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第五章 : 静定平面桁架

第五章 : 静定平面桁架. §5-1 概　述 §5-2 结 点 法 §5-3 截　面　法 §5-4 结点法与截面法联合应用 §5-5 组合结构 §5-6 静定结构的静力特性. §5-1 　概　述. 桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结构计算简图形式。 一、理想桁架的概念 理想桁架假定： １、桁架中的铰为绝对光滑而无磨擦的理想铰； ２、桁架中的各杆件轴线绝对平直，且通过它两端铰中心； ３、桁架上的荷载和支座都在结点上。. 理想桁架 桁架的各部分名称 理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件 （由以上假定提供的可能性及二力平衡原理）。.

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第五章 : 静定平面桁架

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  1. 第五章: 静定平面桁架 • §5-1概　述 • §5-2 结 点 法§5-3截　面　法 • §5-4 结点法与截面法联合应用 • §5-5 组合结构 • §5-6静定结构的静力特性

  2. §5-1　概　述 桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结构计算简图形式。一、理想桁架的概念理想桁架假定：１、桁架中的铰为绝对光滑而无磨擦的理想铰；２、桁架中的各杆件轴线绝对平直，且通过它两端铰中心；３、桁架上的荷载和支座都在结点上。

  3. 理想桁架 桁架的各部分名称理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件（由以上假定提供的可能性及二力平衡原理）。

  4. 工程中按理想桁架简化的结构从构造上与理想桁架的假定均相差很大。例如，轴线绝对平直的杆件和理想铰接在实际中均做不到，尤其是后者。　理想桁架的假定是基于反应了一类结构的主要承载和受力特点。例如，各类屋架、钢结构构架及高压线塔架等，均是由一些截面和长度都较小的直杆构成，杆件自重轻，且主要承受结点荷载，因此在杆件中的弯矩较小。由于这类杆件的长细比较大，受压时会失稳，因此只能承受较小的弯矩，主要以承受轴力为主。　利用理想桁架计算简图计算杆件轴力（主内力）。杆件上的弯矩、剪力（次内力）另由其他方法计算。 以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆轴力计算。

  5. 一、桁架的分类 桁架也有不同的分类方法。如按外围上、下弦杆组成的几何形状分；按在竖向荷载作用下支座有无水平推力分及按桁架的几何组成特点分。 桁架按其几何组成特点分：　１、简单桁架：由基础或由一个基本三角形依次加二元体组成。 ２、联合桁架：由若干简单桁架依次按两刚片或（和）三刚片规则组成。 ３、复杂桁架：除上述两类桁架以外的桁架。

  6. 复杂桁架 联合桁架 简单桁架

  7. §5-2 结 点 法　　 结点法是计算桁架内力的基本方法之一。 一、结点法 依次取桁架中的单个结点为隔离体，由结点的平衡条件计算桁架内力的方法叫结点法。 由于理想桁架的上述假设，汇交于结点的各杆轴力（包括荷载和支座反力）均过铰结点中心。所以，以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力系，只有两个独立的平衡方程。 一般情况下截取结点的原则是：一个结点只能截断两根待求杆件。

  8. 例5-2-1 　用结点法求图示桁架内力。 解：（1）求支座反力(2）结点法求内力

  9. 关于桁架杆轴力的规定： 轴力以使杆件受拉为正，受压为负。 截开截面上的未知轴力应以规定的正向画出，与截面的外法线方向一致的箭线即表示正向拉力。表示轴力的箭线均应画在相应截面的外法线一侧。 对结点来说（与结点相连一侧杆端截面），杆件正向轴力箭线应画在与杆件同侧,并使箭头指出结点，杆件负向轴力箭线也应画在与杆轴同侧，并使箭头指向结点。 结点１：由∑Fx=0　∑Fy=0　得：FN12= -20kNFN16=0（图中未示出坐标的，默认水平方向为Ｘ轴。以下均遵守此约定）

  10. 结点２： 由于杆12的轴力已求出，取该结点可求得另两个杆力。在受力图中，已知力（结点上的荷载，已求出的杆轴力）一般按实际方向画出，并注意同一杆轴力对杆两端结点的作用与反作用关系。 由Fy= 0　得：FN26×sinα+10–20=0已知　sinα=1/√5， cosα=2 /√5 代入上式,得FN26 = 10√5 kN 由∑Fx= 0　得： FN23＋FN26×cosα=０FN23=－20kN

