气体动力学函数及应用

2. 气体动力学函数及应用 介绍气体动力学函数 定义及其应用 气体动力学函数的定义 气体动力学函数的应用 2/34

3. §3—3 气体动力学函数及应用 • 目前常用的气体动力学函数有三组： • (1)气流静参数与总参数之比的气动函数； • (2)与流量有关的气动函数； • (3)与冲力有关的气动函数。 • 下面分别介绍，并举列说明其应用

4. 一、气流静参数与总参数之比的气动函数 • 气流的总参数与静参数之比可以写成数的函数：

5. 为了画曲线和制表方便，需把上式中的数换成数，为此，将前式 • 代入上列诸式，化成数的函数，并分别以， ， ， 来表示；

6. 可得

7. 根据每一个数，把， 、 、 三个函数的数值计算出来，列成表格(见附录)。使用时，根据气流的 数(或M数)，就可以查出与 数相的静参数与总参数之比的数值。以此为基础，如已知总参数，就可以求出静参数；已知静参数，就可求出总参数。 • 显然三个函数 、 、 之间的关系是：

8. 当k=1.4时，函数 、 和 随 数的变化曲线如图2—3—9所示。从图中可看出，在任一 数下，都有一个确定的， 、 、 数值相对应。当 =0 时， = =1； 数增大时，三个函数都减小；当 = 时， = = 不同 数下，这三个函数的大小还与气体的性质有关。对于空气来说，k=1.4，当 =1时， =0．8333， =0．5828 ， =0．6340。同理，根据静参数与总参数之比的数值，也可以查出相对应 的 数和M数大小。 =0

9. [例2—3—5]用风速管测量空气流中一点的总压 =9．81x牛顿／米，静压 ，用热电偶测得该点气流的总温 400K，试求该点气流速度 。

10. 解：(2—3-23)式有 • 由气动函数查得 =0.5025 • 气流速度 • 得

11. [例2—3—6]空气在超音速喷管内作等熵绝能流动，已知进口截面上气流的静压为 ，总温 310K， 速度系数 ，出口截面上的静温 =243K，求气流在出口截面上的静压 和速度系数 。

12. 解：因为是等熵绝能流动，喷管中各截面处空气的总温和总压不变，所以解：因为是等熵绝能流动，喷管中各截面处空气的总温和总压不变，所以 • 查表得 • 查表得 • 所以

13. 二、与流量有关的气动函数 • 由流量公式知 ，流管任一 截面和临界截面的密度（即单位面积流 量）分别为：

14. 任一截面单位面积上的流量与临界截面单位面积流量之比，也就是任一截面的密流与临界截面密流之比，称为相对密流。又叫做无量纲密流。任一截面单位面积上的流量与临界截面单位面积流量之比，也就是任一截面的密流与临界截面密流之比，称为相对密流。又叫做无量纲密流。 即

15. 因为临界截面是流管中的最小截面积，所以临界截面的密度最大，也就是说，临界截面的单位面积流量最大。相对密流一般小于1。它的大小，可用来说明任一截面的密流与最大密流接近的程度，即说明该截面的流通能力的大小。相对密流越接近1，说明截面流通能力越大。临界截面的相对密流等于1。因为临界截面是流管中的最小截面积，所以临界截面的密度最大，也就是说，临界截面的单位面积流量最大。相对密流一般小于1。它的大小，可用来说明任一截面的密流与最大密流接近的程度，即说明该截面的流通能力的大小。相对密流越接近1，说明截面流通能力越大。临界截面的相对密流等于1。

16. 相对密流可写成速度系数的函数，具体推导如下。相对密流可写成速度系数的函数，具体推导如下。

17. 令 • 所 • 仅是 数的函数，所以它也是气动函数。 以

18. 由（2-3-25a）式可知，气动函数 就是相对密流，它也等于临界截面与所研究截面的面积比。当k=1.4时， 随 数的变化情形，如图2-3-10所示。由图可见， 在 =0和 时， =0时 =1 时， =1，达到最大。这说明， 当 =1时，单位面积上通过的流量最 大。 的数值可由气动函数表中查到 （见附录）。

19. 应用相对密度 ，可以直接根据总参数计算流量。因为 (1) 而

20. 即 而 将(2)和(3)式代入(1)式整理后得质量流量 (2) (3) 式中

21. 对于给定的气体(k及R一定)， 是个常数。对于空气，k=1.4，R=287．06焦耳／千克·开， =0.0404；对于燃气， 当 k=1.33，R=287．4焦耳／千克·开时 =0.0397；当k=1.2，R=320焦耳／千克·开时， =0.0362。 • 在气体动力学和喷气发动机原理中，用相对密流和总参数表示的流量公式来分析问题和计算流量是很方便的。

