与 s 3 平行的斜截面上的 应力可在 s 1 、 s 2 应力圆的圆周 上找到对应的点 。

1. t s o §11 -4 空间应力的应力状态分析 — 一点的最大应力 与s3平行的斜截面上的应力可在s1、s2 应力圆的圆周上找到对应的点。 与s2平行的斜截面上的应力可在s1、s3应力圆的圆周上找到对应的点。 与s1平行的斜截面上的应力可在s2、s3 应力圆的圆周上找到对应的点。

2. t max 图a 图b 结论 —— 1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 2).整个单元体内的最大切应力为：

3. 3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：

4. y 20 20MPa 20 40 20MPa 40MPa 20MPa x (b) z (a) 例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。 解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。 可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。

5. y 20 t (c) 20MPa 20 D 2 40 20MPa A B s 40MPa O C 20MPa x (b) D z 1 (a) s s 1 3 用应力圆求主应力、主平面，最大切应力max及作用面。 图b所示应力状态对应的应力圆 由此可得： 由此可知：

6. y t t (c) (d) B 20MPa D 2 D 2 20MPa max t A A s 40MPa O C s O 0 C a 20MPa x 2 D z D 1 1 (a) s s s 2 1 3 s s 3 1 依据三个主应力值可绘出三个应力圆

7. s y t 3 (d) B 20MPa s 1 17 ° D x 2 20MPa max t t max ° A 40MPa s s 45 O 2 0 C a 20MPa x 2 z D 1 (a) (e) s 2 s s 3 1 最大切应力对应于B点的纵坐标，即 作用面与2平行而与1成45°角，如图e所示。

8. o 平面应力状态作为三向应力状态的特例 tmax 200 300 50

9. O 200 50 300 50

10. 300 50 O

11. §11 -5 广义胡克定律 一、单向应力状态： 二、三向应力状态： + + ——（广义虎克定律） 可以证明主应力与主应变方向一致

12. §11 -5 广义胡克定律 一、单向应力状态： 二、三向应力状态： + + ——（广义虎克定律）

13. 三、、广义胡克定律的一般形式: 可以证明主应力与主应变方向一致

14. 求出 ,就可求得 方向的正应变 广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向 的正应变： a+90 a

15. 例槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。 解：1) 研究对象： 正方形钢块 2)由广义虎克定律：

16. y 注意： x 例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1 = 240 10-6，3= -16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 解：自由面上 ，所以该点处的平面应力状态

17. y x 例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1 = 240 10-6，3= -16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。

18. y x 例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1 = 240 10-6，3= -16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。

19. σy A 例：如图所示拉杆，横截面为圆形D=2cm，E=2.1×106 MPa， 。求：F。 解：1、取单元体: y 2、广义胡克定律（应力与应变关系） 600 A x F 3、外力的确定: F = 3980（kN）

20. x 例：如图所示空心圆轴，外经D = 120 mm，内经d = 80 mm， E=2.0 × 105 MPa，μ= 0.28，ε450=2.0 ×10-4。求：m。 解：1、取单元体 m 450 2、广义胡克定律（应力与应变关系） τ 3、外力的确定 m = 8504（Nm）

21. 五、形状改变比能: 单元体的比能(单位体积储存的变形能)： 利用广义虎克定律:

22. m 1 1 -m m -m 2 2 m -m 3 3 图 c 图 b 图 a 单元体的比能： 图 c ？ 图 b 体积改变， 形状不变；

23. 1  2  3 图a 图 c 图 b 图 C 单元体的体积应变： 所以图 C 单元体体积不变，只有形状改变 图 a单元体的体积应变： 单元体的比能 ＝ 体积改变比能(b)＋形状态改变比能(c) —称为体积改变比能 —称为形状改变比能

24. 图 c 图 b 图 a b图的体积应变比能： 形状改变比能 或 畸形能

25. §11 -6 强度理论概念 强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）。 构件在静载荷作用下的两种失效形式： (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，例如低碳钢拉、扭。 本章介绍常用的四个经典强度理论

26. －构件危险点的最大拉应力 －极限拉应力，由单向拉伸实验测得 断裂条件 强度条件 §11 -7 四个经典强度理论 莫尔强度理论 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值

27. －构件危险点的最大伸长线应变 －极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得 断裂条件 强度条件 2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。 即

