第一章三角

第一章三角 1-4差角公式

目錄 • 1-4差角公式 • 甲﹑差角公式與和角公式 • 乙﹑倍角公式 • 丙﹑半角公式

請看課本p.50 • 三角學中, 除了正弦定理與餘弦定理, 我們也經常應用差角公式﹑和角公式﹑倍角公式及半角公式來處理相關的問題. 例題1 隨堂練習1 下一主題

甲﹑差角公式與和角公式 請看課本p.50 • 首先我們介紹兩角差的餘弦. • 設α , β為兩標準位置角例題1 隨堂練習1 下一主題

請看課本p.50 • 當O, A, B三點不共線時, 如下圖所示：例題1 隨堂練習1 下一主題

請看課本p.50 • 皆可得cosAOB =cos( α – β), • 且由餘弦定理知 cos (–θ) = cos θ, cos (360˚– θ) = cos θ.  例題1 隨堂練習1 下一主題

請看課本p.51 • 所以 • 當O, A, B三點共線時, 則可能為： • (a)α=β, 則上述關係式(＊)中, • 左式 • 右式 • 等式成立. 例題1 隨堂練習1 下一主題

請看課本p.51 • (b) α–β= 180˚（或β–α= 180˚）, 則上述關係式(＊)中, • 左式 • 右式 • 等式成立. 例題1 隨堂練習1 下一主題

請看課本p.51 • 雖然本段開始, 我們是以來說明兩角差的餘弦, 但由於同界角的正弦值（或餘弦值）相同, 所以對任意角α與β, 關係式(＊)仍會成立, 亦即恆有 • 對於兩角和的餘弦, 我們則可利用上述等式推得： cos (–θ) = cos θ, sin (– θ) = –sin θ.  例題1 隨堂練習1 下一主題

餘弦的和角與差角公式 請看課本p.51 • 綜合以上討論, 對任意角α與β, 我們恆有例題1 隨堂練習1 下一主題

例題1 請看課本p.52 試求下列各值：     • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

例題1 請看課本p.52 試求下列各值：     • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

例題1 請看課本p.52 試求下列各值：     • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

例題1 請看課本p.52 試求下列各值：     • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.52 試求下列各值：    • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.52 試求下列各值：    • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.52 試求下列各值：    • 解： •  例題1 隨堂練習1 返回下一主題

請看課本p.52 • 接著我們討論正弦的差角與和角公式. • 由於對任意角θ, 恆有sinθ=cos(90°−θ), cosθ=sin(90°−θ), 所以對任意角α與β, 我們有 • sin(α−β) = cos[90°−(α−β)] = cos[(90°−α)+β)] = cos(90°−α)cosβ− sin(90°−α)sinβ = sinαcosβ− cosαsinβ, 前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 下一主題

正弦的和角與差角公式 請看課本p.53 • 利用此正弦的差角公式及性質我們可推得正弦的和角公式 • 綜合此段討論可知, 對任意角α與β, 我們恆有前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 下一主題

例題2 請看課本p.53 試求下列各值：     • 解： •  sin15°=cos75°.  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題2 請看課本p.53 試求下列各值：     • 解： •  sin75°=cos15°.  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題2 請看課本p.53 試求下列各值：     • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題2 請看課本p.53 試求下列各值：     • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.54 試求下列各值：    • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.54 試求下列各值：    • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.54 試求下列各值：    • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題3 請看課本p.54 設α是第一象限角, β是第二象限角, 且 • 解： • 因為α是第一象限角, • 因為β是第二象限角, 前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題3 請看課本p.54 設α是第一象限角, β是第二象限角, 且 • 解：前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習3 請看課本p.54 設α是第三象限角, β是第四象限角, 且 • 解： • 因為α是第三象限角, • 因為β是第四象限角, 前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習3 請看課本p.54 設α是第三象限角, β是第四象限角, 且 • 解：前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題4 請看課本p.55 如右圖, 兩直角三角形有一公共邊 試求 試求  • 解： •  由畢氏定理知前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題4 請看課本p.55 如右圖, 兩直角三角形有一公共邊 試求 試求  • 解：  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題4 請看課本p.55 如右圖, 兩直角三角形有一公共邊 試求 試求  • 解：  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

例題4 請看課本p.55 如右圖, 兩直角三角形有一公共邊 試求 試求  • 解：  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.55 如右圖, ABCD為圓內接四邊形, 試求 試求 試求 • 解： • 因為半圓內的圓周角為直角, 所以△DAB與△CAB為直角三角形, • 由畢氏定理知前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.55 如右圖, ABCD為圓內接四邊形, 試求 試求 試求 • 解： •  所以前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.55 如右圖, ABCD為圓內接四邊形, 試求 試求 試求 • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

隨堂練習4 請看課本p.55 如右圖, ABCD為圓內接四邊形, 試求 試求 試求 • 解： •  前一主題例2 隨堂2 例3 隨堂3 例4 隨堂4 返回下一主題

請看課本p.55 • 至於正切的和角與差角公式, 由於 • 所以需有分母cosθ≠0的限制, 故對任意角α與β, 只要tan α, tan β與tan(α＋β)皆有意義, 則正切的和角公式, 我們可利用正弦﹑餘弦的和角公式來推得. 前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 下一主題

請看課本p.56 分子﹑分母同除以cosα cosβ.  前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 下一主題

請看課本p.56 • 利用此正切的和角公式及性質tan(θ )＝ tanθ , 可推得正切的差角公式. tan(－θ )＝－tanθ.  前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 下一主題

正切的和角與差角公式 請看課本p.56 • 綜合此段討論可知, 對任意角α與β, 只要tanα, tanβ 與tan(α+β), tan(α−β) 皆有意義, 則我們恆有前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 下一主題

例題5 請看課本p.56 試求下列各值：   • 解： •  前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 返回下一主題

例題5 請看課本p.57 試求下列各值：   • 解： •  前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 返回下一主題

例題5 請看課本p.57 試求下列各值：   • 解： •  前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 返回下一主題

隨堂練習5 請看課本p.57 試求下列各值：  • 解： •  前一主題例題5 隨堂練習5 例題6 隨堂練習6 返回下一主題

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