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第二节 泰勒展式

第二节 泰勒展式. 一、解析函数的泰勒展式 二、解析函数的零点与唯一性. 内任意点. 一、解析函数的泰勒展式. 1. 解析函数展成幂级数. 问题 : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？. 如图 :. 定理 4.2.1( 泰勒定理 ). 证. 系 4.2.1. 系 4.2.2. 2. 解析函数展成幂级数的方法与例. 常用方法 : 直接法和间接法. (1) 直接法. 由泰勒展开定理计算系数. 例 1. 解. (2) 间接法.

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第二节 泰勒展式

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Presentation Transcript

  1. 第二节 泰勒展式 • 一、解析函数的泰勒展式 • 二、解析函数的零点与唯一性

  2. 内任意点 . . . 一、解析函数的泰勒展式 1. 解析函数展成幂级数 问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？ 如图:

  3. 定理4.2.1(泰勒定理)

  4. 证

  5. 系4.2.1 系4.2.2

  6. 2. 解析函数展成幂级数的方法与例 常用方法:直接法和间接法. (1) 直接法 由泰勒展开定理计算系数

  7. 例1 解

  8. (2) 间接法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .

  9. 例2 解

  10. 附: 常见函数的泰勒展开式

  11. 例3 解

  12. 例4 解

  13. 例5 解

  14. 二、解析函数的零点与唯一性 1. 零点

  15. 定理4.2.3(解析函数零点的孤立性) . 系4.2.3

  16. 系4.2.4 证

  17. 2. 解析函数的唯一性 定理4.2.4 证

  18. 例6 证明

  19. 例7 解

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