理性股市中的 “黑洞”、“白洞”与“虫洞” —— 对理性股市中扩容速度长期均衡路径的探索

理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”——对理性股市中扩容速度长期均衡路径的探索理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”——对理性股市中扩容速度长期均衡路径的探索周爱民南开大学金融学系(300071)南开渤海证券研究所(aiminzhou@eyou.com)中国·天津·南开大学(2005·10·30)

理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”——对理性股市中扩容速度长期均衡路径的探索理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”——对理性股市中扩容速度长期均衡路径的探索一、天文学中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞” 二、理性股市中的大道定理三、理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”

一、天文学中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”一、天文学中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞” • 黑洞(Black Hole）是 • 在宇宙中存在的那么一些 • 点，其体积趋向于零而密 • 度变得无穷大。物体只要 • 进入其附近就会被强大的 • 引力吸收掉，连光线也不 • 例外。没有任何信号能从 • 这个视界里传出，里面的 • 情形人类无法看到。所以 • 科学家给它起了个名字叫 • “黑洞” 。

霍金悖论与霍金猜想 • 1980年代前，传统的黑洞理论认为：黑洞会吸入周围所有物质，但这与物质不灭定律不符。30年前当著名物理学家霍金提出了这一悖论时，美国加州理工的普雷斯基和索恩教授曾与其打赌，他们认为黑洞仍然会透露信息，因而是可观察到的。2004年6月9日，美国斯坦福大学的天文学研究小组借助射电天文望远镜拍摄到了迄今发现的最大的、最古老的黑洞照片。霍金公开承认他输了，并将一本大百科全书送给了普雷斯基。 • 在第17届国际广义相对论和万有引力大会上，霍金又发表了一个全新理论，认为黑洞还会将其所吞噬的物质慢慢地释放出来，并且只有一种进出的方式。他认为这些物质与能量都是通过“虫洞”(Worm Hole)而由“白洞”(White Hole)流出的。

迄今堪称宇宙最庞大、最古老的黑洞 • 此图是美国斯坦福大学的天文学研究小组于2004年6月9日在遥远的宇宙中发现并拍摄到的，其质量是太阳质量的100多亿倍。这意味着这个被称为Q0906+ • 6930的黑洞能 • 够吸纳上千个 • 太阳系，其质 • 量也相当于银 • 河系内所有恒 • 星的质量之和。

黑洞进餐，缓慢吞吃掉恒星的过程 • 据新华社北京2004年2月19日电综合本社驻华盛顿记者毛磊、驻伦敦记者曹丽君报道：欧洲和美国天文学家18 • 日宣布，他们借助 • 太空望远镜在一个 • 距地球7亿光年的 • 星系中观测到了耀 • 眼的X射线暴发。 • 原来是黑洞正在缓 • 慢地“进餐”

连续拍摄的影像合成 • 科学家相信，这是被位于该星系中央的黑洞所吞噬的一颗恒星发出的“临终呼叫”，该恒星位于代号为“RXJ1242—11”的星系中央地带。存在于该星系中央的黑洞质量约为太阳质量的1亿倍，而被撕毁的恒星质量仅与太阳质量相当。据推测，这颗恒星很可能在与一颗行星近距离相遇后，偏离了原先的轨道，结果与超大质量黑洞的距离过近，在后者巨大的引力作用下伸展，直至被扯得四分五裂。不过这个黑洞并不贪心，它只吃掉了该恒星的1%。当黑洞对其的引力随着恒星的质量下降而下降之后，两者间的引力又达到了新的平衡。这是科学家首次找到超大质量黑洞撕裂恒星的强有力证据。

