[ 例 7-1] 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x

1. [例7-1] 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x q a x q 处的电场。 已知： 、 、 。 d a p x

2. q d d E . y a x z d E 当dq位置发生变化时，它所激发的电场 矢量构成了一个圆锥面。 E E 所以，由对称性 0 = = y z

3.    cos d E θ q q q x 1 q d ε π 4 r 3 0 [例7-1] 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x q a x q 处的电场。 已知： 、 、 。 d y q 1 d d E d E = ε a π 4 r 2 p 0 E E 由对称性 0 = = x y z x d E E E z = = x q x 1 d = = ε π 4 r r 2 0 q q x x = = ε 3 π ( ) 4 ε r a 2 2 3 π + 4 x 2 0 0

4. 8 q q [例 ]已知： 4.0 1 0 = = C ， × 1 2 8 r q 0.10 m 1.0 1 0 试求：将电荷 = = C ， × 0 q 从a点 移到 b点静电场力所作的功。 0 q q q 1 2 0 U U U 0 = + = q q a 1 2 r r r a b q q q 1 q ( ) 1 2 1 U = + = + ε ε ε 2 π π π b r r 3 4 3 r 4 4 o o o 1 4.0 8 9 9 10 ( 4.0 ) 10 = × × × 3 0.1 3 3 U U = 2.46 10 (v) = 2.46 10 (v) , × × a b q ( ) 5 A U = U = 2.46 10 (J) × ab a b 0

5. q x q d E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x r 2 0 a q x dx 8 UP =  P ( ) ε x a 2 2 3 π + 4 x 2 x 0 q = ε π 4 2 2 1 ( x R ) 2 + o [例 7-2]求一均匀带电圆环轴线上一点的 电势。已知： q，R，x。 解：方法一，利用电场分布求电势

6. q q d d d U = ε r π 4 r a o P x q = 1 ε π 4 2 2 1  q ( x R ) U = 2 d + ε π 4 r o P o [例 7-2]求一均匀带电圆环轴线上一点的 电势。已知： q，R，x。 解：方法二，利用电势迭加公式

7. r R 1. < . . .    = = E d l E d l E d l U + q 内 外 q 8 +  d r + 0 = ε + π 4 r + 2 R q R o = + + ε π 4 R o + + r R 2. + > q q . 8 8   = = = E d r d r U ε ε π 4 π 4 r r 2 r 外 r o o [例 ]求一均匀带电球面的电势。 已知：q，R 。

8. E 1 8 r 2 r R O 场强分布曲线 U 1 8 r r R O 电势分布曲线 结论：对于均匀 带电球面 (1) 球内的电势等于球表面的电势； (2) 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。

9. P r2 r1 r r2-r1 θ o - + -q +q a 例7-3 试求电偶极子的电势分布及在电场中的电势能。 解：U = (1/4o)(q/r1-q/r2) = q(r2-r1) /4or1r2  若 r >> a， 令 r2 - r1 ≈ acosθ， 而 r1r2 ≈ r2 U ≈ qacosθ/4πεo r 2 = pe cosθ/4πεo r 2 其中pe= qa，所以电偶极子的电势与 r2 成反比，不同于点电荷的电势与 r 成反比。

10. 若电偶极子放在电场中，设 + q、- q 所处的电势为 U 和 U’，则电偶极子的电势能： EP = q U- q U′ = - q a [ - ( U - U’ ) / a] 由于 a 很小，所以 - ( U - U’ ) / a 表示电场 E在 a方向上的分量 Ea，因此 EP = - q a Ea EP = - pe·E

11. D D σ 例7-4 试求无限大均匀带电平面的电场 解：设电荷面密度为σ，由对称性可知两侧距平面等远的点场强大小一样，方向处处与平面垂直，并指向两侧。 根据场强分布的这个特点，我们把高斯面取成如图所示的形式。 高斯面 设两底面分别为 S1 和 S2 (S1= S2 = ΔS ) ，柱体侧面为 S3 。 S3 S2 S1

12. D D σ 通过高斯面的电通量： ∮D·dS =∫S1D·dS +∫S2D·dS +∫S3D·dS = D S1+ D S2 + 0 = 2DΔS Σ(S内) qo = σΔS 高斯定理： ∮D·dS = Σ(S内) qo 即： 2DΔS =σΔS 从而求得： D =σ/ 2 高斯面 S3 S2 S1

