证明辅助工具 Coq 简介

1. 证明辅助工具Coq简介 郭宇 2010-07-20 中科大-耶鲁高可信软件联合研究中心 http://kyhcs.ustcsz.edu.cn/summer-school

2. 课程主页 http://kyhcs.ustcsz.edu.cn/summer-school

3. 问题 • 如何表示数学证明？ • Miracles often occur…

4. 费马大定理 (1673) • Xn = Yn + Zn • 当n>2时无整数解 • A. Wiles • 1993 • 证明? • 超过一百页 • 世界上能看懂的人屈指可数 • 原始证明有错，一年多以后更正

5. 四色定理 • K.Appel & W. Haken • 1976年证明 • 证明？ • 分1,936种情况讨论 • 利用计算机程序来自动分析，不产生证明 • 一些数学家拒绝承认 • 仍然难以检查证明是否正确

6. 四色定理 • G. Gonthier & B. Werner • 2004年证明 • 证明？ • 完整详细的Coq证明 • 机器可检查 • 没有跳过任何步骤 • 证明检查程序规模小

7. 高可信软件 • 嵌入式系统内核——seL4 • G. Klein 等人 • OSDI’09 Best Paper • 8700 lines of C • 经过形式化验证 • 证明？ • 机器可检查证明 • 200,000 lines of Isabelle script

8. VeriSoft • 芯片 • 嵌入式内核 • 汽车电子控制单元 • 应用 • 宝马汽车的应急呼叫系统 • 证明： • Isabelle 2005

9. CompCert • 经过完全证明的C语言编译器 • Xavier Leroy [CACM ’09] • Power PC backend • 证明？ • 机器可检查证明 • 使用Coq代码编写并证明 • 抽取出O’Caml代码运行

10. Certified Software • Certified Software = Program + Proof

11. Coq是什么 • 一个证明系统 • 编写证明，检查证明 • 一套形式化语言 • 编写数学定义、算法、定理 • 类型化  演算 • 一个环境 • 交互式证明

12. 其它证明辅助工具 • Isabelle 2005 • Twelf • Agda

13. Coq介绍 • Coq环境 • 函数式编程 • 逻辑推理 • 归纳

14. 运行 coq • 命令行解释器 • coqtop • 编译器 • coqc

15. 用户界面 • CoqIDE

16. 用户界面 • emacs + proofgeneral(推荐)

17. 运行 Coq • 运行 coqtop • 检查一个表达式的类型 Coq< Check 3. 3 : nat Coq< Check 3 + 5. 3+5 : nat Coq 命令 (以. 结尾)

18. 类型检查 • 每一个合式的项都有一个类型 • 每一个类型也是一个项 > Check 3 + true. Error: The term “true” has type “bool” While it is expected to have type “nat”.

19. 定义 > Definition a := 5. a is defined > Definition b := a + 6. b is defined > Eval compute in b. = 11 : nat

20. Coq命令——打印 Coq< Print b. b = a + 6 : nat Coq< Set Printing All. Coq< Print b. b = plus a (S (S (S (S (S (S O)))))) : nat

21. 自然数加法 Coq< Check plus. plus : nat -> nat -> nat Coq< Unset Printing All. Coq< Eval compute in (plus 7 8). = 15 : nat

22. 自然数加法 Coq <Print plus. plus = fix plus (n m : nat) : nat := match n with | 0 => m | S p => S (plus p m) end : nat -> nat -> nat Argument scopes are [nat_scope nat_scope]

23. 函数式语言编程

24. 函数式语言编程 • 函数是一等公民 • First-class • 可以做参数，也可以作为函数返回值 • 高阶函数

25. 示例一：布尔值计算 Coq < Inductive bool : Set := true : bool | false : bool. bool is defined bool_rect is defined bool_ind is defined bool_rec is defined Coq < Print bool.

