中考数学专题探究
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中考数学专题探究. 第九讲 操作性问题 主 讲 潘 诚 单 位 苏州立达学校. 九、操作性问题. 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运 用恰当的猜想与推理探求问题实质,并从中发现和认知规律。 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。 其问题的特征:根据问题的条件从简单(或特殊)到一 般的情形进行操作实验,通过画、割、拼及量等实验活动, 运用平移、旋转和翻折等数学变换,寻求合理的解决方案, 以达到解决具体的问题。

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中考数学专题探究

第九讲 操作性问题

主 讲 潘 诚

单 位 苏州立达学校


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九、操作性问题

  • 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运

  • 用恰当的猜想与推理探求问题实质,并从中发现和认知规律。

  • 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。

  • 其问题的特征:根据问题的条件从简单(或特殊)到一

  • 般的情形进行操作实验,通过画、割、拼及量等实验活动,

  • 运用平移、旋转和翻折等数学变换,寻求合理的解决方案,

  • 以达到解决具体的问题。

  • 操作性问题既考查学生观察、动手实践能力,同时也检测了学生的分析、归纳和猜想能力,它符合新课程标准的要求,是中考命题的一个方向。


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  • 典型例题导析

  • 例1 ⑴ (广东梅州)如图,将一副直角三角板叠在一起,使直角顶点重合于O点,则 ∠AOB+∠DOC=度。


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  • 解:∵∠AOB=∠AOD+∠COD+∠BOC

  • ∴∠AOB+∠COD=(∠AOD+∠COD)+(∠BOC+∠COD)

  • =90°+90°

  • =180°


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  • (湖南湘潭)如图,将一副三角板摆放成如图所示,

  • 图中 ∠1=度。


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  • 解:∠1=180°-60°=120°


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  • (河南)如图,一块含有30°角的直角三角形ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 的位置。若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为

  • ( )

  • A. 10 cm B. 10 cm C. 15 cm D.20 cm


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  • 解:∵∠A=30°,BC=15

  • ∴∠ACB=60°

  • , AC=30

  • ∴ 选(D)


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  • (湖北荆门)将一副三角尺如图摆放在一起,连结AD,试求 ∠ADB的余切值.


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  • 解:过点A作DB延长线的垂线AE,垂足为E.

  • 在等腰Rt△BDC中,∠1=45°,设BD=DC=k,则BC= k

  • 在Rt△ABC中,∠4=30°,

  • 则AB=BC·tan30°= k·

  • 在Rt△AEB中,∠2=180°-(∠1+∠3)=180°-(90°+45°)=45°

  • 则EB=EA=AB·sin45°=

  • 在Rt△DEA,DE=BD+EB=


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  • (上海)将两块三角板如图放置,

  • 其中∠C= ∠ EDB=90° ,∠A=45°,∠E=30°,AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积。


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  • 解:∵∠A=45°,AB=6,

  • ∴AC=BC=ABsin45°=6·

  • S△ABC= ·AC·BC=9.

  • 在Rt△EDB中,∵∠E=30°,DE=6,

  • ∴DB=DE·tan30°=6· =2

  • ∴AD=AB-DB=6-


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  • ∵∠EDB=90°,∠A=45°

  • ∴△ADF是等腰直角三角形.

  • ∴AD=DF=6-2 ,

  • ∴S△ADF= ·AD·DF

  • = ·(6- )·(6- )

  • =24-12

  • ∴S四边形DBCF=S△ABC-S△ADF=9-(24-12 )

  • =12


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  • 2. (济宁课改)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下:

  • 请你用上面图示的方法,解答下列问题:

  • (1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.


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  • 2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.


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  • 2)如图所示:


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  • 3.(浙江嘉兴课改)现有一张矩形纸片ABCD(如图),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点.实施操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在梯形AECD内,记为点 .

  • (1)请用尺规,在图中作出 (保留作图痕迹);

  • (2)试求 两点之间的距离.


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  • 解:(1)可以从 关于AE对称来作,也可以从

  • △ABE≌△ 来作;

  • (2)B, 关于AE对称,∴B AE,设垂足为F,

  •    ∵AB=4, BC=6,E是BC的中点,   ∴BE=3,AE=5,BF= .∴B = .

  • ∵B =BE=CE,∴ ∠B C=90°.

  • ∴, C两点之间的距离为 cm


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  • 4.(河北省)如图-1,△ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC;△EFP的边FP也在

  • 直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.

  • (1)在图-1中,请你通过观察、

  • 测量,猜想并写出AB与AP所满足的

  • 数量关系和位置关系;

  • (2)将△EFP沿直线l向左平移到图-2

  • 的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,

  • BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量

  • 关系和位置关系,请证明你的猜想;


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  • 3)将 △EFP沿直线l向左平移到图-3的位置时,EP的延长

  • 线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为(2)中所猜

  • 想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?

  • 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.


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  • :(1)AB=AP;ABAP.

  • (2)BQ=AP;BQAP.

  • 证明:①由已知,得EF=FP,EFFP,∴∠EPF=45°.

  • 又∵ACBC,∴∠CQP=∠CPQ=45°.∴CQ=CP.

  • 在Rt△BCQ和Rt△ACP中,

  • BC=AC,∠BCQ=∠ACP=90°,CQ=CP,

  • ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴BQ=AP.

  • ②如图1,延长BQ交AP于点M.

  • ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴∠1=∠2.

  • 在Rt△BCQ中,∠1+∠3=90°,又∠3=∠4,

  • ∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°.

  • ∴∠QMA=90°.∴BQAP.

  • (3)成立.


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  • 3)成立.

  • 证明:①如图2,∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°.

  • 又 ∵ACBC,∴∠CQP=∠CPQ=45°.∴CQ=CP.

  • 在Rt△BCQ和Rt△ACP中,

  • BC=AC,∠BCQ=∠ACP=90°,CQ=CP,

  • ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP.

  • ∴BQ=AP.

  • ②如图2,延长QB交AP于点N,

  • 则∠PBN=∠CBQ.

  • ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴∠BQC=∠APC.

  • 在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°,

  • ∴∠APC+∠PBN=90°.∴∠PNB=90° ∴QBAP


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  • 5.(上海)操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形

  • ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的

  • 一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.

  • 探究:设A、P两点间的距离为x

  • ⑴当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论;

  • ⑵当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的关系式,并写出x的取值范围;


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  • ⑶当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同,图1供操作、实验用,图2、图3备用)


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  • 解析:

  • ⑴PQ=PB,作PTBC于T,PNCD于N,

  • 可证得 △PBT≌△PQN;

  • ⑵由⑴△PBT≌△PQN,∴S△PBT=S△PQN

  • ∴S四边形PBCQ=S四边形PTCN

  • ∵PA=x, AC=∴PC=-x, PT=PN=

  • ∴y=


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  • ⑶ ①当点P与点A重合时,点Q与点D重合,这时PQ=QC,

  • 此时x=0。

  • ②当点Q在DC的延长线上,且CP=CQ时,

  • 这时x=1,

  • 过点P作PMAB于M,MP的延长线交CD于N,

  • 可得 △PMB≌△QNP,∵PA=x,∴QN=PM=

  • ∴PN=CN=1- x ,而CP=


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  • CQ=QN-CN=x-(1- x)=

  • 由PC=CQ,∴ 得x=1。

  • ∴当x=1时,△PCQ是等腰三角形

  • 综上所述:当x=0或x=1时,△PCQ是等腰三角形。



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