t} = 1 - e–lt 2i) f (t) = l e–lt 3i) E (Ti) = 1 / l

10. Tiempos exponenciales • Teorema 3: Sea N(t) un proceso de conteo cuyos tiempos entre eventos son variables aleatorias independientes ente si, y con distribución exponencial ( a tasa l ); entonces, N(t) es un proceso de Poisson

11. Teorema 4: El proceso de conteo {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson a tasa l, si y solo si: • Con probabilidad 1, los incrementos del proceso son de magnitud unitaria • E [ N(t+s) – N(t) / N(u), u≤t] = ls

12. Teorema 5: Sea B la unión de un número finito de intervalos disjuntos de tiempos y NB el número de eventos del proceso de conteo {N(t), t ≥0} que caen dentro del conjunto B. Entonces, este proceso de conteo es un proceso de Poisson a tasa l, si y solo si: P{NB = n} = e–lb(lb)n n! Para todo conjunto B, en que b es la longitud total asociado al conjunto B.

13. Proceso de descomposición N1(t) p N(t) 1-p N2(t)

14. Teorema 6: P {N1(t) = j} = e–lpt(lpt)j j! P {N2(t) = k} = e–l(1-p)t(l(1-p)t)k k! Para el proceso anterior, los procesos N1(t) y N2(t) son variables aleatorias independientes.

15. Suma de procesos de Poisson • Sean N1(t), N2(t) ,…, Nk(t) procesos de Poisson independientes a tasas l1, l2,...,lk respectivamente. Entonces, el proceso: N(t) = N1(t) + N2(t) +…+ Nk(t) es un proceso de Poisson a tasa l =l1 + l2 +... ...+ lk

16. Distribución condicional de los tiempos entre eventos • Sea Sj = T1 + T2 + … + Tj la distribución de Sj corresponde a una función Gamma de parámetros n y l f(t) = l e–lt(lt)n-1 (n-1)!

17. Bajo el supuesto que ha ocurrido un evento en el intervalo [0, t], se tiene: P{S1 ≤ x / N(t) =1 } = P[S1 ≤ x , N(t) =1] P[ N(t) =1 ] = P[N(x) =1] * P[N(t-x) =0] P[ N(t) =1 ] = x / t

20. Proceso de Poisson compuesto • Definición: Dado un proceso de Poisson de tasa l{N(t), t ≥0} y sea X1, X2 ,…, Xi variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas, donde estas variables son además independientes de {N(t), t ≥0} . Entonces, el proceso {X(t), t ≥0} se dice de Poisson compuesto si:

21. X(t) = S Xi donde la sumatoria se mueve para i desde 1 hasta N(t) En este proceso, no se cumple con la propiedad de orden.

22. Para todo el proceso de Poisson compuesto se tendrá: • E[X(t)] = l t * E(Xi) • Var[X(t)] = l t * E(Xi2)

23. Proceso de Poisson no homogeneo • Definición: Todo proceso de conteo {N(t), t ≥0} se llama proceso de Poisson no homogeneo de tasa l(t) si y sólo si: • cumple la propiedad de incrementos independientes • cumple la propiedad de orden • la tasa de eventos l(t) depende del tiempo

24. Teorema 7: Dado un proceso de Poisson no homogeneo de tasa l(t);{N(t), t ≥0} y sea la tasa acumulada de ocurrencia (o valor medio) de eventos en el intervalo [t1, t2], esto es: m[t1, t2] = ∫ l(t) dt donde la integral se mueve desde t = t1, hasta t = t2],

25. Entonces, se tiene que: • P { [N(t2) – N(t1)] = n } = e–m(t1,t2) (m(t1,t2))n n!

26. o, en forme equivalente: • P { [N(t+s) – N(t)] = n } = e–[m(t+s)– m(t)] (m(t+s) – m(t)] n n!