第九章振动（ Chapter 9 Oscillations ）

第九章振动 （Chapter 9 Oscillations）前言简谐振动的动力学特征简谐振动的运动学简谐振动的能量转换简谐振动的合成振动的分解(选学) 阻尼阻动受迫振动 “不守规矩”的摆 • 混沌行为（自学）参数振动 • 自激振动（自学）

前言 一、本章的基本内容及研究方法人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所以本章及下一章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。振动是一类较普遍的现象。一般地，只要某一物理量在某一量值附近随时间作周期性变化，都可称为振动。振动虽然多

种多样，但遵从的基本规律是相同的。在振动中，最简单、最基本的振动是简谐振动，可以证明，任何复杂的振动都可以看作是不同频率的简谐振动的合成。因此，掌握简谐振动的特征和规律非常重要，振动是波动的基础，一切波动都是某种振动的传播过程。本章的基本内容可分为三部分：第一，简谐振动；第二，振动的合成与分解；第三，阻尼振动和受迫振动。主要是利用质点和刚体运动规律来研究振动这种特殊的而又具有普遍意义的运动形式。种多样，但遵从的基本规律是相同的。在振动中，最简单、最基本的振动是简谐振动，可以证明，任何复杂的振动都可以看作是不同频率的简谐振动的合成。因此，掌握简谐振动的特征和规律非常重要，振动是波动的基础，一切波动都是某种振动的传播过程。本章的基本内容可分为三部分：第一，简谐振动；第二，振动的合成与分解；第三，阻尼振动和受迫振动。主要是利用质点和刚体运动规律来研究振动这种特殊的而又具有普遍意义的运动形式。近30年来（1975年学术界才创造了“混沌”〈chaos〉一词），人们不仅在自然界和实验室中观察到了许多混沌现象，而且认识到混沌产生的条件、所经历的途径及其特征，在理论上发现了一些产生混沌现象的普遍规律。目前对混沌现象的研究已经成为一个跨学科的十分活跃的新方向，有人认为混沌理论是继相对论、量子论之后，20世纪物理学的第三个重大的革命。混沌是在决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。

二、本章的基本要求 • 1、掌握简谐振动的特征和规律，并能依据谐振动的动力学特征判断振动是否为简谐振动； • 2、掌握描述简谐振动的三种方法：解析法、位移——时间图线法及旋转矢量法； • 3、学会分析同频率、同方向和相互垂直的两简谐振动的合成； • 4、了解阻尼振动、受迫振动的特点和共振发生的条件； • 5、了解带星号的基本内容。 • 三、本章的思考题及练习题 • 思考题：教材327--328页； • 练习题：9.2.5 9.2.8 9.2.10 9.3.3 9.6.1

§1 简谐振动的动力学特征 一个物体经过其平衡位置来回往复地运动，称为机械振动。例如钟摆的振动，弦管乐器中琴弦或空气柱的振动，列车通过时桥梁的振动、固体内晶格离子的振动等，最简单、最基本的振动是简谐振动（simple harmonic motion）。动力学特征：（1）在怎样的力（或力矩）的作用下物体作简谐振动；（2）根据力（或力矩）和运动的关系，求出简谐振动的动力学方程。质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，则此位置称为平衡位置。若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位

O 移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称线性回复力。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。讨论的步骤为：（1）先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点，建立坐标系；（2）让振动系统偏离平衡位置，然后分析系统的受力情况，求出系统所受的合外力；（3）根据牛顿运动定律，导出简谐振动的运动微分方程。一、弹簧振子的振动一端固定、质量可忽略、劲度系数为 K 的弹簧，在另一端固结一个质量为 m的物体，就构成一个弹簧振子。把它平放在光滑水平面上。 x

式中，是由系统自身性质决定的常量。二阶线性微分方程即为简谐运动的动力学方程。二、单摆的摆动

三、扭摆的摆动 具体运动形式不同，但有完全相同的数学方程式。任何物理量x（如长度、角度、电流等）的变化规律满足方程，且常量决定于系统本身的性质，则该物理量作简谐振动。

