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考点知识精讲

第 7 讲　一元二次方程. 考点知识精讲. 考点训练. 中考典例精析. 举一反三. 考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中，只含有 _____ 个未知数，并且含未知数项的最高次数是 ____ ，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 _______________________ . 考点二 一元二次方程的常用解法. 一. 2. ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0). C ． k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

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  1. 第7讲　一元二次方程 考点知识精讲 考点训练 中考典例精析 举一反三

  2. 考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中，只含有_____个未知数，并且含未知数项的最高次数是____，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是_______________________. 考点二 一元二次方程的常用解法 一 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

  3. C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．

  4. (2011·南京)解方程x2－4x＋1＝0. 【点拨】本题考查一元二次方程的解法．

  5. 方法总结： 解一元二次方程有以下几种方法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法. 解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解.一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法.

  6. (2010·成都)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值． 【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根． 【解答】∵方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根， ∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0. 即16－8k≥0，解得k≤2. ∴k的非负整数值为k＝2,1,0.

  7. （2011·桂林）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2010年投入的资金是2 420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同． (1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率； (2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？ 【点拨】求年平均增长率问题：一般列方程a(1±x)n＝b.其中a为原始数据，b为增长(减少)后数据，n为变化周期，x为增长(降低)率． 【解答】(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，根据题意得，2 000(1＋x)2＝2 420，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．

  8. 答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%.答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%. (2)2012年需投入资金：2 420×(1＋10%)2＝2 928.2(万元)． 答：2012年需投入资金2 928.2万元． 方法总结： 列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最后的结果，对不符合实际问题的未知数的值应舍去.

  9. 1．一元二次方程a2－4a－7＝0 的解为_________________________. 2．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值是_______. 3．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是________________. 5．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是_____. －1 x1＝5，x2＝－1 1 25%

  10. 7．用配方法解方程：6x2－x－12＝0. 8．【前情提示】　为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 青山村种的水稻2009年平均每公顷产8 000 kg,2011年平均每公顷产9 680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率． 【解题方案】　设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x. (1)用含x的代数式表示：

  11. ①2010年种的水稻平均每公顷的产量为____ ； ②2011年种的水稻平均每公顷的产量为； (2)根据题意，列出相应方程； (3)解这个方程，得； (4)检验：_ __________________________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______. 8000(1＋x) 8000(1＋x)2 8000(1＋x)2＝9680 x1＝0.1x2＝－2.1 x1＝0.1，x2＝－2.1都是原方程的根，但x2＝－2.1不符合题意，所以只能取x＝0.1 10%

  12. 一元二次方程 训练时间：60分钟分值：100分

  13. 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．(2011·安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是() A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 【解析】由x(x－2)＝2－x得(x＋1)(x－2)＝0，∴x1＝－1，x2＝2. 【答案】D

  14. 2．(2011·江西)已知x＝1 是方程x2＋bx－2＝0 的一个根，则方程的另一个根是() A．1 B．2 C．－2 D．－1 【解析】把x＝1代入方程x2＋bx－2＝0得1＋b－2＝0， ∴b＝1，解方程x2＋x－2＝0得x1＝－2，x2＝1， ∴方程的另一个根是x＝－2. 【答案】C

  15. 3．(2010中考变式题)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是()3．(2010中考变式题)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是() A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac>0 C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≥0 【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac>0. 【答案】B

  16. 4．(2011·兰州)用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原方程应变形为() A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9 【解析】由x2－2x－5＝0得x2－2x＝5，∴x2－2x＋1＝6， ∴(x－1)2＝6，故选C. 【答案】C

  17. 5．(2010中考变式题)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是()5．(2010中考变式题)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是() A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128 C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128 【解析】第一次降价a%后，售价为168(1－a%)，第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2，即168(1－a%)2＝128. 【答案】B

  18. 6．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0 根的情况是() A．有两个不相等的实数根　　　B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根　　　　　　D．没有实数根 【解析】解一元二次方程x(x－2)＝0得x1＝0，x2＝2，所以方程有两个不相等的实数根． 【答案】A

  19. 7．(2010中考变式题)一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()7．(2010中考变式题)一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是() A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】B

  20. 8．(2011·成都)已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是()8．(2011·成都)已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是() A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0 C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0 【解析】∵方程有两个实数根，∴n2－4mk≥0. 【答案】D

