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3.2 圆的轴对称性（ 1 ）

3.2 圆的轴对称性（ 1 ）. 提问： 圆是什么对称图形？. O. C. D. O. 动手实践. 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠 , 你发现了什么 ?. X. 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）. 结论 1 ： 圆是轴对称图形， 每一条直径所在的直线 都是对称轴。. 强调：. （ 1 ）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴 ;. （ 2 ）圆的对称轴有无数条．. 思考. 如图 ,AB 是⊙ O 的一条弦 ,CD 是⊙ O 直径. C. O. B. E. A. D.

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3.2 圆的轴对称性（ 1 ）

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Presentation Transcript

  1. 3.2 圆的轴对称性（1）

  2. 提问：圆是什么对称图形？ O

  3. C D O 动手实践 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么? X 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 结论1：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴; （2）圆的对称轴有无数条．

  4. 思考 如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径. C O B E A D (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成为轴对称图形?

  5. ② AC=BC，AD=BD． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A C D O 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠， 根据圆的轴对称性，可得线段EA与EB重合， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合． ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD． E B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 动手实践 在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合? 如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧,那么在下图中,哪些圆弧相等? 得出结论： ①EA=EB； 请用命题的形式表述你的结论. 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？

  6. 证明 : 连接OA、OB, C A B M└ ●O ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD. AC和BC重合, AD和BD重合. D 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,

  7. A C D O CD平分弦AB CD为直径 结论 条件 CD平分弧A B ∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD． CD⊥AB B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD平分弧ADB 结论2： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言叙述: E 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.

  8. C M└ C C M└ A A A A B B B B M└ M└ ●O ●O ●O ●O D D 你还认识我吗?

  9. 垂径定理的几个基本图形

  10. 如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论：如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①BD=AD 做一做 ②AG=BG ③DG⊥AB ① ② ③ 其中正确的是________（只需填写序号）

  11. ⌒ 例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念） ⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分. ⌒ 作法： C ⒈ 连结AB. E ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. B A D 点E就是所求弧AB的中点．

  12. 变式一： 求弧AB的四等分点． C m n E F G A B D

  13. 变式一： 求弧AB的四等分点． 错在哪里？ G C Ｅ 1．作AB的垂直平分线CD Ｍ Ｎ Ｐ 2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH B A Ｔ 强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线． D F Ｈ

  14. 变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心． a b C A B O

  15. 例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得: 10 C 8 8 D 答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

  16. ． O A B C M D 例3 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 思路： 作OM⊥AB，垂足为M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD．

  17. 做一做 1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？ C . D A B 5 13 O 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长.

  18. ． O 2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： r d A B C 归纳： 1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；

  19. 做一做 2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ） D (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 10 8 6

  20. 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径. 做一做 1 3 3

  21. 4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证： ⌒ ⌒ AC=BD 做一做

  22. E C D B 5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点 BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.

  23. （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 课 堂 小 结 师生共同总结： １．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；

  24. 课堂小结 1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和定理 定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧． 2.定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法． 3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是 一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题．

  25. B . O A E C D F 思考题 已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF

  26. 2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ） A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC A ． ⌒ ⌒ O D C E B 目标训练 1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于． 24 C

  27. 3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm ． O B A M 目标训练 A 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5 A

  28. 思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，所以MN= BC=2． A ． M N O C B 目标训练 5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为． 2或14 6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．

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