  11. 注意：当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度Ｌ和它的两个投影长度lx、ly组成的直角三角形与斜杆轴力FN和它的两个投影FNＸ、FNＹ组成的三角形是相似三角形。因此有两三角形对应边成比例关系，可叫作力和杆长比例关系：注意：当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度Ｌ和它的两个投影长度lx、ly组成的直角三角形与斜杆轴力FN和它的两个投影FNＸ、FNＹ组成的三角形是相似三角形。因此有两三角形对应边成比例关系，可叫作力和杆长比例关系： FN/l = FNx/lx= FNy/ly l、lx、ly是已知的，只要求出FN、FNx、FNy中任一个就可由该式计算出另两个。 所以对于斜杆轴力可按坐标轴分解，先求分力再求合力。如此，结点２的受力图和计算如下：

  12. ∑Fy= 0F26y+10－20=0 F26y=10kN由比例关系： FN26=( F26y/l26y)×l26 =10√5 kNF26x= ( F26y/l26y)×l26x =20 kN ∑Fx＝０ FN23+F26x=0 FN23=－20kN 结点６： 　∑Fx= 0 FN65 = 20 kN 　∑Fy= 0 FN63 =－10 kN

  13. 结点３： 　∑Fy＝０ F35y＝－10 kN FN35 = ( F35y/l35y)×l35 =－10√5 kN F35x = ( F35y/l35y)×l35x =－20 kN ∑Fx= 0 FN34 = 0 结点５： ∑Fy=０　FN45+20－10=0 F26y = －10 kN 由结点４校核，满足。

  14. 各杆轴力见图。 注明：本例是一个简单桁架。在计算中，按照拆二元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离体，则每个结点只有两个待求轴力杆件。所以，简单桁架的内力可全部用结点法计算。一、结点汇交力系平衡的特殊情况 结点单杆的概念：若一结点上，除一根杆件外，其它杆件均共线，则这根独立的杆叫该结点上的结点单杆。 结点单杆的轴力：一般情况下，结点单杆的轴力可以由该结点的平衡条件唯一确定，而不受结点法对所截待求杆件数的限制；当结点上无荷载作用时，该结点上的结点单杆轴力等于零（称为零杆）。零杆是结点单杆的特殊情况。

  15. 在桁架的内力计算中， 利用结点单杆的特点可事先判定其内力（或判定零杆），显然能加快计算速度，减少出错；有时，是一条必经的关键解题路徑。

  16. 例5-2-2　用结点法计算图示桁架的内力。 解：（1）求支座反力由桁架整体平衡 ∑M1 = 0 ∑M8 = 0 得：F8y×8–30×2–30×4=0 F8y=22.5kN (↑) F1y×8–30×4–30×6–20×8 = 0 F1y = 57.5 kN (↑)由 ∑F y = 0 校核，满足。

  17. (2) 求各杆轴力由结点法的特殊情况判断出零杆为：杆23, 杆67, 杆57。其它杆力计算如下：结点8: ∑Fy=0 F86y= –22.5 kN FN86=(F86y/l86y)×l86= –50.3 kN F86x=(F86y/l86y)×l86x= –45 kN ∑Fx=0FN87=45kN FN46=FN86= –50.3kN FN57=FN87=45kN

  18. 结点１: ∑Fy=0 F13y=20–57.5= –37.5kN FN13=(F13y/l13y)×l13= –83.9 kN F13x=(F13y/l13y)×l13x= –75 kN ∑Fx=0FN1 =75 kN FN25=FN12=75kN

  19. 结点3: ∑M4= 0F35x×2+30×2–37.5×4+75×2=0 F35x= –30kN FN35=(F35x/l35x)×l35= –33.5 kNF35y=(F35x/l35x)×l35y= –15 kN ∑M5 = 0 F34x×2–30×2+37.5×4 =0F34x= –45kN FN34=(F34x/l34x)×l34= –50.3 kNF34y=(F34x/l34x)×l34y= –22.5 kN

  20. 结点５: ∑Fy=0FN54=15kN由结点４　∑F y = 0　校核，满足。说明: 本例利用了力可沿其作用线滑动的特性，将 各杆的轴力分别滑动到恰当的位置后分解，列出两个力矩方程。即当列投影方程不便（如几何关系复杂，要解联立方程等），可采取此法。