§2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程我们一般用来作讨论。 A 和是待定常数，需要根据初始条件来决定，它就是简谐振动的运动方程。下面简要分析简谐振动的三个特征量：周期（频率）、振振幅和初相，这三个量完全确定一个简谐振动。

● 周期 ● 振幅物体离开平衡位置最大位移的绝对值。它的大小决定于振动的初始状态。

● 初相 在 A 和已知的前提下，还有一个量是十分重要的，那就是，这个量叫相位。“相”即相貌的意思，在英文中是“phase”，意思是运动状态，也就是它的位置和速度。是注意：上式不能完全确定，有两个可能的值，还需根据和的正、负判断哪个值正确。二、简谐振动的图线和相轨迹时的相位，叫初相位，简称初相。

x/cm 4 2 0 1 [例题]质点作简谐振动的曲线如图所示，试根据图推出该质点的振动式。 [解]因，从图得 A = 4，下面计算和。据图有时，，代入振动式得 t/s 再由，在时，，从图判知，v > 0，即故在两值中，只能取。又据图有，代入振动式得

再由时， ，可知。故取于是求得质点的振动式为本题在计算过程中取的单位为 rad/s，t 的单位为 s ，的单位为 rad ，x 和A的单位为 cm。另一种描述运动状态的方法是利用相平面——坐标和速度构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹或相图。位置和速度的关系曲线就是它的相图

v v v o x 绝大多数非线性微分方程的解不可能写成解析形式，19世纪末，法国数学家、物理学家庞加莱（Poincare，1854~1912）另辟蹊径,发明了相图和拓扑学的方法。在相图当中失去的是和随时间变化的信息，得到的是有关动力学系统运动的全局信息。相图的描述方法是非线性动力学里最基本的方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。庞加莱所开拓的这一新领域称为微分方程的定性理论，至今有着深远的影响。简谐振动为简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于初始条件。

三、简谐振动的矢量表示法 现在讨论用旋转矢量的投影表示简谐振动。讨论振动合成等问题时，用这种方法很方便，如图所示 A为一长度保持不变的矢量，A的始点在x坐标轴的原点处，计时起点时，矢量与坐标轴夹角为，矢量 A以角速度逆时针匀速转动，因此，矢量 A在任一瞬时与 x轴夹角为，用 x 表示矢量在坐标轴上的投影，有可见，匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。 x x O

A O x 在描述振动的物理量中，要数相位较抽象，但相位的概念又是很重要的。利用了振幅矢量图，相位就被简单表示成 A对 x轴的角度，A的方向不同，就代表相位不同，因此，在振幅矢量图上要比较两个简谐振动的相位差就很方便。例如，对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：

N O y C C W W x [例题]一质量为 m，半径为 R的均匀细圆环悬挂在光滑支点上，由于某种原因圆环绕支点发生一小偏角，然后绕支点作往复摆动。求证细圆环作简谐振动，并写出它的运动学方程。 [解]以细环为研究对象，受力如图所示。当环心 C在 x轴上，力矩全为零，即为平衡位置。OC自Ox轴的偏角为，面对 z 轴逆时针为正，，可见环受到线性回复力矩的作用作简谐振动，其方程为，显然，当环逆时针摆至时，此刻开始计时，

注：1）若没有指定初始条件，常常选择使初相 的时刻为计时起点； 2）写出某系统的 SHM运动学方程时，应指明相应的坐标系及计时起点； 3）对于上题切不可认为细圆环起动时的摆角就是初位相。

§4 简谐振动的能量转换 作简谐振动的弹簧振子系统，在运动过程中，物体的速度和弹簧的长度都不断变化，因而物体的动能和弹簧的弹性势能也都在不断变化。

弹簧振子的简谐振动中的动能和势能相互转化，而总机械能守恒。没有外力对系统作功，又不计摩擦和弹簧中发热这类机械能的损耗，这是一个当然的结果。弹簧振子的简谐振动中的动能和势能相互转化，而总机械能守恒。没有外力对系统作功，又不计摩擦和弹簧中发热这类机械能的损耗，这是一个当然的结果。，振幅的大小反映了振动能量的大小即振动强度的大小，这就是振幅的物理意义！