13. E E E E +σ -σ 因此电场强度的大小为 E =σ/ 2εo (真空中) E =σ/ 2ε (无限大均匀电介质中) 上式表明场强 E 与平面到场点的距离无关。对于均匀带负电的无限大平面上式也成立，只是场强方向相反，从两侧指向平面。

14. D ε2 + + + + q ε1 + + r R + + + + + + + + + + 例7-5 试求均匀带电球面的电场和电势分布。设球面带电总量为 q > 0，半径为 R，球面内外充满均匀电介质，其介电系数分别为 ε1 和ε2。 高斯面 解：根据电荷分布的对称性，可知同心球面上各点场强的大小均相同，方向沿半径向外呈辐射状。 取同心球面为高斯面。

15. 高斯面 D ε2 + + + + q ε1 + + r R + + + + + + + + + + 一、电场 1、在球面内(r < R ) ∮D·dS =∮DdS=4πr2 D Σ(S内) qo = 0 根据高斯定理： ∮D·dS =Σ(S内) qo 4πr2 D = 0  D = 0 由此可得场强分布： E = 0 ro( r < R ) 表面均匀带电球面内部空间的场强处处为零。

16. + + D + + + + R r + + + q + + + + + + 高斯面 2、在球面外(r >R) ∮D·dS=∮DdS=4πr2D Σ(S内) qo = q 根据高斯定理： ∮D·dS =Σ(S内) qo 4πr2D = qD = q/4πr2 由此可得场强分布： E = q / 4πε2 r2 ro( r > R ) 表明均匀带电球面在外部空间产生的电场，与其电荷全部集中在球心时产生的电场一样。

17. E 1 q r 2 ε π 4 R 2 r 2 0 R 均匀带电球面电场分布： E = 0 ro( r < R ) E = q / 4πε2 r2 ro( r > R ) 场强的大小随半径 r 的变化情况见下图。可以看出，场强在球面上 ( r = R )的数值有个跃变。

18. η 高 斯 面 r l D 例7-6 试求均匀带电的无限长细棒的电场和电势分布，设棒上线电荷密度为 η > 0，周围为真空。 解：一、电场 根据轴对称性，即在任何垂直于棒的平面内同心圆周上场强的大小都一样。场强的方向与棒垂直呈辐射状(见图)。 取同轴圆柱面及两底面为高斯面。

19. η 高 斯 面 r l D Φe =∮D · dS =∫侧面D·dS+∫上底D·dS+∫下底 D·dS 上、下底面上 D⊥dS， 所以最后两项为 0； 在侧面上D与dS方向相同 ， 故：Φe =∫侧面 D·dS = 2πr l D  Σ(S内) qo = ηl 根据高斯定理： 2πr l D = ηl D =η/ 2πr 故场强分布为 E =η/ 2πεo r ro

20. Q1 Q2 σ . σ σ σ 1 2 3 4 a E E E E 2 3 4 1 σ σ σ σ a 1 2 3 4 点： 0 = ε ε ε ε 2 2 2 2 o o o o 例7-7 已知两金属板带电分别为 Q1，Q2。 求：σ1 , σ2， σ3 ， σ4

21. Q1 Q2 σ . σ σ σ 1 2 3 4 . a b E E E E 4 1 2 3 σ σ σ σ a 1 2 3 4 点： 0 = ε ε ε ε 2 2 2 2 o o o o σ σ σ σ b 1 2 3 4 点： + + 0 = ε ε ε ε 2 2 2 2 o o o o 例7-7 已知两金属板带电分别为 Q1，Q2。 求：σ1 , σ2， σ3 ， σ4

22. σ σ Q S S + = 1 2 1 σ σ Q S S + = 3 4 2 Q Q + σ σ 2 1 = = σ σ σ σ 1 4 2 S 1 2 3 4 0 = ε ε ε ε 2 2 2 2 Q Q o o o o σ σ σ σ σ σ 2 1 = = 1 2 3 4 + + 2 S 0 2 3 = ε ε ε ε 2 2 2 2 o o o o 解得：