  21. §5-3　截　面　法　　 截面法是计算桁架内力的另一基本方法。 一、截面法 计算桁架内力的截面法，是假想用一个截面将桁架的某些杆件切开，使桁架分成两部分，利用任一部分计算被切断杆件的轴力的方法。 显然，由于桁架被切开后的任一部分没有对其所含的结点数的限制，所以截面法所取的隔离体应是平面一般力系。平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程，因此，截面法切断的待求轴力杆件最多是三根。

  22. 例5-3-1 用截面法计算图示桁架中杆a、b、c的轴力。

  23. 解：（1) 求支座反力 （2）计算杆件轴力 取截面Ⅱ－Ⅱ以左： ∑Fy=0FNC√2/2+100–80=0 F NC= –28.28kN

  24. 取截面Ⅰ－Ⅰ以左：∑M4=0Fax×3+100×6–40×3=0 Fax= –160kN FNa=(Fax/lax)×la= –164.92 kN Fay=(Fax/la)×lay= –40 kN ∑Fy=0 Fby–Fay+40–100=0 Fby=20 kN FNb=(Fby/lby)×lb=33.33kN FNa= –164.92kN, FN =33.33kN, FNc= –28.28 kN

  25. 例5-3-2　计算图示桁架的内力。 解:(1)求支座反力

  26. (2)　计算各杆轴力取截面Ⅰ－Ⅰ以左：∑Fy=0FNGE=0∑MA=0 FNCD×3d+FP×d=0 FNCD= –FP/3∑MD=0 FNHF×3d+FP×2d–FP×3d=0 FNHF=FP /3 以下计算略。

  27. 说明:（１）本例是由两个简单桁架组成的联合桁架。两个简单桁架结合部位是三根链杆。所以，用截面切开简单桁架之间的联系（约束）是计算联合桁架的要点。（２）本例也可用结点法计算，但首先要考虑结点法的特殊情况可以有两条途径：结点Ｈ→结点Ｇ→及以下；结点Ｆ→结点Ｅ→及以下。（３）若仅计算杆Ａ的轴力，可取截面Ⅱ－Ⅱ内所示的隔离体。这渋及截面法的特殊情况。说明:（１）本例是由两个简单桁架组成的联合桁架。两个简单桁架结合部位是三根链杆。所以，用截面切开简单桁架之间的联系（约束）是计算联合桁架的要点。（２）本例也可用结点法计算，但首先要考虑结点法的特殊情况可以有两条途径：结点Ｈ→结点Ｇ→及以下；结点Ｆ→结点Ｅ→及以下。（３）若仅计算杆Ａ的轴力，可取截面Ⅱ－Ⅱ内所示的隔离体。这渋及截面法的特殊情况。

  28. 二、截面单杆（截面法中的特殊情况）

  29. 例5-3-3　计算图示桁架中杆a、b的内力。 分析： 所示为复杂桁架，按常规结点法和截面法都不能用。但在Ⅰ－Ⅰ截面上有一单杆13，可由此打开求解的通路。

  30. 解：截取截面Ⅰ－Ⅰ以上部分: ∑Fx=0F13x=0 FN13=0结点３:　∑Fy=0 (Fa–10)√2/2=0 Fa=10kN由截面Ⅱ－Ⅱ任一侧:　 ∑Fx=0　 得：Fb= –10kN

  31. §5-4 结点法与截面法联合应用 在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。尤其当（１）只求某几个杆力时;（２）联合桁架或复杂桁架的计算。 例5-4-1　求图示桁架中杆a、b的轴力。 II I II I

  32. 分析：本例是简单桁架。当支座反力求得后，从两侧任一侧开始依次截取结点计算均可。但要多次的截取结点。若仅用截面法截取任一截面，则超出所要求的未知量数，即要解联立方程。为了减少计算步骤，采取结点法和截面法联合应用。分析：本例是简单桁架。当支座反力求得后，从两侧任一侧开始依次截取结点计算均可。但要多次的截取结点。若仅用截面法截取任一截面，则超出所要求的未知量数，即要解联立方程。为了减少计算步骤，采取结点法和截面法联合应用。 解法１： （１）求支座反力（２）计算杆件轴力

  33. 结点Ｅ： ∑Fx=0Fcx= –Fax 则：　　　　　　 FNc= –FNa Fcy= –Fay先由结点Ｅ的平衡得出杆Ａ、Ｃ轴力的相互关系。

  34. 截面Ⅰ－Ⅰ左： ∑Fy=0 2Fay+FP/3=0 Fay= –FP /6 FNa=(–FP/6)×5/3= –5FP/18 ∑MB=0 FNb×6+(FP/3)×8=0 FNb= –4FP/9 = –Fax Ⅰ－Ⅰ截面

