第七章机械振动机械波

第七章机械振动机械波 第1-3课时机械振动

一、机械振动 1、什么叫机械振动？物体(或物体的一部分)在某一位置两侧沿直线或圆弧往复运动的现象叫做机械振动，简称振动。 2、产生振动的条件 ①当物体离开平衡位置时，受到指向平衡位置的回复力的作用 ②物体运动时受到的阻力足够小 3、对振动条件的理解 ①平衡位置指回复力为零的位置. “平衡位置”不等于“平衡状态”,物体在该位置所受的合外力不一定为零 .

②平衡位置的确定 a、平衡位置在回复力为零的位置。 b、物体自由静止的位置就是平衡位置。 ③回复力的特点是使物体返回平衡位置，因而时刻指向平衡位置，是一种效果力 4、振动的特点：往复性或周期性 5、描述机械振动的物理量 ①位移：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段。 A.是矢量 B.起点都必须在平衡位置处（区别于运动学中的位移） C.位移的最大值等于振幅

②振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量②振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量 A.物理意义：描述振动强弱的物理量 B.振幅与位移的区别 C.在一个周期内，物体的位移为零，路程为振幅的四倍 ③周期和频率：物体完成一次全振动所需要的时间叫做周期，单位时间内完成全振动的次数叫做频率，二者的关系为：T=1/f。周期的意义是描述振动快慢的物理量。周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐振动都有共同的周期公式：

二、简谐运动 1、什么叫简谐运动？物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 2、简谐运动的特征 ①受力特征：回复力 F= -kx ②运动特征: 3、简谐运动的过程特点： ①、变化特点：抓住两条线第一：从中间到两端： x,F,a,v,EK,EP,E. 第二：从两端到中间： x,F,a,v,EK,EP,E______.

②运动规律： Ⅰ周期性：简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。 Ⅱ对称性：简谐运动的物体具有对平衡位置的对称性，经(2n-1)T/2后x，v，a关于o对称。 4、F= -kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件

例1:一质点沿直运动，向右运动先后以相同的速度依次通过图中的A、B两点，历时2s。质点通过B点后再经过2s第二次回到B点，已知这4s内通过的路程为8cm，则质点的振幅A=cm,振动周期T= S 练、弹簧振子做简谐运动，t1时刻速度为v，t2时刻速度也为v，且方向相同，已知（t2-t1）小于周期T，则（t2-t1）（v≠0）（） A、可能大于T/4 B、可能小于T/4 C、一定小于T/2 D、可能等于T/2 AB

5、典型的简谐运动--弹簧振子 ①水平弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；竖直弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。 ②水平弹簧振子的周期与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。 ③可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是例2：如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。 ⑴最大振幅A是多大？ ⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？答案：mg/k ，2mg

-q 4q A B d 提示：当α<<1时，则例3、如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷. （1）求小环C的平衡位置。（2）若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x(∣x∣<<d )后静止释放，试判断小环C能否回到平衡位置。（回答“能”或“不能”即可）（3）若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x(∣x∣<<d) 后静止释放，试证明小环C将作简谐运动。

解（1）设C在AB连线的延长线 上距离B为l处达到平衡，带电量为Q，由库仑定律由平衡条件 C受力为 -q 4q C -q -q 4q C A d d l d B A x B 所以平衡位置在AB连线的延长线上距离B为d处（2）不能（3）环C带电-q，平衡位置不变，拉离平衡位置一小位移x后化简得所以小环C将作简谐运动

f f f m 0 0 0 t t t M A B C D f 0 t 练：如图所示，斜面体M的底面粗糙，斜面光滑，放在粗糙水平面上。弹簧的一端固定在墙面上，另一端与放在斜面上的物块m相连，弹簧的轴线与斜面平行。若物块在斜面上做简谐运动，斜面体保持静止，则地面对斜面体的摩擦力f与时间t的关系图象应是下图中的哪一个？ C

练、如右图所示，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小球，固定在一劲度系数为k的弹簧上，一质量为m的子弹射人小球，在碰撞前的瞬间子弹的速度为v0，方向沿弹簧轴线．若认为碰撞后子弹与小球立即获得共同速度，并忽略弹簧的质量和空气阻力，求小球的振幅.(已知当弹簧的形变量为x时，弹簧中储存的弹性势能为练、如右图所示，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小球，固定在一劲度系数为k的弹簧上，一质量为m的子弹射人小球，在碰撞前的瞬间子弹的速度为v0，方向沿弹簧轴线．若认为碰撞后子弹与小球立即获得共同速度，并忽略弹簧的质量和空气阻力，求小球的振幅.(已知当弹簧的形变量为x时，弹簧中储存的弹性势能为 kx2/2)

