多项式混成系统不变式生成

1. 多项式混成系统不变式生成 报告人：赵恒军 中国科学院软件研究所 计算机科学国家重点实验室 2012年11月4日

2. 主要内容 • 背景介绍 • 微分不变式 • 判别准则和计算方法 • 应用

3. 主要内容 • 背景介绍 • 微分不变式 • 判别准则和计算方法 • 应用

4. 系统分类 • 离散： x:=1; while (x<=10) { x:=x+1; } q3 q1 q2

5. 系统分类 • 连续: • 时间，速度，温度 …… • （常）微分方程 dx/dt = f(x,t) (1) x(0)=x0 x(t) • dx/dt = 1 • ds/dt = v; dv/dt = a

6. 系统分类 • 混成：

7. 系统分类 • 混成： dx/dt=f1 dx/dt=f2 dx/dt=f3

8. 安全性质验证 • 系统S • 状态空间X • 非安全集合U • 系统的初始状态结合X0 • 系统的可达状态集合R(X0,S) • R(X0,S) ∩ U = Ø

9. 例 • x:=1; while (x<=10) { x:=x+1; } • {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} • 1≤x≤11 • x≤0

10. While循环 • x:=1; while (x<=109) { x:=x+1; } • {1,2,3,……} • 可达状态集的近似：如抽象解释

11. Hoare逻辑 • （归纳）不变式 • X0Inv Inv {S} Inv Inv ∩ U = Ø

12. 例 • x:=1; while (x<=10) { x:=x+1; } • x=1x ≥ 1 x ≥ 1x+1 ≥ 1 x ≥ 1not(x≤0)

13. 主要内容 • 背景介绍 • 微分不变式 • 判别准则和计算方法 • 应用

14. 连续归纳 • X0 • dx/dt=f(x) • 连续系统的可达集计算 • 微分不变式 Inv x(t) X0 x0

15. 主要内容 • 背景介绍 • 微分不变式 • 判别准则和计算方法 • 应用

16. 判别准则 • x:=1; while (x<=10) { x:=x+1; } • x(i) ≥ 1x(i+1) ≥1 • x(i+1)=x(i)+1

17. 判别准则 • x(i) ≥ 1x(i+1) ≥1 • x(i+1)=x(i)+1 • x(t) ∈Invx(t+Δt)∈Inv • x(t+Δt)=x(t)+x’(t)Δt • Δt>0,Δt0 Δt

18. 判别准则 • dx/dt=f(x), f(x)多项式 • p(x) ≥ 0, p(x)多项式 • p(x)=0边界 • dp(x(t))/dt <0 >0 p(x) > 0

19. 判别准则 • dp/dx=0 =0 p(x) > 0

20. 完备判别准则 • dp/dt=0 • d2p/dt2 >0,=0 • d3p/dt3 >0,=0 • … … • 上界N(p,f) • Liu Jiang, Zhan Naijun, Zhao Hengjun: Computing semi-algebraic invariants for polynomial dynamical systems. In: EMSOFT’11. pp. 97–106. ACM, New York, NY, USA (2011) p(x) > 0

21. 计算方法 • 设定模板 p(u,x)>=0 • p=0(dp/dt>0 \/ dp/dt=0 /\ d2p/dt2 >0 \/ dp/dt=0 /\ d2p/dt2=0 /\ d3p/dt3=0 \/ dp/dt=0/\.../\ dNp/dtN ≥ 0 ) • Forall x. Φ(u,x) • 量词消去，SOS，…

22. 混成 • 一族微分不变式 • 初始状态 • 关于迁移关系一致 • 不变式蕴含安全性质 f3 f1 f2

23. 应用 • 背景介绍 • 微分不变式 • 判别准则和计算方法 • 应用

24. 例

25. 例

26. 总结 • 混成系统包含连续与离散行为 • （归纳）不变式与安全性验证 • 多项式连续系统微分不变式生成 • 完备的判别准则 • 多项式混成系统不变式生成

27. 存在的问题 • 多项式系统的局限 • 模板的设定依赖于经验 • 极高的复杂性

28. 谢谢！