  21. 9．(2010中考变式题)如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是()9．(2010中考变式题)如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a<1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0 【解析】∵方程有两个不等的实数根，∴b2－4ac>0，即22－4a>0，∴a<1.又∵a≠0，∴a<1且a≠0. 【答案】B

  22. 10．(2012中考预测题)在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是()

  23. A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0 【解析】由题意可列方程为(80＋2x)(50＋2x)＝5 400，化简为x2＋65x－350＝0. 【答案】B

  24. 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．(2010中考变式题)方程x2－4x＝0的解是________． 【解析】x2－4x＝0，x(x－4)＝0，∴x＝0或x－4＝0，即x1＝0，x2＝4. 【答案】x1＝0，x2＝4

  25. 12．(2010中考变式题)两圆的圆心距d＝5，它们的半径分别是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，这两个圆的位置关系是__________．12．(2010中考变式题)两圆的圆心距d＝5，它们的半径分别是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，这两个圆的位置关系是__________． 【解析】设半径为R、r，则R＋r＝5.∵d＝5，∴R＋r＝d，故两圆位置关系是外切． 【答案】外切　

  26. 13．(2011·山西)“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力.2010年全省全年旅游总收入大约1 000亿美元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1 440 亿元，那么年平均增长率应为__________． 【解析】设年平均增长率为x，根据题意列方程，得1 000(1＋x)2＝1 440，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．所以年平均增长率应为20%. 【答案】20%

  27. 14．(2010中考变式题)方程2x2－3x＋1＝0的解是__________．14．(2010中考变式题)方程2x2－3x＋1＝0的解是__________．

  28. 【答案】10

  29. 16．(2010中考变式题)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是__________．16．(2010中考变式题)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是__________．

  30. 【答案】7

  31. 18．(2012中考预测题)已知x＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，则m＝________，方程的另一根为________．18．(2012中考预测题)已知x＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，则m＝________，方程的另一根为________． 【解析】把x＝－1代入方程，得(－1)2－m－5＝0，∴m＝1－5＝－4，∴原方程为x2－4x－5＝0，(x－5)(x＋1)＝0，∴x－5＝0或x＋1＝0，∴x1＝5，x2＝－1，即另一根为x＝5. 【答案】－4x＝5

  32. 三、解答题(共46分) 19．(15分)解方程． (1)(2012中考预测题)用配方法解一元二次方程：x2－5＝4x； (2)(2011·武汉)x2＋3x＋1＝0； (3)(2012中考预测题)(x－1)2＝9(x－1)． 【答案】解：(1)移项，得x2－4x＝5 配方，得x2－4x＋4＝5＋4，即(x－2)2＝9 开方，得x－2＝±3 即x－2＝3或x－2＝－3，∴x1＝5，x2＝－1 (2)∵a＝1，b＝3，c＝1，

  33. 20．(6分)(2012中考预测题)如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽． 【答案】解：设道路的宽为x m，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x2－52x＋100＝0，∴x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去) 答：道路的宽为2 m.

  34. 21．(7分)(2011·南充)关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.21．(7分)(2011·南充)关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2. (1)求k的取值范围； (2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值． 【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝22－4(k＋1)≥0，解得k≤0. ∴k的取值范围是k≤0.

  35. (2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，∴x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)．(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，∴x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)． 由已知，得－2－k－1＜－1，解得k＞－2. 又由(1)得k≤0，∴－2＜k≤0. ∵k为整数，∴k的值为－1或0.

  36. 22．(8分)(2011·日照)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．22．(8分)(2011·日照)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． (1)求每年市政府投资的增长率； (2)若这两年的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房． 【答案】解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5，整理，得x2＋3x－1.75＝0，

  37. 答：每年市政府投资的增长率为50%. (2)到2012年底共建廉租房面积＝9.5×(8÷2)＝38(万平方米)．

  38. 23．(10分)(2012中考预测题)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2010年年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．23．(10分)(2012中考预测题)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2010年年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． (1)求2008年年底至2010年年底该市汽车拥有量的年平均增长率； (2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？

  39. 【答案】解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得150(1＋x)2＝216，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．【答案】解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得150(1＋x)2＝216，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%. (2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为(216×90%＋y)万辆，2012年底全市的汽车拥有量为[(216×90%＋y)×90%＋y]万辆．根据题意得(216×90%＋y)×90%＋y≤231.96，解得：y≤30，即该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．

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