23. 0 0 0 0 ++++++++ -------- ++++++++ ++++++++ Q Q Q Q - S S S S 再讨论几种特殊情况： (1) 若 Q1 = - Q2 = Q， 则σ1 =σ4 = 0， σ2 = -σ3 = Q / S； (2) 若 Q1 = Q2 = Q， 则σ1 =σ4 = Q / S， σ2 = -σ3 = 0；

24. - 0 0 Q1 Q1 - S S Q Q Q Q -------- ++++++++ +++ + +++ + --- - +++ + 2S 2S 2S 2S (3) 若 Q2 = 0， 则 σ1 =σ4= Q / 2S， σ2 = -σ3 = Q / 2S； (4) 若 Q1 ≠ Q2，但 B 板接地。此时 B 板上电荷守恒条件不满足了，但 B 板电势为零，则 B 板右侧上应没有电荷分布，只在与 A 板相对的一面( 左侧 )保留与 A 板等量异号电荷，见右下图。

25. 高斯面 σ + + + + + + + σ ε d D σ + + + + + + 例：无限大平行平面所构成的电容器 介质中的电位移和电场分别为： D = σ ， E = σ/ε 两平面导体之间的电势差为： U1 - U2 = Ed = σd /ε 如果 S 是金属片的面积，可得 Q = σS。 则平板电容为： C = Q /( U1 - U2 ) =σS /σd /ε C =εS / d

26. Q B Q + A ε R A 0 R B 例7-8 试求同心球形电容器的电容 ( 介质为真空 ) 解：两导体之间的电场为 E = Q / 4πεo r2ro 电极 A、B 之间电势差为 UA - UB =∫ABE · d l =∫RARBQ/4πεor2dr = Q(RB-RA)/4πεoRARB  电容：C = Q / (UA - UB ) = 4πεo RARB / ( RB - RA ) 若 RB→∞，则 C = 4πεo RA，即为孤立导体球的电容。

27. [ 练习 ] 一平行板电容器，其中填充了一 层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为 ε 。 r 1. 用高斯定理求： 2. 求： , , , ； D D E E 1 2 1 2 ； ； U U U U A A B B 3. 求此电容器之电容。 σ + + + + + + A ε E D d 1 1 1 0 C ε E D d r 2 2 2 B σ

28. A σ + + + + + + + + + ε S d 1 0 D C 1 ε d r 2 σ B . . . .     = d S d S d S d S D D + D + D s s 上 下 侧 σ 0 S 0 S = + D + = 1 D σ E D = = ε 1 1 0

29. A σ + + + + + + + + + ε d 1 0 C ε d D r 2 2 S σ B . . . .     = d S d S d S d S D D + D + D s s 上 下 侧 2 .  σ o 0 d S cos180 0 S S = + D + = D = 上 2 2 D σ E D = = ε ε 2 2 r 0

30. C B . .   E d l + E d l U U = A B 1 2 A C σ σ C B   d l + d l = ε ε ε r A C 0 0 σ σ + d d = ε ε ε 1 2 r 0 0 σ + σ S + + + + + C = A U U ε E D d A B 1 1 1 0 C ε S ε E D d 0 = r 2 2 d 2 B d + 2 ε σ 1 r

31. ε Q + + + + + + + + R + + + 例7-9 试证明半径为 R，带电量为 Q 的球形导体在无限大介质中 ( 介电常数为ε)的电场能量为 Ee=∫εE2 dV/ 2 = Q2 / 8πεR 。 证明：球形导体的电荷均匀分布在球体表 面上，其电场分布为 E = 0 ( r < R ) E = Q / 4πεr2 ( r  R ) 在球体内：电场能量为零 ( 因为 E = 0 )；

32. ε Q + + + + + r + + dr R + + + 在球体外：半径为 r，厚度为 dr 的薄层球壳中的能量为 dEe =  E2 dV/ 2 =  (Q/4r2) 24r2dr/2 = ( Q2 / 8   r2 )dr 因此，球形导体的电场能量为 Ee =∫dEe =∫R∞ ( Q2 / 8   r2 )dr = Q2 / 8   R 根据电场在空间的分布，然而计算出空间中的总电场能量 Ee ，则可利用 C = Q2 / 2Ee式来计算出电容器的电容值 ，这是计算电容的另一种方法。

