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第 七 回

第 七 回. 双対問題とその解法. 内容と目標. 内容 ： １．双対問題 ２．双対問題のシンプレックス方法 目標 ： １．双対問題を復習する ２．自分で双対問題を作る ３．シンプレックス方法で双対問題を解析する. LP 問題のシンプレックス法. LP 問題の解法 標準のシンプレックス法： Max. f(x)　＜ー＞ g(x) c ２段階法: 1) Max. f(x) ＜ー＞ g(x) , =, c 2) Min. f(x) ＜ー＞ g(x) c

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第 七 回

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  1. 第 七 回 双対問題とその解法 山梨大学

  2. 内容と目標 • 内容： １．双対問題 ２．双対問題のシンプレックス方法 • 目標： １．双対問題を復習する ２．自分で双対問題を作る ３．シンプレックス方法で双対問題を解析する 山梨大学

  3. LP問題のシンプレックス法 • LP問題の解法 • 標準のシンプレックス法：Max. f(x)　＜ー＞ g(x)c • ２段階法: 1) Max. f(x) ＜ー＞ g(x) , =, c 2) Min. f(x) ＜ー＞ g(x) c 3) Min. f(x) ＜ー＞ g(x) , =, c • 目的関数ｆ(x) • 標準：　　Max. f(x) • 最小値問題：　Min. f(x) Min. f(x) ー＞Max. f0(x) Max. f’(x)=-i ただし、f0(x) = -f(x) 山梨大学

  4. 制約条件の処理 • 最小不等式： g(x)c スラック変数：　 g(x)+λ=c • 等式：　g(x)=c 人為変数： g(x) + μ= c • 最大不等式: g(x)c スラック変数と人為変数を利用する g(x)ーλ＋ μ =c 山梨大学

  5. 最小値問題ー原問題 • 目的関数： Min. f = 2x1 + 19x2 + 7x3　　　　　　 (1) • 制約条件： x1+12x2+6x3 ≧ 4 (2) 2x1+18x2+4x3 ≧3 (3) x1, x2, x3≧0 山梨大学

  6. 二段階法 制約条件： x1+12x2+6x3 -λ1　　 +μ1　 ＝ 4 2x1+18x2+4x3　　　 -λ2 +μ2 ＝ 3 (4) 目的関数： f0 = - 2x1 - 19x2 - 7x3　　 　　 (5) f’ = -μ1 -μ2(6) 山梨大学

  7. c ステップ -2 -19 -7 0 0 0 基底 x１　 x2 x3 λ１ λ2 定数 θ 1 -1 -1 μ1 μ2 1 12 6 2 18 4 -1 0 0 -1 4 3 1/3 1/6 f0 f’ 2 19 7 -3 -30 -10 0 0 1 1 0 -7 2 -1 -19 μ1 x2 -1/3 0 10/3 1/9 1 2/9 -1 2/3 0 -1/18 2 1/6 3/5 3/4 f0 f’ -1/9 0 25/9 1/3 0 -10/3 0 1 1 -2/3 -19/6 -2 3 -7 -19 x3 x2 -1/10 0 1 2/15 1 0 -3/10 1/5 1/15 -1/10 3/5 1/30 f0 f’ 1/6 0 0 0 0 0 5/6 1/2 0 0 -29/6 0 二段階法のシンプレックス表 山梨大学

  8. 双対問題：最小化ー＞最大化 　以上の例の最小化問題の不等号制約式(2)、(3)に対し、非負のy1 , y2を対応させる。そして(2)×y1+(3)×y2を計算すると　(y1+2y2)x1+(12y1+18y2)x2+(6y1+4y2)x3 　　　　　≧ 4y1+3y2 　　　 (7) となる。 山梨大学

  9. 制約条件の変化 ここで y1 + 2y2 ≦ 2 12y1+18y2 ≦ 19 (8) 6y1 + 4y2 ≦ 7 と仮定すると、式(7)は 2x1+19x2+7x3 ≧ 4y1+3y2 となる。 山梨大学

  10. 新しい最大値問題？ 　　変数x1, x2, x3は、上述最小化問題の制約条件下2x1+19x2+7x3の最小化に関連したが、新しく導入された変数y1, y2も何かの最適化問題に関連しているようである。新しい変数に与えられた条件、つまり式(8)と非負条件下で4y1+3y2の最大化問題を考えてみる。 山梨大学

  11. 標準LP問題 目的関数： Max. f = 4y1+3y2(9) 制約条件： y1 + 2y2 ≦ 2 12y1+18y2 ≦19 (10) 6y1+ 4y2 ≦ 7 y1, y2 ≧ 0 山梨大学

  12. ステップ c 4 3 0 0 0 基底 y1 y2 λ1 λ2 λ3 定数 θ 1 0 0 0 λ1 λ2 λ3 1 2 12 18 6 4 1 1 1 2 19 7 2 11/7 7/6 f -4 -3 0 2 0 0 4 λ1 λ3 y1 0 4/3 0 10 1 2/3 1 0 -1/6 0 1 -2 0 0 1/6 5/6 5 7/6 5/8 1/2 7/4 f 0 -1/3 0 0 2/3 14/3 3 0 3 4 λ1 y2 y1 0 0 0 1 1 0 1 -1/7 0 0 1/10 -1/5 0 0 2/7 1/6 1/2 5/6 f 0 0 0 0 3/5 29/6 標準LP問題のシンプレックス表 山梨大学

  13. 結果の説明 (i) 基底変数はλ1、y1、y2で、非基底変数はλ2 、 λ3である。 (ii) 最適基底解は 　 　　y1 =5/6,y2 =1/2, λ1 =1/6, f=29/6 である。 この解は例(1)に示した原問題の最大値と全く同じになる。しかし、計算は簡単になった。 山梨大学

  14. 課　　　題 目的関数： Min. f = 4x1 + 5x2(1) 制約条件 x1+3x2≧ 4 2x1+ x2≧ 3 　　 　　　　 (2) x1 , x2≧0 要求： 1).　シンプレックス法を用いて解け。 2).　上記の線形計画問題の双対問題を作れ。 3).　双対問題をシンプレックス法で解け。 4). 原問題のスラック変数・最適解と双対問題のスラック変数・最適解を比較せよ。 山梨大学

  15. 課題の解答 　1). 最適解はx1=1, x2=1, f=9. 3). 双対問題の最適解はy1=6/5, y2=7/5,f’=9. 山梨大学

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