§5 简谐振动的合成 关于简谐振动合成的结论是下一章讨论波的叠加的基础，也是讨论光的干涉和衍射时的依据，所以本节内容在波动现象的研讨中具有重要意义。一、方向相同，频率相同设两振动互不影响，则由运动的合成可知，质点的合成运动仍在这一直线上，它离开平衡位置的位移为现在利用旋转矢量法求出这个合成结果。

Q Q2 A A2 Q1 A1 x O 很容易分析：平行四边形在旋转中不变形，因而合矢量 A的长度不变且以同样的匀角速度旋转。所以x可写为时刻矢量 A与x轴的夹角。即 A1、A2两个矢量的合矢量在 x轴上的投影就是 x = x1+x2

合振幅的大小不仅和两个单独简谐振动（可称为为分振动）的振幅有关而且和它们的相位差有关。有关的这一项称为干涉项，这是一个非常重要的结果。举两个特例：合振幅的大小不仅和两个单独简谐振动（可称为为分振动）的振幅有关而且和它们的相位差有关。有关的这一项称为干涉项，这是一个非常重要的结果。举两个特例：（1）两分振动同相，即（2）两分振动反相，即这是合振幅最小的情形，振动减弱了。（3）两分振动的相位差为其它值时，合振动的振幅二、方向相同，频率不同

为了突出频率不同引起的效果，设 A1=A2=A，由旋转矢量图可知， A1、A2有不同的角速度，两矢量间夹角将随时间变化，矢量合成的平行四边形也将不断地随时间变形，所以A的大小和角速度都是随时间变化的，在 x轴上的投影显然不是简谐振动。 A1、A2夹角随时间而变。每当或的整数倍，合成振幅最大（ A1+A2），合成振动最强；每当的奇数倍，合成振幅最小（| A1-A2|），合成振动最弱，这样，频率不同的两个谐振动的合成振动时强时弱，那末，这种强弱变化是否有节奏？有这样一些时刻，其时即 A1和 A2 重叠，上式就是取A1 和 A2 重叠的时刻作为初始时刻，并把它们在这时刻同 x轴夹角记作，在这时刻，合成振幅最大，为确定起见，设，于是A2将赶到A1前面去， A2领先的角度越来越大，经过时间 A2领先半圈，这时，合成振幅最小，又经过 A2领先一圈，再次和A1重叠，这时，合成振幅最大。然后就重复以上过程。

振动强度有节奏地时强时弱，这种现象叫作拍（beat）。一次强弱变化叫作一拍，每秒钟的拍数叫作拍频。每一拍的时间是振动强度有节奏地时强时弱，这种现象叫作拍（beat）。一次强弱变化叫作一拍，每秒钟的拍数叫作拍频。每一拍的时间是即两个分振动频率之差。一种实际意义的情形：很接近，

随时间变化缓慢得多， 在经一段较短的时间内看，后者经历了多次周期变化，而前者则几乎没有变，可看作“准简谐振动”（quasi-SHM）。这是一种振幅有周期性变化的简谐振动，振幅的平方正比于振动能量，所以，这种振动具有周期性的强弱变化——拍，单位时间内振动加强或减弱的次数称为拍频，同前面所得结果完全一样！校正乐器，例如说校正钢琴，往往拿待校的钢琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个音键，细听有无拍的现象，如果听得出有拍的现象，说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到拍完全消失为止，这一音键才算校准。三、方向垂直，频率相同当一个质点同时参与相互垂直的两个 SHM 时，一般说来

合成振动十分复杂，且轨迹是不稳定的，但是当两分振动频率（或周期）成整数比时，其合振动才是稳定的。有规则的李萨如图形。现在考虑 。物体同时参与互相垂直的 x向和 y向的两个同频率的谐振动试求合成振动。这里说的合成振动并不是指 x + y，因为 x和 y是互相垂直的两方向上的偏离，它们是不能作代数相加的。事实上，物体既有 x方向的偏离又有 y方向的偏离，合成运动是在 xy平面上进行的。说到合成振动，我们所关心的是 xy平面上的轨迹，以及沿着轨迹怎样运动。其实，上式可说是轨迹的参数方程式，消去参数 t很容易得到轨迹方程式。不过，这里将采用另一方法即参考圆的方法