α T F1 F2 O mg 6、典型的简谐运动—单摆 ①什么叫单摆？在一条不可伸长的、质量忽略的细线下端拴一可视为质点的小球，上端固定，构成的装置叫单摆 ②单摆可视为简谐运动的条件：摆角较小，一般情况下摆角α＜100 ③对单摆的分析： a、沿绳的方向，绳的拉力T和重力的分力 mgcosα的合力提供向心力，改变速度的方向 b、沿绳的切线方向，重力的分力mgsinα 提供回复力，改变速度的大小。

α T F1 F2 O mg c、单摆做的是简谐运动小角度的单摆时，因α较小， sinα=tanα＝α，所以：故单摆做的是简谐运动 ④几点说明： A.小球在平衡位置处的回复力为零，但小球的合力不为零。 B.小球的回复力为重力的分力mgsinα而并非为绳的拉力和重力的合力。 C、小角度单摆的周期公式：

O α α l m 其中摆长l指悬点到小球重心的距离，g为单摆所在处的重力加速度 Ⅰ.单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的振动周期与振幅无关，与振子的质量无关 Ⅱ.秒摆的周期为2秒，此时摆长为1m ⑤等效单摆 A.等效摆长：是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，如右图：

α 带电量为q的小球在电场中的摆动 E O B.等效重力加速度：g由单摆所在的空间位置决定，与中心天体、距地表的高度、单摆系统的运动状态和物理环境等因素有关 Ⅰ等效重力的确定：摆球相对悬点静止时，绳上的拉力等于等效重力。如图： Ⅱ超重失重下的等效重力 a、超重时等效重力为mg´=mg+ma b、失重时等效重力为mg´=mg-ma c、完全失重时等效重力为mg´=0 ⑤单摆的应用 a、计时器 b、测重力加速度。

例4、已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m.则两单摆摆长la与lb分别为 (） A、la =2.5m， lb =0.9m B、 la =0.9m， lb =2.5m C、la =2.4m， lb =4.0m D、 la =4.0m， lb =2.4m B 练、两颗行星的质量之比为m1：m2=2：1，半径之比为R1：R2=2：3，两只单摆的摆长之比l1：l2=1：2。若将l1摆置于行星m1上，将l2摆置于行星m2上，则两单摆的周期之比为T1：T2=________。 1：3

例5、已知单摆摆线长为l，悬点正下方3l/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？例5、已知单摆摆线长为l，悬点正下方3l/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？答案：练、固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间有ta＿tb，比较它们到达底端的动能有Ea＿＿2Eb。答案：ta= tb；Ea>2Eb

例6、一单摆的摆绳的长为L，摆球的质量为m，摆球带例6、一单摆的摆绳的长为L，摆球的质量为m，摆球带有正电荷的电量为q，在单摆的悬挂点处放有一带电荷量为Q的正电荷，试求这一单摆的周期。

θ O A B 练、如图所示，两根等长的轻绳同悬于同一点O，下端各系住一个大小相同的小球A、B且mA＜mB，现将A球向左拔开一个小角θ(θ＜5º)，然后静止释放，两球在最低点发生无机械能损失的碰撞，则它们第二次相碰的位置 (空气阻力不计) （　　） A．发生在O点正下方; B．发生在O点正下方偏左; C．发生在O点正下方偏右; D．不发在O点正下方偏左 . AD

x/cm A B A t/s T/2 T 0 D -A C 三、简谐运动的图像 1、什么叫简谐运动的图象？振动质点对平衡位置的位移随时间变化的图象叫做简谐运动的图象 2、物理意义：是振动质点的位移（对平衡位置）随时间变化的情况 3、其图象是正弦（或余弦）曲线注意：振动图像不是质点的运动轨迹 4、图象能反映的物理量：（1）求周期T和振幅A （2）判断任一时刻质点的位置和位移x

x/cm A B A t/s T/2 T 0 D -A C （3）判断任一时刻质点的速度方向和加速度方向，（4）判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况（5）振动图象的作图方法 ①描点法；②实验法（如心电图、地震仪）

x/cm 2 t/×10-2s 0.25 0 1 2 -2 例7、一质点做简谐振动，其位移和时间关系如图所示（1）求t=0.25×10-2s时的位移？（2）当t=1.5×10-2s到t=2×10-2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能、机械能如何变化？（3）从t=0至8.5×10-2s时间内，质点的路程、位移多大？

练、一个作简谐运动的物体，位移随时间的变化规律x=Asinωt，在1/4周期内通过的路程可能是（ ） A、小于AB、等于A C、等于 AD、等于1.5A x/cm A t/s T/4+t1 0 t1 -A A B C 解：如图，1/4周期在450~1350时，因越靠近振幅处速率越小，则平均速率最小 1/4周期在1350~2250时，因越靠近平衡位置处速率越大，则此范围平均速率最大，路程最大。

四、简谐振动中的能量转换 简谐运动是一种理想化模型，振动过程中，其动能和势能作周期性转换，但机械能的总量保持不变，即机械能守恒. 例8、如图所示是弹簧振子的位移随时间变化的关系图像.由图可知，在时间t2到t3过程中回复力逐渐变，振子的动能逐渐变__________，振子的弹性势能逐渐________，振动系统的机械能___________.

