490 likes | 646 Views
Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip. Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch). Einführung von Operatoren. Wir basteln uns ein Wellenpaket!. ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls p x. Fouriertransformation. Für t=0.
E N D
Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip
Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren
Wir basteln uns ein Wellenpaket! ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Fouriertransformation Für t=0 Wellenfunktion im Ortsraum Wellenfunktion im Impulsraum
Gauß‘sches Wellenpaket g Breite des Wellenpakets , g=Dpx /2 Fouriertransformation
Je breiter die Impulsverteilung, desto schmaler die Ortsverteilung und umgekehrt Heisenberg‘sche Unschärfe : Ebenso:
Zeitabhängigkeit der Wellenpakete! ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Phasenfaktor: Werte des Integrals groß für Gruppengeschwindigkeit vg Phasengeschwindigkeit
Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets Taylorentwicklung
Wellenpakete x Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst
Wellenpakete im zweiatomigen Molekül V(R) Idealisiert: Harmonischer Oszillator Überlagerung von äquidistanten Eigenzuständen Breite des Wellenpakets oszilliert R V( R) R
Laserkühlung von zwei Hg Ionen f z D2 D1 Falle Laser beam Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment Spalte ersetzt durch zwei Ionen NIST,Boulder D. Wineland, 1993
Interferenz im Streulicht zweier Ionen Ionenabstand: 5.4mm 4.3mm 3.7mm
m ½ -½ ½ -½ Ion1 Ion2 m ½ -½ ½ ½ Ion1 Ion2 6p 6p 6s 6s p p p = s p p Welcher Weg Experiment p s Itano et al, Phys.Rev. A 1998
Polarisationssensitive Detektion Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen f z D2 D1 Falle Laser beam Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993 NIST,Boulder D. Wineland
Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung p) Keine Welcher-Weg Information : Interferenz s) Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions: keine Interferenz
Lichtpuls kein “Chirp” dispersives Medium Lichtpuls mit negativem “Chirp” Linearer Chirp Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls
Chirp Crab nebula 6000 Lichtjahre entfernt Radiopulse Staelin und Reifenstein 1968
Chirp Brehm’s Tierleben Der Kanarienvogel Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit
Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren
Zugehörige Wellengleichung (Schrödingergleichung für ein freies Teilchen) 1 dim 3dim
(1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t) Hamiltonoperator: Kinetische und potentielle Energie
(3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t) Das ist fast schon alles!
Statistische Interpretation der Wellenfunktion M. Born 1926 "for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954
Hermetizität Für einen reellen Erwartungswert gilt: Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt Definition: Kommutator mit Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen
Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition Zeitunabhängige Schrödingergleichung Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäre Lösungen der Form:
Energieeigenzustände Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben. Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung. Kronecker Symbol Eigenfunktionen sind orthogonal
Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden Messung des Eigenwertes an
Dirac Schreibweise Damit schreibt sich die Projektion als Matrixelement
Kommutierende Observablen Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B. Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. Beispiel: Ort und Impuls Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größte Anzahl kommutierender Observablen für ein Problem.
Eindimensionale Beispiele Kastenpotential V(x)=0 für |x|<a V(x)=unendlich für x<-a und x>a für |x|<a Mit Randbedingungen folgt: Lösungen n=1,3,5... n=2,4,6...
Eigenwerte n=1,2,3.. Bemerkungen Nullpunktsenergie von null verschieden Gerade und ungerade Funktionen Paritätsoperator
Eindimensionaler harmonischer Oszillator Bedeutung in der Physik Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände, Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums im Minimum
Ansatz: Hn Hermite-Polynome folgen aus einem Potenzreihenansatz Lösungen´nur für e= 2n+1 Eigenwerte Eigenfunktionen
Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip? Antwort folgt
Drehimpuls klassisch umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten Operatoren Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz : L2 und Lz vertauschen mit H: Erhaltungsgrößen Eigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l) Kugelflächenfunktionen präzediert , daher keine Erhaltungsgröße
Zentralpotentiale Potential V( r )
Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz Separation
Radialgleichung mit Veff(r)