3 4 2 参考圆C1 1 5 x 8 6 7 7 8 参考圆C2 6 1 5 x 2 4 3 来研究合成振动。适当地选定初始时刻可使上式里的。选取的情况为例，此时上式成为如图，谐振动 x可用参考圆C1上的匀速运动描写，为了画面的清晰，参考圆的圆心没有放在坐标原点 O，而是分别移到 y轴上某个 O1点和 x 轴上的某个 O2点。

周相差 为其他数值的情况完全可以仿照上面的办法求得合成振动，下图给出某些结果。光是一种电磁波，如果光波里的电场强度作椭圆振动，就叫作椭圆偏振光，根据以上讨论，椭圆偏振光可以分解为电场强度沿 x方向作谐振动和沿 y方向作谐振动的两个成分，这两个成分各叫作平面偏振光。

B A C l1 l2 y D x 四、方向垂直，频率不同在水平横杆的 A和 B两点各系一轻线，两线在 C点合并，下挂一小球。小球的 x 向摆动是以l1为摆长，y向的摆动则是以 l2为摆长，这样，小球在 x向和 y向的摆动频率不相同。物体同时参与互相垂直的 x向和 y向的频率不同的两个谐振动这里也用参考圆的方法来研究合成振动。合成的轨迹与频率之比和两者的相位都有关系，图形一般较为复杂，很难用数学式子表达，当两者

的频率成整数比时，轨迹是闭合的，运动是周期性的。这种图形叫李萨如图形（Lissajou’s figures）。 §6 振动的分解一般说来，实际振动不一定是简谐振动，而是比较复杂的振动。与振动的合成相反，任一复杂振动都可分解为许多简谐振动的叠加。确定任一振动所包含的各种简谐振动的频率和振幅称为频谱分析。对振动的频谱分析是研究机械振动和电磁振动的重要手段之一。一方面我们可以在实验室中利用示波器、分光计、摄谱仪等分析振动的频谱，另一方面人们也在数学上建立了傅里叶变换，能从理论上提供计算一个复杂振动频谱的方法，而且可借助计算机来完成。

y y A O O t t O 1 3 5 例如，任何一个具有周期性的振动都可以分解为一系列简谐振动的叠加，这些简谐振动的频率等于该周期振动频率的整数倍。其中 v0称为基频，2v0，3v0，…称2倍频、3倍频等等。由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。图（a）是一个具体例子，图中实线所代表的周期性振动可分解为基频和3倍频的两个简谐振动的叠加。而图（b）则是一种“方波”振动信号，它所包含的简谐振动成分就多了，这里用竖直线段在横坐标上的位置代表所包含简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅，该图称为振动频谱图。 v/v0 图（a）图（b）图（c）

图（b） 图（a）对于非周期性振动，一般可分解为频率在某一区域内取连续值的简谐振动叠加。其频谱呈连续谱，并以某一频率为中心，且有最大振幅，大于或小于此频率的振幅则相对较弱。通常将振幅减半在频率轴上所对应的区间称为振动的频宽。图（a）代表一个在时间上很短暂的振动，显然这是非周期性振动，而图（b）则是它的频谱响应的大致情形。

从数学上讲，任何形式的周期振动都可通过傅里叶级数分解从数学上讲，任何形式的周期振动都可通过傅里叶级数分解成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和；而非周期振动可通过傅里叶积分把它展成无数个频率连续分布的谐振动。 §7 阻尼振动简谐振动是一种等幅振动，它是不计阻力作用的理想情况。实际上，振动系统总要受到各种阻力，系统在振动中要克服阻力做功并消耗自身能量。因此，如果没有能量补充，振动的振幅就要衰减。系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动称为阻尼振动。