28. －极限切应力，由单向拉伸实验测得 －构件危险点的最大切应力 屈服条件 强度条件 3. 最大切应力理论（第三强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限值。 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不易发生塑性变形或断裂的事实。

29. －构件危险点的形状改变比能 －形状改变比能的极限值，由单拉实验测得 屈服条件 4. 形状改变比能理论（第四强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值。 强度条件 实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。

30. 结论. 四个强度理论可以概括地表达为： 危险点处的三个主应力的组合 ≤ 轴向拉压的 。 主应力的组合可以从不同的强度理论得到。故通常将主应力的这种组合称为相当应力，用 表示。 强度理论的统一表达式：

31. 四个强度理论的使用范围： • 1、一般情况下： • 脆性材料采用第一、第二强度理论（断裂破坏）； • 塑性材料采用第三、第四强度理论（屈服破坏）。 2、三向受拉的应力状态：采用第一、第二强度理论 （断裂破坏） 3、三向受压的应力状态：采用第三、第四强度理论 （屈服破坏）

32. s 使用条件：屈服破坏， 。 x t xy 强度理论的应用——

33. 60 50 40 （单位：MPa） 例：求图示单元体第三强度理论的相当应力。 解: 1、主应力的确定 2、相当应力的确定

34. 20 30 单位：MPa 例：求图示单元体第三、四强度理论的相当应力。 解： 1、主应力的确定 2、相当应力的确定

35. 例：已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应例：已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应 [] =30MPa。试：校核该点的强度。 解：1、根据材料和应力状态确定失 效形式，选择设计准则。 脆性断裂，采用最大拉应力理论 2、确定主应力并进行强度计算 1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0 1 = 29.28 < [] =30MPa.结论：强度是安全的。

36. F F=100kN Z 88.6 7 0.32m B 0.32m 11.4 100 例：如图所示工字型截面梁，已知 [s]=180MPa,[t ] =100MPa 试：全面校核（主应力）梁的强度。 Fs 100kN x 100kN x M 32kNm 解：1、画内力图

37. Fs F F=100kN 100kN Z x 88.6 7 100kN 0.32m B 0.32m x 11.4 100 M 32kNm 例：如图所示工字型截面梁，已知 [s]=180MPa,[t ] =100MPa 试：全面校核（主应力）梁的强度。 K 2、最大正应力校核 ( 上、下边缘处 ) 3、最大切应力校核 ( 中性层轴 )

38. Fs F s F=100kN 100kN x Z x t 88.6 7 xy 100kN 0.32m B 0.32m x 11.4 100 M 32kNm 例：如图所示工字型截面梁，已知 [s]=180MPa,[t ] =100MPa 试：全面校核（主应力）梁的强度。 K 4、主应力校核（K截面翼缘和腹板交界处B点）

39. F s F=100kN x Z t 88.6 7 xy 0.32m B 0.32m 11.4 100 例：如图所示工字型截面梁，已知 [s] =180MPa, [t ] =100MPa 试：全面校核（主应力）梁的强度。 主应力校核（翼缘和腹板交界处） 结论——满足强度要求。

40. 故，安全。 m F F A m 例 ：直径为d = 0.1m的圆杆受力如图, m = 7kNm,F = 50kN,材料 为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 解：危险点A的应力状态如图：

41. y A x 例 ：薄壁圆筒受最大内压时,测得 x = 1.8810-4, y = 7.3710-4, 已知钢的 E = 210GPa，[] = 170MPa,泊松比  = 0.3，试用第三强度理论校核其强度。 解：由广义虎克定律得: 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全

42. 莫尔强度理论 莫尔强度理论（修正的 最大切应力理论） 莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔在1882得出了他自己的强度理论。

43. 极限应力圆 极限应力圆的包络线 近似包络线 两个概念： 1、极限应力圆：各种应力状态下破坏时的应力圆 2、极限曲线：极限应力圆的包络线

44. 3 1 M t a K L P O3 N s o a [t] [c] O2 O1 莫尔理论危险条件的推导 1、基本论点：材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆。 （即任意一点的最大应力圆若与极限应力圆的包络线相接触，则材料即将屈服或剪断）。 2、破坏条件： 3、强度条件： 4、使用范围：破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等 的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。