黑洞存在引力场，白洞存在射力场 • 白洞(white hole)是借助爱因斯坦的广义相对论所做出的预言，认为它是一种与黑洞相反的特殊天体。和黑洞类似，它也有一个封闭的边界，聚集在白洞内部的物质，只可以经边界向外运动，而不能反向运动，也就是说白洞只向外部区域输出物质和能量，而不能吸收外部区域的任何物质和辐射。经过白洞前的光线及一切物质都会被白洞强大的排斥力喷射出去，使其改变原有的运动方向，向着与白洞垂直的方向运行。因此，从理论上讲，白洞看起来应该是一个十分耀眼的天体，但目前这还只是一种理论物理模型，尚未被实际观测所证实。

想做时空旅行吗？ • 理论上黑洞可分为两种，一是普通的“完美”黑洞（不旋转也不附带电荷）；二是旋转且附带电荷的。对于后者，你有可能跳进这样的黑洞而从另一个白洞中跳出来。这样的黑洞和白洞的组合叫做虫洞(Worm Hole)，虫洞被认为是连接宇宙遥远区域间的时空细管，它可以把平行的宇宙连接起来，并提供时间旅行的可能性。白洞可能离黑洞十分远，位于宇宙的边缘，实际上它甚至有可能在一个“不同的宇宙”，即一个时空区域除了虫洞之外可能和我们所在的区域完全没有任何连接。

二、理性股市中的“大道定理” • 在一个理性股市中，理性的股票价格成长率与理性的（人均）扩容速度的均衡稳定问题构成一个多点均衡问题。在这个多点均衡问题中，我们可以发现这些均衡点中的某一些由于其周围区域特殊的向量场关系会形成其不同的稳定性。这些不同的稳定性使这些均衡点可以被形象地称为黑洞、白洞与虫洞，主要是因为这些均衡点周围区域存在着不同的向量场限制。

其实本文讨论的是一个理性股市发展的长期均衡稳定问题其实本文讨论的是一个理性股市发展的长期均衡稳定问题 • 如果我们在相空间中来讨论问题，那么，如果在一个均衡点的周围，相空间中向量场的方向都是朝向它的，该均衡点就类似于黑洞，它是稳定的，而且要比鞍点稳定(Saddle Steady State)更加稳定；如果在一个均衡点的周围，相空间中向量场的方向都是背离它的，该均衡点就类似于白洞，它就是非稳定的；如果在一个均衡点周围，向量场的方向既有朝向黑洞稳定点的，也有朝向白洞非稳定点的，该均衡点就类似于虫洞，它也是不稳定的。

理性股市中也存在“大道”定理吗？ • 关于稳定的鞍点，经济学里有一个“大道定理” (Turpike Theorem)[1]，说的是：在“标准理性人” “一生”消费之效用现值之和最大化的假定下，存在着唯一一条“大道”使经济系统可以在这条大道上实现长期均衡稳定的高速增长。 • 作为比对，我们发现在有效市场假定下，理性的股市中也存在着这样的一条“大道”，股市在其上也能够实现长期均衡稳定的发展。 • 这是本文的第一个重要结论。 • [1]参见拙作：《高级宏观经济学》第十章内容，中国经济管理出版社，2001年2月版。

什么是标准理性人和标准股票？ • 卢卡斯于1978年发表在Econometrica上的一篇文章，将金融资产与实物资产相剥离。在一个“标准理性人”一生炒股收益所效用现值之和最大化的假定下，导出了作为“标准股票”的股市指数的理性价格。 • 这里所讲的“标准理性人”是指作为股民平均样本的一个人而非任何一个具体的人，因此可以被看成是有无限寿命的。 • “标准股票”是指所有股票的平均样本，其价格也可看成是股市指数。

跨时分析发端于1930s，流行于1960s • 记为t时“标准理性人”所持有的“标准股票”的平均数量，则t时“标准理性人”卖出“标准股票”的数量为： • 表示炒股的收益，它代表着上市公司派发的股利和通过出卖“标准股票”所得到的市场收益这两部分： • 为“标准股票”的价格，为“标准股票”的现金股利，时，为增持股票，收益为负； • 时，为减持股票，收益为正。 • 一个“标准理性人”一生炒股收益的效用最大化假定可以被描述为(2.1)式中的目标函数。

