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共變數分析

共變數分析. 賴阿福. ANCOVA. 共變數分析（ Analysis of Covariance, ANCOVA ）即是一種統計控制的方法。它是利用直線迴歸法將其他也會影響依變數的因素，從變異數中剔除：然後根據調整過後的分數，進行變異數分析，因此共變數分析可說是變異數分析與直線迴歸的合併使用。這個其他變數，在共變數分析中，稱為共變數。 共變數分析即是以迴歸的原理，將控制變項以預測變項處理，計算依變項被該預測變項解釋的比率。當依變項的變異量被控制變項可以解釋的部份被計算出來後，剩餘的依變項的變異即排除了控制變項的影響，而完全歸因於自變項效果（實驗處理）。. ANCOVA 原理.

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Presentation Transcript

  1. 共變數分析 賴阿福

  2. ANCOVA • 共變數分析（Analysis of Covariance, ANCOVA）即是一種統計控制的方法。它是利用直線迴歸法將其他也會影響依變數的因素，從變異數中剔除：然後根據調整過後的分數，進行變異數分析，因此共變數分析可說是變異數分析與直線迴歸的合併使用。這個其他變數，在共變數分析中，稱為共變數。 • 共變數分析即是以迴歸的原理，將控制變項以預測變項處理，計算依變項被該預測變項解釋的比率。當依變項的變異量被控制變項可以解釋的部份被計算出來後，剩餘的依變項的變異即排除了控制變項的影響，而完全歸因於自變項效果（實驗處理）。

  3. ANCOVA原理 • 變異數分析的原理，是將依變項的總變異量，拆解成自變項效果（組間）與誤差效果（組內）兩個部份，再進行F考驗。 • 共變數分析利用迴歸分析，依變項的總變異量先行分割為共變項可解釋部份與不可解釋部份，不可解釋的變異再由變異數分析原理來進行拆解。 • 總離均差平方和=控制項共變積和+迴歸殘差變異量 =控制項共變積和+（組間離均差平方和+組內離均差平方和） • SStotal=SScoviance+(SSbetween+SSwithin) • 由於控制變項通常與自變項之間是相互獨立，沒有關連，因此在概念上，控制變項所解釋的變異，主要係從變異數分析誤差(SSwithin)所分割得來，對於組間離均差平方和的數值影響不大。 • 即使迴歸效果未達顯著水準，仍需將共變項納入變異數分析的計算，因為由控制變項所解釋的變異量即使再小，都可以影響誤差變異量，進而影響變異數分析的結果。

  4. 共變數分析的基本假定 • 須符合變異數分析應有的基本假定（常態性、獨立性、變異數同質性） • 共變數與依變數的之間關係是直線。 • 「組內迴歸係數同質性（homogeneity of within-class regression coefficient）」。 • 即各組本身裡面根據X（共變數）預測Y（依變數）的斜率（bwj）要相等。 • 若違反迴歸係數同質性的假定時，可用詹森－內曼法（Johnson-Newman）來調整。　　

  5. 共變數分析的步驟 • (1) 組內迴歸係數同質性檢定：若經過調整，仍不符合假設，則不宜進行共變數分析，各組應分別討論。 • (2) 共變數分析：看排除共變數的解釋量後，各組平均數之間是否有顯著差異。 • (3) 求調整後平均數。

  6. 共變數計算 • 計算共變數的分子部分，即CPXY部分

  7. F值達到顯著水準，故應再考驗調整後平均數(adjusted means)之間的差異顯著性。此時，求調整後平均數的公式 • bw是組內迴歸線的迴歸係數

  8. 獨立樣本單因子共變數分析 • 某研究者想研究演講法、編序教學法和啟發式教學法對小學數學學習成績的影響。智力因是可能影響學習成績的共變量。問三種教學方法之間有無優劣的差異。one-way-ANCOVA-1.SAV

  9. 求XY的CPt，CPw和CPb： 求X的SSt，SSw和SSb： 求SS't(Y)，SS'w(Y)，SS'b(Y)： 求Y的SSt，SSw和SSb： >F.99(2,14)＝6.51

  10. Method 1: Manova for Ancova manova y by a(1,3) with x /analysis=y /design=x, a, x by a. • 次命令「analysis」指定以Y為依變數，在本例可不必寫。若要重新界定依變數時，才須再使用「analysis」。 • 次命令「design」界定此分析模式的效果項包括x，a，與x*a。

  11. Report after Manova * * * * * A n a l y s i s o f V a r i a n c e -- design 1 * * * * * Tests of Significance for y using UNIQUE sums of squares Source of Variation SS DF MS F Sig of F WITHIN+RESIDUAL 16.32 12 1.36 X 22.43 1 22.43 16.50 .002 A 24.44 2 12.22 8.99 .004 X BY A .73 2 .37 .27 .768 (Model) 282.18 5 56.44 41.50 .000 (Total) 298.50 17 17.56 R-Squared = .945 Adjusted R-Squared = .923

  12. Method 2: GLM (step 1) • procedure • 組內迴歸係數同質性檢定 • 共變數分析 • Analyze> General linear model > Univariate

  13. GLM (step 2) • analyze、GLM、univariate

  14. 組內迴歸係數同質性檢定摘要表 a R Squared = .945 (Adjusted R Squared = .923) 組內迴歸係數同質性檢定之F=.27，P>.05，未達顯著水準，表示三組的斜率可視為相同，符合組內迴歸係數同質的基本假定，故可以放心進行共變數分析。

