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2.11 函数的应用

函数. 2.11 函数的应用. 一、 分析和解答函数应用问题的思维过程 利用函数模型解决的实际问题称为函数应 用问题 . 分析和解答函数应用问题的思维过程为 :. 二、解应用题的一般步骤 1. 审题： 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，建立相关的数学模型 . 2. 建模： 将文字语言转化为数学问题，利用数学知识建立相关的数学模型 . 3. 求模： 求解数学模型，得到数学结论 . 4. 还原： 用数学方法得到数学结论，还原为实际问题的意义. 三、掌握重要的函数模型的应用

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2.11 函数的应用

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  1. 函数

  2. 2.11 函数的应用

  3. 一、 分析和解答函数应用问题的思维过程 • 利用函数模型解决的实际问题称为函数应 • 用问题.分析和解答函数应用问题的思维过程为:

  4. 二、解应用题的一般步骤 • 1. 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，建立相关的数学模型. • 2. 建模：将文字语言转化为数学问题，利用数学知识建立相关的数学模型. • 3. 求模：求解数学模型，得到数学结论. • 4. 还原：用数学方法得到数学结论，还原为实际问题的意义.

  5. 三、掌握重要的函数模型的应用 • 1. 应用二次函数模型解决有关最值的问题. • 2. 应用分段函数模型y=x+ (a＞0)结合单调性解决有关最值的问题. • 3. 应用y=N(1+p)x模型解决有关增长率及利息的问题. • 4. 注意函数、方程、不等式模型的综合应用. • 四、探索性问题的求解策略 • 探究性问题是一种开放性问题，其思维过程可以用下图表示： • 观察→猜想→抽象→概括→证明.

  6. 电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min收费0.2元，超过3 min以后，每增加1 min收费0.1元，不足1 min按1 min付费，则通话费s(元)与通话时间t(min)的函数图象可表示成图中的( )

  7. 解：由题意列出函数表达式 • 由图象可知应选B.

  8. 调查表明，酒后驾车是导致交通事故的主要原因.交通法则规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒x小时后，血液中的酒精含量y=0.8×( )x，则他至少要经过_____小时后才可以驾驶机动车( ) • A. 1 B. 2 • C. 3 D. 4

  9. 解：x小时后血液中酒精含量为0.8×( )x≤0.2， • 即( )x≤ ，解得x≥2，故选B. • 拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费用由f(m)=1.06(0.5·[m]+1)(元)决定,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.8]=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( ) • A. 3.71元 B. 3.97元 • C. 4.24元 D. 4.77元 • 解：f(5.5)=1.06(0.5×[5.5]+1)=4.24,故选C. C

  10. 题型1 二次函数的应用题 • 1. 某民营企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图①；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.

  11. 若该企业已筹集到10万元资金，并全部投入甲、乙两种产品的生产，问怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润? • 解：据题意，甲产品的利润函数可设为f(x)=k1x，乙产品的利润函数可设为g(x)=k2 . • 由图知,f(1)= g(4)= 所以k1= k2= • 所以f(x)= g(x)= • 设投入乙产品的资金为x万元,投入甲产品的资金为10-x(万元),企业获得的总利润y万元,则

  12. 所以，当 即 =6.25时， • 故当甲产品投资3.75万元，乙产品投资6.25万元 时，能使企业获得最大利润. • 点评：解决实际问题，关键是构建数学模型.求与最值有关的实际问题一般是与函数模型有关.求解时,要根据实际问题中的数量关系与等量关系建立函数关系式,然后求解函数的最值,另外注意实际问题中的定义域对最值的影响.

  13. 某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元 (a为正常数).现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造的产值可增加2x%(0＜x＜100)，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元.在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？

  14. 解：设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足:(100-x)·a·(1+2x%)≥100a.解：设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足:(100-x)·a·(1+2x%)≥100a. • 因为a＞0，x＞0，可解得0＜x≤50. • 设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元，则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a， • 所以f(x)=-0.02a(x2-110x)=-0.02a(x-55)2+60.5a. • 因为x∈(0,50］,且f(x)在(0,50］上单调递增， • 所以当x=50时，［f(x)］max=60a. • 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多.

  15. 题型2 函数 型的应用题 • 2. 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元. • (1)把全程运输成本y(元)表示为关于速度v(千米/小时)的函数,并指出函数的定义域; • (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶.