26. 示例一：布尔值计算 Coq < Inductive bool : Set := true : bool | false : bool Coq < Definition negb (a : bool) : bool := match a with | true => false | false => true end. Coq < Eval compute in (negb true).

27. 示例一：布尔值计算 Coq <Inductive bool : Set := true : bool | false : bool Coq< Definition andb (a : bool) (b : bool) : bool := match a with | true => b | false => false end. Coq< Eval compute in (andb true false).

28. 示例一：布尔值计算 Coq < Inductive bool : Set := true : bool | false : bool Coq < Definition andb (a : bool) (b : bool) : bool := match a with | true => b | false => false end. Coq < Check (andb). Coq < Check (andb true).

29. 示例一：布尔值计算 Coq < Inductive bool : Set := true : bool | false : bool Coq < Definition andb (a : bool) : bool -> bool := match a with | true => fun (b : bool) => b | false => fun (b : bool) => false end. Coq < Check (andb). Coq < Check (andb true).

30. 示例一：布尔值计算 Coq < Definition double (f : bool -> bool) : bool -> bool := fun (a : bool) => f (f a). Coq < Eval compute in (double negb true).

31. 示例二：自然数 Coq < Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat. nat is defined nat_rect is defined nat_ind is defined nat_rec is defined

32. 偶数判定 Fixpoint evenb (n:nat) : bool := match n with | O => true | S O => false | S (S n') => evenb n' end.

33. 加法 • 原始递归函数（Primitive Recursion） • 保证函数的终止性 Fixpoint plus (n : nat) (m : nat) {struct n}: nat := match n with | O => m | S n’ => S (plus n’ m) end.

34. 基本逻辑推理

35. 原子命题定义 Variables A B C : Prop.

36. 定理证明演示 Theorem T1 : A -> A.

37. 证明构造的编程

38. 打印证明 • Curry-Howard 同构 • 类型形如 A ->B 的证明是一个函数 • 以命题A的证明为参数，返回B的证明 Theorem T1 : A -> A. Coq < Print T1. T1 = fun H : A => H : A -> A

39. 程序即证明 Definition T1’ := fun (H : A) => H. Check T1’.

40. 程序即证明 • 证明的构造方式并不唯一 • 构造 ——Construction Definition T1’ := fun (H : A) => H. Check T1’. Definition T1’’:= fun (H : A) => T1 H. Check T1’’.

41. 练习 Theorem T2 : A -> B -> A. Proof ?

42. 答案 • T2是定理 A->B ->A的“构造” Theorem T2 : A -> B -> A. Proof fun (H : A) => fun (H2 : B) => H.

43. 合取连接词 Theorem T3 : A /\ B -> A. Proof fun (H : A /\ B) => (proj1 H). Theorem T4 : A /\ B -> B. Proof fun (H : A /\ B) => (proj2 H).

44. 析取连接词 Theorem T5 : A -> A \/ B. Proof fun (H : A) => or_intro1 H. Theorem T6 : A /\ B -> A \/ B. Proof ?

45. 析取连接词 Theorem T3 : A /\ B -> A. Theorem T5 : A -> A \/ B. Theorem T6 : A /\ B -> A \/ B. Proof fun (H : A /\ B) => T5 (T3 H).

46. 全称量词 Theorem T7 : forall A : Prop, A -> A. • Curry-Howard 同构 • 类型形如 forall x :A, B 的证明仍然是一个函数 • 以 x为参数，返回B的证明

47. 全称量词 Theorem T7 : forall A : Prop, A -> A. Proof fun (A : Prop) => fun (x : A) => x. 【思考】下面证明构造的含义： Definition T4 := T3 (forall A : Prop, A)

48. 全称量词 Theorem T7 : forall A : Prop, A -> A. 【思考】下面证明构造的含义： Definition T8 := T7 (forall A : Prop, A) T8 : False -> False

49. 练习 Theorem T9 : forall A B C: Prop, (A -> B) -> (B -> C) -> (A -> C). Proof ?. 函数复合

50. 归纳