五、阻尼振动 1、等幅振动：即振幅不变的振动.等幅振动不一定不受阻力作用,若振动中受到的阻力作用,但外界适时地补充相应的能量,使振幅不变，这种振动也是等幅振动。 2、阻尼振动：即振幅逐渐减小的振动.一般地，可以认为阻尼振动过程中周期和频率不变。六、受迫振动与共振 1、受迫振动（1）定义：物体在外界驱动力（即周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

（2）规律 ①物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 2、共振（1）什么叫共振。当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。（2）条件：f驱=f固

（3）共振曲线 ①当f驱=f固时，A=Am，Am的大小取决于驱动力的幅度和阻尼 ②f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大， f驱与f固相差越远，受迫振动的振幅越小 ③发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于系统克服阻力做功而消耗的能量。（4）共振的利用和防止：利用共振的有：共振筛、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……；防止共振的有机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢…… （5）声音的共鸣：即声音的共振现象，主要是通过共鸣箱来实现的。

练、把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是（） A.降低输入电压 B.提高输入电压 C.增加筛子质量 D.减小筛子质量 AD

例9、如图，四个摆的摆长分别为 l1＝2m,l2＝1.5m, l3＝1m, l4＝0.5m，它们悬挂于同一根水平横线上。今用周期为2s的驱动力以垂直于摆线方向水平作用在横线上，使它们作受迫振动，那么它们的振动稳定时( ) A、四个摆的周期相同 B、四个摆的周期不同 C、摆3振幅最大 D、摆1振幅最大 AC

N1 N2 练：图(1)是演示简谐振动图像的装置.当盛砂漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时,摆动着的漏斗中漏出的砂在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系,板上的直线OO1代表时间轴.图(2)是两个摆中的砂在各自木板上形成的曲线,若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2=2v1,则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为 ( ). A、T2=T1 B、 T2=2T1 C、T2=4T1 D、 T2=0.25T1 D

例10、如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B而用手拉振子，放手后让其上下振动，其作30次全振动所用的时间是15s.如果匀速转动把手，弹簧振子也可上下振动.若把手以30r/min的转速匀速转动，当弹簧振子的振动稳定后，它的振动周期为s.例10、如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B而用手拉振子，放手后让其上下振动，其作30次全振动所用的时间是15s.如果匀速转动把手，弹簧振子也可上下振动.若把手以30r/min的转速匀速转动，当弹簧振子的振动稳定后，它的振动周期为s.

练、在接近收费口的道路上安装了若干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带，减速带间距为10m，当车辆经过着速带时会产生振动。若某汽车的固有频率为1.25Hz，则当该车以_________m/s的速度行驶在此减速区时颠簸得最厉害，我们把这种现象称为_________。练、在接近收费口的道路上安装了若干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带，减速带间距为10m，当车辆经过着速带时会产生振动。若某汽车的固有频率为1.25Hz，则当该车以_________m/s的速度行驶在此减速区时颠簸得最厉害，我们把这种现象称为_________。 12.5 共振

练、将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，下图甲中O点为单摆的悬点，现将小球（可视为质点）拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置。∠AOB=∠COB=α，α小于100且是未知量，下图乙表示计算机得到细线对摆线的拉力大小F随时间变化的曲线且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取10m/s2）,求:(1)单摆的周期,摆长练、将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，下图甲中O点为单摆的悬点，现将小球（可视为质点）拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置。∠AOB=∠COB=α，α小于100且是未知量，下图乙表示计算机得到细线对摆线的拉力大小F随时间变化的曲线且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，据力学规律和题中信息（g取10m/s2）,求:(1)单摆的周期,摆长 (2)摆球的质量 (3)摆动过程中最大速度

练、将一个力电传感器接到 计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断：①t＝0.2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1.1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期是T＝0.6s。上述判断中正确的是（） A.①③ B.②④ C.①② D.③④ C

练、一水平放置、劲度系数k＝10N/m的轻弹簧，一端固定，另一端系一质量m=40g的小球，小球在光滑的水平面上沿左右方向作简谐运动。图为取向右为正方向画的小球的振动图象。练、一水平放置、劲度系数k＝10N/m的轻弹簧，一端固定，另一端系一质量m=40g的小球，小球在光滑的水平面上沿左右方向作简谐运动。图为取向右为正方向画的小球的振动图象。（1）试描述小球在第一个周期内速度的方向和大小变化的情况（2）求小球的频率和振幅（3）求小球的最大加速度