我们的目标是？（没有蛀牙！：） • (2.1)

可用变分法来解 • 对于积分规划问题(2.1)式，可定义变分函数为被积函数： • 利用变分原理中的欧拉公式：

结果怎样？ • 可得： • 均衡时理性价格应遵从的行为差分方程是： • (2.2) • 由分部积分法，对上式贴现积分后有股利现值模型：

其前提条件是： • 这是现代经济学中著名的非蓬齐对策条件，当此条件不满足时，就会有价格泡沫的定义：

泡沫就是实际价格与理性价格的差 • 或者价格可以被分解为不同的内容： • 这是两分法，当泡沫被划分为理性泡沫与随机泡沫后，就有三分法：

股市中也有“大道定理” • 关于价格泡沫的研究不在本文讨论范围内。如果我们将股票理性价格的行为方程与(2.1)式中的约束条件联立的话，可以得到均衡稳定的股市，其价格与资本规模都应遵守的行为方程组：

在均衡点处，有： 可以得到：其中p*是固定值、而c=c(p,s)应该是下凹的函数：

三、理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞”三、理性股市中的“黑洞”、“白洞”与“虫洞” • 综合一下前面关于“标准股票”的理性价格、人均持有“标准股票”的数量以及炒股收益的行为方程，可得到如下的联立方程组： • (3.1) • 现在可以定义理性价格的成长率为：而（人均）扩容速度为：。 • 对其分别求导可得：

我们要导出关于G和E的行为方程组 • (3.2) • (3.3) • 我们可以假设均衡时股利不再增长：，不然的话，增长着的股利必然会引起收益的变化，与矛盾。于是，对(2.2)式中的第一式求导会有：，代入(3.2)式，可得： • (3.4) • 同时，(2.2)式还会给出： (3.5)

这样才能确定长期均衡的路径 • 对(3.1)式中的第二式求导有： • (3.6) • 这是因为：，，将(3.5)式代入可得到： • (3.7) • 于是有关于扩容速度与价格成长因子的联立方程组： • (3.8)

扩容速度是“大鱼”，价格成长是“小鱼” • 比对一阶Volterra[1]方程组： • 二阶方程组使捕食鱼类具有更超前的“计划生育”特点。 • [1]该方程组是1920年代由意大利数学家伏尔特拉提出，描述了海洋捕食鱼类与被捕食鱼类的均衡共存关系。

十个区域和五个均衡点 • 我们假设存在着均衡的理性价格成长速度G*和理性扩容速度E*，显然，G*和E*应该通过和来求得。这是一个多点均衡问题，如图3.1，在平面直角坐标系( ， )中，四条均衡线决定了十个区域和五个均衡点。均衡点的坐标分别如下：是和的交点；是和的交点；是和的交点；是和的交点；则是和的交点；而表示的是图3.1中那条斜率为-0.5的斜直线。

相空间里的故事

我们要在相空间中讨论向量场 • 当时，对应于直线之上的三个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，因此，我们都用向下的箭头来表示。当时,对应于直线之上、之下的四个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，因此，我们都用向上的箭头来表示。当时，对应于直线之下的三个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，因此，我们都用向下的箭头来表示。

同样可以讨论E导数的符号 • ，时，对应于以左、且在那条斜直线上方的二个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，我们用向右的箭头表示； • ，时，对应于以左，且在那条斜直线下方的三个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，我们用向左的箭头表示； • ，时，对应于以右，且在那条斜直线上方的三个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，我们用向左的箭头表示； • ，时，对应于以右，且在那条斜直线下方的二个区域，由(3.8)式可知，此时应有：，我们用向右的箭头表示。