33. 例7-10 电子半径的估计 解：为了简化我们的计算起见，我们假定电子是一个半径为 r 的实心球体，带有电荷 -e，同时只是表面带电。 利用例 7-9 的结果，电子的电场能量 (介质为真空 )为： Ee = Q2 / 8  o r 将这些能量看作是电子的静能 mec2，即： Q2 / 8  o r = mec2 因此，可求出电子的半径为： r = ( 1/2 )( e2/ 4  o mec2 )

34. 但是如果我们对电子的电荷分布采取不同的模型，我们就会得到一个不同的数字因子，而不一定是 1/2。由于这一原因，习惯上就将 re = e2/ 4  o mec2 = 2.8178×10-15m 作为电子半径的定义。 我们说这个半径不能被严格地当作是几何意义上的半径，而只是电子“集中”区域的大小的估计而已。

35. 7-1 在真空中一长为 L 的细棒，棒上均匀分布着电荷，其电荷线密度为 +。在棒的延长线上，距棒的一端距离为 d 的一点上，有一电量为 +qo 的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。 dx x qo o E x d L • 解：dq = dx， • dE =dx/4O(d+x)2 • 细棒在qo处电场为： • E= dE=oL dx /4O(d +x)2=L/4Od(d+L) • qo所受的电场力: F=Eqo=qoL/4Od(d+L) • 方向为水平向左。

36. 7-2 一由细绳悬吊着，环的外半径为 R，内半径的 R/2，并有电量 Q 均匀分布在环面上，细绳长 3R，也有电量 Q 均匀分布在细绳上，试求圆环中心 O 处的电场强度 ( 圆环中心在细绳延长线上 ) 3R R o R/2 • 解：根据对称性，环形薄片带电体对中心 O 处的电场为零，故 O 处的电场由细绳带电体决定。由 例 9-2得 ( 其中 =Q/3R, L = 3R，d = R ) • EO =L/4Od(d+L) • =Q/4OR(R+3R)=Q/16OR2

37. [例2]求一均匀带电直线在 O点的电场。 q a θ θ 已知： 、 、 、 。 y 1 2 d E 解题步骤： θ q 1. 选电荷元 l d = d x λ 0 2. 确定 的方向 d E a θ r θ 2 3. 确定 的大小 d E θ 1 1 l d λ d E = ε l l d π 4 r 2 0 4. 建立坐标，将 dE 投影到坐标轴上 cos sin d E = d E d E d E θ θ = x y 1 l d λ = cos d E θ ε π 4 r x 2 0

38. 5. 选择积分变量 θ 选 作为积分变量 y d E l a tg = a θ x a tg a = l 0 π a a = tg ( ) θ a a 2 r θ θ θ a = ctg θ 2 1 l l d 2 a = csc d l d θ θ 2 2 2 2 2 2 ctg a a a r = + + l = θ 2 2 a csc = θ

39. y d E θ x 0 a a a r 1 l d λ θ θ d E = cos θ θ x ε 2 π 4 r 2 1 0 2 1 csc cos d l l a d λ θ θ θ = ε π 4 2 csc a θ 2 0 λ θ E 2 =  cos d θ θ ε x π 4 a θ 0 1 λ ( sin sin ) = θ θ ε π 4 a 1 2 0

40. λ λ 2 ε a π 0 ( sin sin ) E = θ θ ε 4 a x π 1 2 0 λ θ E 2 =  sin d θ θ ε y π 4 a θ 0 1 λ ( cos cos ) = θ θ ε π 4 a 2 1 0 θ 0 ， 8 当直线长度 L ， { 1 θ π = 0 E 2 ， x λ 2 E E = = = × 4 ε a y π 0 无限长均匀带电直线的场强： λ E = ε 2 π a 0

41. 7-5 将一无限长带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为  ，四分之一圆弧AB半径为 R ，试求圆心 O 点的场强。 y A o x B y E Ey a Ex 2 1 o x • 解：在 O 点建立坐标系，如图所示，均匀带电直线线外一点场强： • Ex =/4Oa(sin2 - sin1 ) • Ey =/4Oa(cos1 -cos2 ) • 半无限长：1 =/2, 2 =  • 故 Ex = -/4Oa • Ey = /4Oa