  35. 解法２：取截面Ⅱ－Ⅱ左： ∑MB=0FNb×6+(FP/3)×8=0 FNb= –4FP/9取截面Ⅰ－Ⅰ左： ∑MC=0 Fax×6 –（4FP/9)×6+(FP/3)×12=0 Fax= –2FP/9 FNa=(–2FP/9)×5/4= –5FP /18 9 Ⅱ－Ⅱ截面 Ⅰ－Ⅰ截面

  36. §5-5 组合结构 有梁式杆又有桁架杆构成的结构叫组合结构。组合结构的计算要点：先求桁架杆内力，后求梁式杆内力。并注意这两类不同特征的杆件汇交的铰结点不能作为与桁架结点法相同的使用。例5-5-1 计算图示静定组合结构，并作内力图。

  37. 解: (1)求支座反力(2) 求桁架杆内力截面Ⅰ－Ⅰ左： ∑MC=0 FNDE×2+10×4×2–40×4=0 FNDE= 40 kN ∑Fy=0 FCy+10×4–40=0 FCy=0 ∑Fx=0 FCx+FNDE=0 FCx= –40 kN

  38. 结点Ｄ：∑Fx=0 FADx=40kNFNAD=(40/2)×2×√2=40√2kNFADy=(40/2)×2 =40 kN∑Fy=0 FNDG+FADy=0 FNDG= –40kN 求梁式杆内力:　桁架杆的轴力已求出，将其反作用到梁式杆上，直接作梁式杆的内力图。

  39. M FQ FN 说明：本例用截面Ⅰ－Ⅰ截开的是两个刚片的连接处，与计算联合桁架方法相似。本例利用了对称性。

  40. §5-6　　静定结构的静力特性 静定结构的两个基本特性：　１）几何组成特性：静定结构是无多余约束的几何不变体系。　２）惟一静定解特性：静定结构的反力和内力的静力平衡解答是惟一确定解答。　静定结构的静力特性： 由上述第二个基本特性可推出以下静定结构的静力特性：

  41. １）零内力（零反力）特性： 当只受到温度变化、支座移动、制造误差及材料收缩等因素影响时，静定结构中不产生反力和内力。但有位移。

  42. ２）局部平衡特性： 当一平衡外力系作用在静定结构中某一局部几何不变部分上时，只在该局部几何不变部分上有内力，其它部分不受力。

  43. ３）局部荷载等效变换特性： 静力等效力系概念：当一个力系的合力与另一个力系的合力相同时，这两个力系互为静力等效力系。 当在静定结构中的某一局部几何不变部分上作荷载的静力等效变换时，只有该局部几何不变部分的内力发生变化，其它部分的受力情况不变。

  44. 　静定结构内力计算　小结在静定结构的内力计算这部分，研究了静定梁、静定刚架、静定桁架、静定拱及静定组合结构等的内力分析和计算。　静定结构内力计算　小结在静定结构的内力计算这部分，研究了静定梁、静定刚架、静定桁架、静定拱及静定组合结构等的内力分析和计算。 一、静定结构的特性： １、几何组成特性； 　　静定结构是无多余约束的几何不变体系。 ２、静力特性 　　静定结构的内力和反力有唯一静力平衡解。　

  45. 二、静定结构的内力计算原理　　静定结构的内力和反力的计算，依据静力平衡原理。即，静定结构的整体和任一局部均应满足静力平衡条件。二、静定结构的内力计算原理　　静定结构的内力和反力的计算，依据静力平衡原理。即，静定结构的整体和任一局部均应满足静力平衡条件。 三、静定结构的内力计算方法及步骤 　　结构内力计算的方法可归结为一个基本方法，即截面法。包括桁架计算中的结点法。　　静定结构内力计算步骤及途径因结构的组成及类型而有区别。其一般步骤为： 　１、计算支座反力和约束力； 　２、计算内力； 　３、绘制内力图。

  46. 单跨静定梁 １、内力的概念 ２、内力的计算 　梁式杆指定截面的内力及计算：　　 　　截面法 　　直接法

  47. 直杆段的区段弯矩叠加法： 　　基线接力法　　荷载与内力的微分关系：　　　　　　　　　零、平、斜、曲、……。　　荷载与内力的积分关系：　　　　　　　　　突变点及突变值、转折点

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