抽樣分配

抽樣分配

樣本均值( )的統計性質 • 隨機樣本X1，X2，X3…Xn來自於無限母體抽樣 • 標準誤(standard error) ： • 樣本變異數的平方根，稱作標準誤。標準誤和標準差的性質相同，只是構成的基本元素不同而已。

重複抽樣 example：一個母體包括0，1，2，3。重複抽出n=2的樣本，抽出後放回。

example： • 某母群體隨機變數X平均數為200，變異數為100，隨機抽取25個樣本X1,X2,X3…X25，為樣本平均數。 • 1. 的期望值？ • 2. 的變異數？ • 3. 的標準差？ • Example： • 隨機變數X的期望值μ=30，變異數σ2=10，從母體中隨機抽取20個樣本，求樣本平均數的期望值及變異數。(30 , 1/2)

中央極限定理 • 中央極限定理(central limit theorem) • 隨著的抽樣分配隨n的增加呈現數值向中央集中，機率分布狀態呈常態 • 不論母群體的分配為何，在重複抽樣下，只要樣本數夠大，樣本均值的分配會呈常態分配。 • 樣本數n：

Central limit theorem • Central limit theorem： • 母群體變數Ｘ的期望值為μ，變異數為σ２， • Ｘ～（μ, σ２），自母群體抽取n個樣本X1,X2,X3….Xn，當樣本數夠大時(n>=30)：

Example： • 某母群體Ｘ的期望值為150，變異數為25，X1,X2,X3….X64代表從母群體抽出的64個隨機樣本，表示此64個樣本的平均數，則： • 1. 的分配為何？ • 2.P(149.825< <150.825)？ • Example： • 母群體隨機變數X呈現右偏，其平均數為30，標準差為26，從母群體中隨機抽出169個樣本，求 • 1.樣本均值的分配為何。(30 , 2) • 2.計算。(z>2)

Example： • 某班級學生統計成績呈常態分布，平均值為72，標準差為9，試求以下機率： • 1.自該班隨機抽出1人，其分數超過80的機率？ • 2.自該班抽出10同學，其平均成績超過80的機率？

T分配

T分配來由 • N(μ,σ)  sampling  樣本均值分配 • 以標準化值，但是對於小樣本不適用 • W.S. Gosset(1908)發表t-分配(student-t distribution)

t-分配運算 自由度 =

T分配的特性 • 以0為中心的鐘形曲線，類似Z分配，但會隨自由度變化。 • 自由度(degree of freedom; d.f.)，記作t(df)，df∞，t~N(0,1)。

Example：(t分配表右單尾特性) • df=5，α=0.1，則t( 0.1 , 5 )=? • ν=9 α=0.05，則t( 0.05 , 9 )=? • ν=9 α=0.95，則t( 0.95 , 9 )=? • example： • 設X代表某班統計學成績，已知其為常態分配，平均數為72，標準差未知。今自該班抽取9位同學，得標準差5，此9位同學之平均成績在K值以上之機率為0.05，試求K值。

樣本比例的抽樣分配

樣本比例的抽樣分配 • X代表成功次數，n為樣本數 • 回顧二項分配：

的抽樣分配 • 呈常態

Example： • 一個母體包含3個白球，2個紅球，今抽出2個球，抽出放回，試求抽出紅球的比例分配(求μp barσp bar)： • Example： • 今有新品種水稻300顆種子，進行發芽測試，結果有249顆發芽，請問新品種發芽率的平均值及標準差。(0.83 , 0.02)

Example： • 某公司有1000名員工，其中女性300人，茲隨機抽出50名員工，則抽出女姓的機率大於0.4的機率為何。(0.0618)

抽樣分配

抽樣分配

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