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中考数学专题探究

中考数学专题探究. 第九讲 操作性问题 主 讲 潘 诚 单 位 苏州立达学校. 九、操作性问题. 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运 用恰当的猜想与推理探求问题实质，并从中发现和认知规律。 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。 其问题的特征：根据问题的条件从简单（或特殊）到一 般的情形进行操作实验，通过画、割、拼及量等实验活动， 运用平移、旋转和翻折等数学变换，寻求合理的解决方案， 以达到解决具体的问题。

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中考数学专题探究

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Presentation Transcript

  1. 中考数学专题探究 第九讲 操作性问题 主 讲 潘 诚 单 位 苏州立达学校

  2. 九、操作性问题 • 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运 • 用恰当的猜想与推理探求问题实质，并从中发现和认知规律。 • 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。 • 其问题的特征：根据问题的条件从简单（或特殊）到一 • 般的情形进行操作实验，通过画、割、拼及量等实验活动， • 运用平移、旋转和翻折等数学变换，寻求合理的解决方案， • 以达到解决具体的问题。 • 操作性问题既考查学生观察、动手实践能力，同时也检测了学生的分析、归纳和猜想能力，它符合新课程标准的要求，是中考命题的一个方向。

  3. 典型例题导析 • 例1 ⑴ (广东梅州)如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O点，则 ∠AOB+∠DOC＝度。

  4. 解：∵∠AOB＝∠AOD+∠COD＋∠BOC • ∴∠AOB+∠COD=(∠AOD+∠COD)+(∠BOC+∠COD) • ＝90°＋90° • ＝180°

  5. ⑵(湖南湘潭)如图，将一副三角板摆放成如图所示，⑵(湖南湘潭)如图，将一副三角板摆放成如图所示， • 图中 ∠1＝度。

  6. 解：∠1＝180°－60°＝120°

  7. ⑶（河南）如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 的位置。若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 • （ ） • A. 10 cm B. 10 cm C. 15 cm D.20 cm

  8. 解：∵∠A＝30°，BC＝15 • ∴∠ACB=60° • ， AC=30 • ∴ • ∴ 选（D）

  9. ⑷（湖北荆门）将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求 ∠ADB的余切值.

  10. 解：过点A作DB延长线的垂线AE，垂足为E. • 在等腰Rt△BDC中，∠1=45°，设BD=DC=k，则BC＝ k • 在Rt△ABC中，∠4＝30°， • 则AB＝BC·tan30°＝ k· • 在Rt△AEB中，∠2＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－（90°＋45°）＝45° • 则EB=EA=AB·sin45°＝ • 在Rt△DEA，DE=BD+EB=

  11. 则cot∠ADB

  12. ⑸（上海）将两块三角板如图放置， • 其中∠C＝ ∠ EDB=90° ，∠A＝45°，∠E＝30°，AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积。

  13. 解：∵∠A＝45°，AB=6, • ∴AC=BC=ABsin45°＝6· • S△ABC＝ ·AC·BC＝9. • 在Rt△EDB中，∵∠E=30°，DE＝6， • ∴DB=DE·tan30°＝6· ＝2 • ∴AD=AB－DB=6－

  14. ∵∠EDB=90°，∠A＝45° • ∴△ADF是等腰直角三角形. • ∴AD=DF＝6－2 ， • ∴S△ADF= ·AD·DF • ＝ ·（6－ ）·（6－ ） • ＝24－12 • ∴S四边形DBCF=S△ABC－S△ADF=9－（24－12 ） • ＝12

  15. 例2. （济宁课改）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下： • 请你用上面图示的方法，解答下列问题： • （1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．

  16. （2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

  17. 解答： • （1）如图所示：

  18. （2）如图所示：

  19. 例3.（浙江嘉兴课改)现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm,点E是BC的中点．实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点 ． • （1）请用尺规，在图中作出 （保留作图痕迹）； • （2）试求 两点之间的距离．

  20. 解：（1）可以从 关于AE对称来作，也可以从 • △ABE≌△ 来作； • （2）B, 关于AE对称，∴B AE，设垂足为F， • 　　 ∵AB=4, BC=6，E是BC的中点，　　 ∴BE=3,AE=5,BF= ．∴B = ． • ∵B =BE=CE，∴ ∠B C=90°． • ∴, C两点之间的距离为 cm

  21. 例4.（河北省）如图-1，△ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；△EFP的边FP也在例4.（河北省）如图-1，△ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；△EFP的边FP也在 • 直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP． • （1）在图-1中，请你通过观察、 • 测量，猜想并写出AB与AP所满足的 • 数量关系和位置关系； • （2）将△EFP沿直线l向左平移到图-2 • 的位置时，EP交AC于点Q，连结AP， • BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量 • 关系和位置关系，请证明你的猜想；

  22. （3）将 △EFP沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长 • 线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜 • 想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？ • 若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

  23. 解：（1）AB=AP；ABAP． • （2）BQ=AP；BQAP． • 证明：①由已知，得EF=FP，EFFP，∴∠EPF=45°． • 又∵ACBC，∴∠CQP=∠CPQ=45°．∴CQ=CP． • 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， • BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP， • ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴BQ=AP． • ②如图1，延长BQ交AP于点M． • ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠1=∠2． • 在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4， • ∴∠2＋∠4=∠1+∠3=90°． • ∴∠QMA=90°．∴BQAP． • （3）成立．

  24. （3）成立． • 证明：①如图2，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°． • 又 ∵ACBC，∴∠CQP=∠CPQ=45°．∴CQ=CP． • 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， • BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP， • ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP． • ∴BQ=AP． • ②如图2，延长QB交AP于点N， • 则∠PBN=∠CBQ． • ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC． • 在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°， • ∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90° ∴QBAP

  25. 例5.（上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形例5.（上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形 • ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的 • 一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q. • 探究：设A、P两点间的距离为x • ⑴当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； • ⑵当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；

  26. ⑶当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用）⑶当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用）

  27. 解析： • ⑴PQ=PB,作PTBC于T，PNCD于N， • 可证得 △PBT≌△PQN； • ⑵由⑴△PBT≌△PQN，∴S△PBT=S△PQN • ∴S四边形PBCQ=S四边形PTCN • ∵PA=x， AC=∴PC=－x, PT=PN= • ∴y＝

  28. ⑶ ①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC， • 此时x＝0。 • ②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时， • 这时x＝1， • 过点P作PMAB于M，MP的延长线交CD于N， • 可得 △PMB≌△QNP，∵PA=x，∴QN＝PM＝ • ∴PN=CN＝1－ x ,而CP=

  29. ∵CQ=QN－CN=x－（1－ x）＝ • 由PC=CQ，∴ 得x＝1。 • ∴当x=1时，△PCQ是等腰三角形 • 综上所述：当x＝0或x＝1时，△PCQ是等腰三角形。

  30. 谢 谢

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