42. y 1 • 直线 1 和 2在 O 点场强： • E1 = /4OR( i - j ) • E2 = /4OR( -i + j ) • 圆弧AB在 O 点场强：o =/4 • E =sino /2OR= /4OR • 方向： /2 i + /2 j • 故 E3= /4OR( /2 i + /2 j) • = /4OR( i + j ) • O 点合场强：E = E1 + E2+ E3 • E =/4OR( i - j -i + j+ i + j )=/4OR( i + j ) E A R o x 3 B 2

43. 7-6 一半径为 R 、长度为 L 的均匀带电圆柱面，总电量为 Q ，试求端面处轴线上 P 点的电场强度。 Q P P O R x dE L x dx L • 解：x 处宽 dx 的圆环，其上电量 dq=Qdx/L • 圆环在 P点的电场强度为 • dE = dq( L-x )/4O[ R2+( L-x )2 ]3/2

44. P x E x dx L • dE = Q( L-x )dx /4OL[ R2+( L-x )2 ]3/2 • = - Q/8OL•d[ R2+( L-x )2 ]/ [ R2+( L-x )2 ]3/2 • dE方向沿 X 轴正向，都相同，故总场强 • E =  dE • =-Q/8OLoLd[ R2+( L-x )2 ]/ [ R2+( L-x )2 ]3/2 • = Q/4OL•[1/R - 1/(R2 + L2 )1/2] • 方向沿 X 轴正向。

45. 7-7 一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量 +Q ，沿其下半部分均匀分布有电量 -Q，如图所示，试求圆心 O 处的电场强度。 • 解：dE1= Rd/4OR2 = d/4OR • dE1 = dE2 , dE= 2dE1sin = sind/2OR • E=O/2 sind/2OR= /2OR = Q/2OR2 y y dl1 +Q dl1=dl2=Rd d R  o x - o x dE2 dE1 - Q =2Q/R dl2 dE

46. 7-8 一半径为 R 的无限长圆柱形带电体，其电荷体密度为  = A r ( r < R )，式中 A 为常数，试求圆柱内，外各点场强大小分布。 R r r’ l dr’ • 解：当 r>R，圆柱体外，如图作高斯面： •  E•dS= 侧E•dS+ 两底E•dS= 2 rlE • q = oR(r’) 2 r’ l dr’ • =2lAoRr’2dr’=2 lAR3/3 • 高斯定理：  E•dS = q/o • 2 rlE = 2 lAR3/3o • E =AR3/3or ( r > R ) O O

47. O • 当 r  R，圆柱体内，如图作高斯面： •  E•dS = 2 r l E • q = or(r’) 2 r’ l dr’=2 lA or r’2dr’ • =2 lAr3/3 • 高斯定理：  E•dS = q/o • 2 r lE = 2 lAr3/3o • E = Ar2 /3o ( r  R ) R O r r’ l dr’

48. 7-11 图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势面，由图可看出：(A) EA > EB > EC，UA > UB > UC 。(B) EA < EB < EC，UA < UB < UC 。(C) EA > EB > EC，UA < UB < UC 。(D) EA < EB < EC，UA > UB > UC 。 答案(D) • 解：电力线密，电场大； • 沿电力线，电势下降。 • 电力线 • 等势面 A B C

49. 7-12 如图所示，两个同心球壳，半径为 R1，均匀带有电量 Q，外球壳半径为 R2 ，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，试求在内球壳里面，距离球心为 r 处的 P 点的场强大小及电势。 Q R1 P r o R2 • 解：E= 0 ( 0 < r < R1 ) • E = Q/4Or2 ( R1 < r < R2 ) • UP(r) - UR2=r R 2Edr • = r R 10dr + R1R 2 Q/4Or2 dr • UP(r) =Q/4O •(1/R1 -1/R2 )

50. 7-13 图中所示为静电场的等势线图，已知 U1 > U2 > U3，在图上画出两点的电场方向，并比较它们的大小。Ea > Eb • 7-14 图中所示为静电场的电力线图，若将一正电荷从 a 点经任意路径移到 b 点，外力作正功还是负功？ 负功；其电势能是增加还是减少？ 。 U1 U2 U3 b Eb E a a b Ea