这五个均衡点各有特色 • 1、由和所决定的交点，我们可以形象地称之为“白洞”，在该点周围所有的路径都是背离它而去的，犹如是从该点源源不断流出物质一样。 • 2、由和所决定的交点，我们可以形象地称之为“黑洞”，因为在该点周围所有的路径都会被它吸引，向它流去。这是一个稳定点，而且不同于前面图2.1和图2.2所讨论过的两个鞍点稳定状态，而是“黑洞稳定状态”，股市发展到这一点，无论受到什么方向的干扰，都会回到原来的均衡位置。 • 3、由和所决定的交点，我们可以形象地称之为“双向手电筒”，因为从该点出发的所有路径都只能向有限的方向伸展，如图中虚线所界定的两个方向相反的对顶扇形那样。

这些只是概念比拟并非重点 • 4、由和决定的交点，我们可以形象地称之为“双向激光筒”，因为从该点出发的所有路径都只能向两个方向伸展，即沿着而向两侧伸展。 • 5、而由和所决定的交点是宇宙中的一个普通点，由“白洞”流出的物质经由它流向“黑洞”。 • 事实上，我们可以形象地称和为“虫洞”，因为在天文学里，“虫洞”被视为连接“黑洞”与“白洞”的桥梁。图3.1里，从和出发的所有路径都是一个方向向着“黑洞”伸展，另一个方向向着远方浩瀚的宇宙伸展，而“白洞”正在存在于“远方浩瀚的宇宙”中（在图3.1中这么近地存在着一个白洞是非常凑巧的事情，因为宇宙的形状是不规则的，犹如失重情况下水滴的形状，宇宙的边缘有时候距离我们并不远）。

重点在于模型的结论 • 1、本模型阐述的这个多点均衡问题实际上只有一个是稳定点，而且是黑洞稳定，因此，理性的股市应该以这个点为目标来发展。这就要求我们不能只注重股市的扩容（融资）而不注意保护适当的价格成长，就像我们不能只注重保护海洋里的大鱼而不注意保护小鱼一样。当有一天大鱼终于把小鱼吃光之时，就是大鱼饿死之日。

理论路径与实际路径的模拟

价格成长的数量级要远比扩容速度高 • 2、在均衡稳定点附近，股市的价格成长仍然可以有大于零的速度：，这里 • 虽然不高，只是股民的预期收益率或者是利率之类的主观贴现率，但毕竟满足了非蓬齐对策所预言的那样：价格在无限远处可以为无穷大。这里均衡价格的路径为：，虽然是无穷大，但仍能满足非蓬齐对策条件：。但是，均衡的扩容速度则一定为零：，这意味着股市的发展不能无限扩容下去，是有一个上限的。

不能每次都能靠政策来校正股市的 • 3、在股市发展的初期，超速扩容下经常性的负价格成长每每需要政策来将其拉回到横轴上方，表现出市场的不成熟和不规范。应改政策导向型的扩容政策为市场导向型的扩容政策，将市场扩容与价格成长联系起来，这样才能有利于股市的长期均衡稳定发展。 • 4、中国股市目前的状况正处于由上方及横轴下方交叉区域向横轴上方区域的转变中。只有再经历扩容速度的持续降低，才能走向股市长期均衡、稳定、理性地发展的“康庄大道”。

在均衡稳定点附近 • 对微分方程组(3.8)式进行局部线性化时，可得： • (3.9) • 由上式中第一个方程可得常系数线性非齐次的微分方程：。显然是它的一个特解，而对应的齐次微分线性方程为：，其通解形式为：，其中C为积分常数。于是，得到非齐次线性微分方程的通解为：，令t=0可以得到积分常数为：。所以，由(3.9)式中第一个方程可以解出均衡稳定点附近的价格成长路径为： • 上式第二个方程的通解为：

全文完！！！ • 敬请各位专家学者斧正！谢谢！

理性股市中的 “黑洞”、“白洞”与“虫洞” —— 对理性股市中扩容速度 长期均衡路径的探索