  16. 解：(1)由条件得 • 即 • (2)当 时， • 所以当且仅当 即 时,y取得最小值为 • 当 >c≥v>0时，

  17. 得 在v∈(0,c］上单调递减， • 所以当且仅当v=c时，y取得最小值为 • 点评：若构建的函数关系式形如 • 型,一般利用均值不等式的性质,可求得最值.特别要注意的是取最值时的自变量的值是否在定义域范围内及是否符合实际意义.

  18. 某食品厂购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于100吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的 90%),问该食品厂是否考虑接受此优惠条件?请说明理由. • 解：设该厂每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨.由题意知，面粉的保管费用及其他费用为

  19. 若不接受优惠条件，则平均每天的费用为 • 当且仅当x=10时取等号. • 若接受优惠条件，则至少要间隔 天购买 • 一次面粉，平均每天的费用为 • 易知函数y2在x∈［17，+∞)上是单调递增函数， • 所以x=17时，y2有最小值约为9926元，而9926＜ • 10980，故应该接受此优惠条件.

  20. 题型3 图表信息型的应用题 • 3. 某种商品在30天内每件的销售价格P(元) • 与时间t(天)的函数关系用下图的两条直线段表示：

  21. 该商品在30天内的日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示： • (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； • (2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；

  22. (3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额=每件的销售价格×日销售量). • 解：(1)根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为： • (2)描出实数对(t，Q) • 的对应点如图所示.

  23. 从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q=kt+b. • 由点(5，35)，(30，10)确定出l的解析式为：Q=-t+40. • 通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l上.所以日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=-t+40(0＜t≤30，t∈N*). • (3)设日销售金额为y(元)，则

  24. 若0＜t＜25(t∈N*),则当t=10时,ymax=900. • 若25≤t≤30(t∈N*),则当t=25时,ymax=1125. • 由1125＞900,知ymax=1125.所以这种商品日销售金额的最大值为1125元,30天中的第25天的日销售金额最大.

  25. 点评：解答应用题的步骤，可概括为“读、建、解、答”.读，就是认真读题，缜密审题，准确理解题意，这是正确解答应用题的前提；建，就是根据题目所给的数量关系，合理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式，这是正确解答应用题的关键；解，就是用相关的函数知识进行求解，求得问题的结果；答，就是把结果还原到实际问题，写出答案.点评：解答应用题的步骤，可概括为“读、建、解、答”.读，就是认真读题，缜密审题，准确理解题意，这是正确解答应用题的前提；建，就是根据题目所给的数量关系，合理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式，这是正确解答应用题的关键；解，就是用相关的函数知识进行求解，求得问题的结果；答，就是把结果还原到实际问题，写出答案.

  26. 某种新药服 • 用x小时后血液中的残留量 • 为y毫克，如图为函数y=f(x) • 的图象,在x∈［0，4］时为 • 二次函数,且当x=4时到达顶 • 点;在x∈(4,20］为一次函数, • 当血液中药物残留量不小于 240毫克时,治疗有效. • (1)求函数y=f(x)的解析式； • (2)设某人上午8：00第一次服药,为保证疗效,试分别计算出第二次、第三次服药的时间.

  27. 解：(1)当0≤x≤4时，由图象可得y=a(x-4)2+320， • 当x=0时，y=0代入得a·16+320=0， • 所以a=-20.所以y=-20(x-4)2+320. • 当4≤x≤20时，设y=kx+b， • 将(4，320)，(20，0)代入得y=400-20x. • 综上得

  28. (2)设x为第一次服药后经过的时间，则第一次服药的残留量 • 由y1≥240， • 得 或 • 解得2≤x≤4或4＜x≤8，所以2≤x≤8. • 故第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16：00.设第二次服药产生的残留量为y2，则

  29. 由y2≥240， • 得 或 • 解得10≤x≤12或12＜x≤16，所以10≤x≤16， • 若仅考虑第二次服药的残留量，第三次服 • 药应在第一次服药16小时后，而前两次服药的残 • 留量为y1+y2， • 由 得 • 解得16＜x≤18. • 故第三次服药应在第一次服药18小时后，即次日凌晨2：00.

  30. 1. 函数应用题的取值范围问题，应先通过函数关系建立不等式(组)，再解不等式(组)就能得到相关变量的取值范围. • 2. 求解函数应用题中的最值问题，应先选取适当的变量作为函数的自变量，再建立函数式，同时指出函数的定义域，然后根据函数式的结构特点，采用适当的方法求出最值或分析取最值的条件.

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