练、如图所示，一轻质弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点，已知OC=h，练、如图所示，一轻质弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点，已知OC=h，振子的周期为T.某时刻物体恰好经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期时间内，下列判断不正确的是（） A．重力做功为2mgh B．重力的冲量大小为 C．回复力做功为零 D．回复力的冲量为零 A C m O B x/cm A A/2 t/s T/2+t1 0 t1 -A/2 -A D

A B C D E O′ 练、下图是将演示简谐振动图像的装置作变更，当盛砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时,摆动着的漏斗中漏出的砂在木板上形成的曲线如图示，A 、B、 C、 D、 E均为OO′轴上的点，AB=S1, BC=S2,摆长为L（可视作不变）摆角小于5°，则木板的加速度约为多少？

单摆在摆角很小（小于100）时，可看成简谐运动，其固有周期为 ，由此可得g=4π2l/T2 .据此通过实验方法测出摆长l和周期T,即可求出当地重力加速度. 六、实验用单摆测定重力加速度 1、实验原理： 2、实验器材：铁架台及铁夹、细线（约1m长）、带孔小钢球（组成单摆）、秒表（测周期）、刻度尺（分度为1mm，测摆长）组装仪器测量摆长 3、实验步骤测量周期数据处理重复测量

4、误差分析和处理 (1)误差来源： A、系统误差：单摆模型本身是否符合要求 B、偶然误差：主要来源于测时间（多次测量求平均值，测摆长读到毫米即可，测时间读到秒的十分位即可） (2)用描点法做出l—T2图象，图线为过原点的直线，其斜率k=g/4π2,则重力加速度为g=4π2k 5、注意事项 (1)选材时摆线应选择细、轻又不易伸长的线，长度在1m左右；摆球应选密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm （2）单摆悬线上端应固定（3）摆球应在同一竖直平面内，不能形成圆锥摆，最大摆角不大于100为宜

(4)应从摆球通过最低位置开始计时,以后摆球从同一方向通过最低位置时进行计数,且在”零”的同时按下秒表停止计数。 (5)对摆长进行二次测量，则l=（l1+l2）/2 【例21】测定重力加速度时： ①摆球应选用_____，摆线宜选用_____； ②测摆线的长度用_____，要求准确到_____，测小球直径用_____，要求准确到_____，测量摆动30～50次时间用_____； ③此外，还需要配备_____和_____. 参考答案： ①重而小的实心球；轻而长且难以发生形变的细线； ②米尺；毫米；游标卡尺；0. 1 mm；停表； ③铁架台；铁夹.

【例22】（07全国卷）（1）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：【例22】（07全国卷）（1）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议： A．适当加长摆线 B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D．单摆偏离平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆摆动的周期其中对提高测量结果精度有利的是。 A C

T2/s2 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.5 1.0 l/m 0 （2）某同学在用单摆测定重力加速度的实验中，测量4种不同摆长情况单摆的振动周期，获得4组数据,以T2为纵轴、l为横轴作出的T2—l关系图像如图,根据此图像回答问题： ①本实验所使用的测量仪器有_______________． ②本试验依据的物理原理____________________．秒表、米尺、游标卡尺 ③图线的斜率所表示的物理意义 _____________． ④当地的重力加速度g值为____________ （g值保留三位有效数字） 4π2/g 9.86m/s2

〖练11〗某同学测定的g的数值比当地公认值大，造成的原因可能是( ) ①摆球质量太大了； ②量摆长时从悬点量到球的最下端； ③摆角太大了（摆角仍小于10°）； ④计算摆长时忘记把小球半径加进去； ⑤摆球不是在竖直平面内做简谐振动，而是做圆锥摆运动； ⑥计算周期时，将(n－1)次全振动误记为n次全振动. ② ⑤ ⑥

〖练12〗如下图所示，为了测量一个凹透镜一侧镜面的半径R，让一个半径为r的钢球在凹面内做振幅很小的往复振动，要求振动总在同一个竖直面中进行，若测出它完成n次全振动的时间为t，则此凹透镜的这〖练12〗如下图所示，为了测量一个凹透镜一侧镜面的半径R，让一个半径为r的钢球在凹面内做振幅很小的往复振动，要求振动总在同一个竖直面中进行，若测出它完成n次全振动的时间为t，则此凹透镜的这一镜面原半径值R＝_______ ．〖练13〗一学生用单摆测当地的重力加速度时，在挂好单摆后，在摆角小于5°的条件下，测得单摆的振动周期为T1；再使摆长增加 l ，仍在摆角小于5°的条件下，测得单摆的振动周期为T2，由此，可计算出当地的重力加速度值 g = 。

第七章 机械振动 机械波