  15. ANCOVA • analyze、GLM、univariate

  16. 共變數分析的摘要表 *P<.01

  17. A因子事後比較的結果-1 • A因子第一個水準和第二個的比較，其中「Difference (Estimate - Hypothesized)」為二組調節平均數的差，t值則為-4.047（即 Difference÷(Std.Err)值），P<.05，達顯著水準，即接受演講教學和接受編序教學的學生在排除智力因素的影響後，其學習成績有顯著差異。 • A因子第二水準和第三水準的比較，其Difference =12.66-10.68=1.971，t=2.905，P>.05，未達顯著水準，即編序法和啟發法對學生學習成績沒有不同的影響。

  18. A因子事後比較-2 • Contrast改為「Simple」 • 演講法與啟發法對學生的學習成績有不同的影響的效果。 *P<.05

  19. 重複量數單因子共變數分析 • 某實驗心理學家想研究刺激情境的真實性與皮膚電流反應（GSR）的關係。不同刺激情境之間的GSR強度有無差異？（參考林清山，民81，P498）repeated-Ancova-a.sav 共變數X：基本GSR 依變數Y：刺激後的GSR

  20. 組內變異數同質性檢定 分析模式的效果項包括B因子，S變數及X共變數的主要效果項，另有B*X的交互作用效果項。 • 選擇界定模式的形式為使用者自定效果項（即「Custom」）。 • 「Factor & Covariates」清單中會列出在主對話盒界定的所有因子變數和共變數。變數後面括號內的字母：F代表因子變數，C代表共變數。

  21. 「迴歸係數同質性」 • F=3.452,P>.05，未達顯著水準，即B因子三個水準迴歸係數相等，共變數分析的基本假定「迴歸係數同質性」得到支持，可放心進行共變數分析。

  22. simple UNIANOVA y BY s b WITH x /CONTRAST (b)=Repeated /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = s b x . 均以主要效果型式納入分析模式中 印出B因子三個水準的實際平均數和調節平均數 事後比較：想要以變數B三個水準兩兩互相比較，故採「Repeated」事後比較法

  23. Summary of ANCOVA • 共變數分析的結果，其中實驗處理B的F=127.78，P<.05，可見受試在受到「文字」、「聲音」和「實物」三種不同刺激之後，其GSR強度有顯著的不同。

  24. 進行事後比較，其中「Mean Difference」為比較兩組的調節平均數之差。舉例來說：文字與聲音Mean Difference=-1.333，P<.01，達顯著水準。結果顯示聽到蛇這個聲音所引起的GSR強度與只看到文字所引起的GSR有顯著不同。

  25. Method 2: • repeated-Ancova-b.sav MANOVA A1Y, A2Y,A3Y WITH A1X ,A2X,A3X /WSFACOTRS=A(3) /WSDESIGN A.

  26. report 　* * * * * A n a l y s i s o f V a r i a n c e -- design 1 * * * * * Tests involving 'A' Within-Subject Effect. AVERAGED Tests of Significance for MEAS.1 using UNIQUE sums of squares Source of Variation SS DF MS F Sig of F WITHIN+RESIDUAL 2.11 7 .30 REGRESSION .29 1 .29 .96 .360 A 77.07 2 38.54 127.78 .000 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  27. 獨立樣本二因子共變數分析 • 某研究者想探討記憶方法及性別對記憶成績(Y)的影響。為怕智力影響實驗結果，乃以智力測驗分數為共變數（X）。 • 問(1)男女之間記憶成績有無顯著差異﹖(2)不同記憶方法之間有無顯著差異﹖ （參考林清山，民81，P500） • two-way-ancova-a.SAV

  28. Procedure

  29. Report • 交互作用項F=2.601，P>.05，未達顯著水準。再看「method」主要效果，F=19.94，P<.05達顯著水準，表示三種教學方法之間對記憶成績有顯著差異存在。「sex」主要效果，F=1.899，P>.05，未達顯著水準。

  30. 事後比較 • 「Parameter Estimate」有「Method」變數的事後比較，其中「parameter」欄參數 [Method = 1] 為「method」第一個水準（全部法）與第二個水準（部分法）的比較；「B」是這二個水準調節平均數的差，t=4.814，P<.05，結果表示全部記憶法的記憶成績高於部分記憶法。參數 [method = 2] 為「method」第二個水準（部分法）與第三個水準（混合法）的比較，其t=-1.134，P>.05，未達顯著水準，結果表示這二種方法沒有顯著差異。在此事後比較的顯著性除了看「Sig. t」這一欄外，讀者也可以95%信賴區間（95%CI）為依據。若上下界限均為正值或均為負值（即區間不包含0在內），即達顯著水準。

  31. 事後比較

  32. 共變數分析總結 • 共變數分析的優點 • 減少實誤差變異來源，增加統計考驗力 • 降低非研究操弄之實驗處理差異的偏差。 • 研究者在擇共變數時，應考量三個因素： • 僅與依變項有關，而非實驗處理的變項。 • 如果二個共變項之間的相關在.80以上，則只需挑選其中一個作為共變項即可。 • 受試者較少時，應使用較多個共變項。共變項個數較多時，較易控制干擾變項，實驗處理統計考驗較為正確(Bryman & Cramer，1997) • Bryman, A., & Cramer, D. (1997). Quantitative Data Analysis with SPSS for Windows. London: Routledge.

  33. 共變數分析與多因子變異數分析之比較

  34. 共變數分析作業 • 排除前測成績之後，性別與不同組別在後測成績上是否有顯著的交互作用？

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