系统能量的消耗，一方面是由于系统与外界或系统内部的摩擦使振动能量转变为热能，另一方面也由于振动向外传播，以波的形式向周围辐射能量。这两种情况分别称摩擦阻尼和辐射阻尼，通常为简单起见，可把辐射阻尼当作摩擦阻尼处理，即认为振动物体受到一个较大的阻力。系统能量的消耗，一方面是由于系统与外界或系统内部的摩擦使振动能量转变为热能，另一方面也由于振动向外传播，以波的形式向周围辐射能量。这两种情况分别称摩擦阻尼和辐射阻尼，通常为简单起见，可把辐射阻尼当作摩擦阻尼处理，即认为振动物体受到一个较大的阻力。在物体振动速度不大时，它所受到的阻力大小通常与速率成正比。是对应无阻尼时系统振动的固有圆频率，称为阻尼系数。可用试探法求得解为：

初始振幅 A与初始相位是两个积分常数。 一、欠阻尼状态条件：，上解有意义，它描写一种振动，振幅随时间而衰减，其“圆频率” 从降到，其“周期”相应地拉长，因振幅不断减小，已经不是严格意义下的周期运动，所以“圆频率”、“周期”等词加上引号。为量度振幅衰减的快慢，通过引用某个时刻的 x值与一个“周期” T之后的 x值之比的对数表示，称为对数减缩。越大，T 也较大，即越大，振动衰减得越快。二、临界阻尼状态条件：，“周期” 即振

x 临界阻尼过阻尼 O t 欠阻尼动的特点完全消失。事实上，虽然回复力使物体向平衡位置移动，但由于阻尼太强，向平衡位置移动并不能加速，反而减速，所以只能逐渐逼近平衡位置，不可能越过平衡位置，也就不能振动。三、过阻尼状态条件： “圆频率” 为虚数，“周期” T也为虚数，即根本不发生振动，而且逼近平衡位置比临界阻尼来得更慢。

如果希望系统在较长的一段时间内保持振动，那就应使阻尼因子 小，例如，傅科摆必须维持较长时间的摆动，才能够显示出地球的自转，为此应使小。因为摆球横截面（摆球半径）2，而摆球体积（摆球半径）3，所以摆球半径，这是说，傅科摆的摆球要做得大一些，并且最好用密度比较大的材料制做。如果并不希望系统长时间振动，那就应使阻尼因子适当大一些，最好是临界阻尼。例如，天平的指针老是摆动不停，或者万用电表的指针老是摆动不停，读取读数就太花时间了。这就应加进适当的阻尼。在临界阻尼的情况下，指针较快地逼近正确的读数。在过阻尼的情况下，指针也逼近正确的读数，但比临界阻尼慢。

§8 受迫振动 上面讨论的是给振动系统一个初始偏离或初始速度，总之，是供给它一定的初始能量，后来就不再管它，不再向它提供能量。如果没有损耗，振动系统保持着它的初始能量不变，即保持不变的振幅，这是谐振动。如果有损耗，振动系统不能保持它的初始能量，即振幅随时间而衰减，这是阻尼振动。这些统称为自由振动。但是，在不少振动系统的振动过程中，始终有外力作用，对它作功，同它交换能量。振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动。一、受迫振动的动力学方程质点受三种力：弹性力，阻尼力，周期性外力（策动力）

二、受迫振动的运动特征 根据微分方程的理论，上面方程的解为第一项为暂态项。过渡阶段，是阻尼振动，最终消失；第二项为稳定项。是指过渡阶段已结束，初始能量造成的振动已经消失，强迫力造成的另一振动，从零开始，逐渐增强，最后达到一定的稳定振动状态。

我们主要关心的就是对应于稳定振动的那一部分解答。我们主要关心的就是对应于稳定振动的那一部分解答。将代入动力学方程，得恒等式等式双方的系数应分别相等，即可解出

三、位移共振 振幅 A0是的函数，其图象大致如图所示。强迫力的圆频率太高或太低，振幅 A都比较小，运用求函数极值的方法，当时，A0最大。这一频率称为位移共振频率。

电子技术是把外来作用称为“激励”，它所产生的效果叫“响应”。若外来信号的频率小于 或大于，这种弱信号所引起的振动将会被最强的信号掩盖，或者说“不允许通过”。反之，如果频率在与之间，那末就总能引起最强的振动，因此被认为是“允许通过”。由此产生了“通频带”的概念。与对应的频率范围叫做频带宽度，它通常用来标志系统的选择性好坏。

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