22. 从流量公式可知，流管中任一截面所通过的流量大小，与该截面的面积、总压、相对密流成正比，与总温的平方根成反比。据此还可得到如下重要结论。从流量公式可知，流管中任一截面所通过的流量大小，与该截面的面积、总压、相对密流成正比，与总温的平方根成反比。据此还可得到如下重要结论。 (1)在气流的总压和总温保持不变的情 况下，流过任一截面(即F一定)的流量 与 成正比，也就是说， 与 有 一一对应的关系。因此，在总压和总温保持不变的情况下，相对密流 的大小，反映流量的大小。

23. (2)在气流的总压和总温保持不变的情况下，要使通过同一管道中不同截面的流量相 等，则必须使乘积A 保持为常数。由此可知；当气流为亚音速时( <1)时，由图2—3—10可见，随着 数的增大， 也跟着增大，为了保持流量不变，必须相应地减小流管截面积。即亚音速时，流管截面减小，气流加速；反之流管截面积增大，气流减速。

24. 当气流为超音速时( >1)，由图2—3—10可见，因 随 数的增大而减小，故速度增大时，必须相应地增大流管截面积，即超音速时，流管截面增大，气流加速；反之，流管截面积减小，气流减速。 • 当 =1时， 达到最大值， =1，相应的截面积应是流管的最小截面积，即临界截面( =1的截面)必须是流管中的最小截面，必须注意，这个结论反过来说并不一定正确，即流管的最小截面并不一定是临界截面。要将气流等熵绝能地由亚音速到超音速，管道必须做成先收敛后扩散的形状，即所谓缩扩管。

25. (3)在一维定常管流中，用临界截面的参数计算流量最为方便，因为临界截面的 =1． (4)当气流的总压和总温发生变化时， 和流量就没有一一对应的关系了。在某种情况下，可能会出现流量增大，而流通能力 反而减小的现象。

26. 公式中的流量是用总压来表示的，有时为了测量和计算方便，也需要用截面上的静压来表示流量。这时，流量公式可写为公式中的流量是用总压来表示的，有时为了测量和计算方便，也需要用截面上的静压来表示流量。这时，流量公式可写为 • 令 • 则

27. 随 数的变化情形，如图2—3—10所示。由图中看出， 随 数增大而增大，当 接近 时， 趋于无穷大， • 的数值可由气动函数表中查到(见附录)。 下面举两个例子说明气动函数 和 的用法。

28. [例2—3—7]已知扩压器进口空气的总 压 2．941x10牛顿／米， =0．85 • 扩压器出进口面积比 =2．5， 总 压 • 比 =0.94，求扩压器出口截面的速度系 • 数 和静压 。

29. 解：从流量公式(2—3—26)知 由于是绝能流动 又是非等熵流动 所以 查表知

30. 因此 再查表得 所以

31. [例2—3—8]求某压缩器出口截面上气流 的总压，已知其出口截面积 =0.1米2， 并测得出口的静压 ， 空气流量 千克／秒，总温 480K

32. 解：由(2—3—28)式求出 查表得 故总压为

33. 三、与冲力有关的气动函数 应用动量方程计算管壁受力时，往往出 现冲力 这个物理量，它与 速度系数 也有某种函数关系。下面就 来推导这种气动函数关系。

34. 式中

35. 于是

36. 令 • 最后写成 • 或

37. 气动函数Z( )随 数的变化情形，如 图2—3—11所示。由图中看出，当 =1 时，Z( )为最小，其值等于2；当 接 近0时，Z( )趋于无穷大。对于空气来 说，k=1．4， 除了用气动函 数Z( )、流量和总温 写成(2—3— 30a)的形式外，还可以写成用总压或静 压以及其它气动函数表示的形式。当 等于 时，Z( )=2．8577。

38. 把公式 代入（2-3-30）式得

39. 令 最 由于 后 得

40. 令 则得

41. 气动函数 和r( )随 数的变化情 形，如图2—3—11所示，由图中看出， 当 =0时， =r( )=1时，当 = 时， =r( )=0时，对于空气来说， k=l．4，当 =1时， =1.2679， r( )=0．4167．在 <的范围内， 数增 大时， 不断减小。r( )是随 数增大 而不断减小的。 、r( )的数值均可 由气动函数表中查到。

42. [例2—3—9]已知进气道的空气流量为50 千克／秒，进、出口截面上的速度系数 分别为 =0．4， 0．2，气流总温 =322K, 求作用在进气道内壁上的推 力。

43. 解，由动量方程知，作用在进气道内壁上的推力为解，由动量方程知，作用在进气道内壁上的推力为 将(2—3—30)式代入得

44. 因为 所以

45. [例2-3—10]求直管燃烧室出口截面上的 速度系数 ，总压 、总温 。 巳知进口截面上 , , 出口截面 .

46. 解：应用动量方程 因是直管，所以 上式可写成

47. 已知进口截面总压和出口截面静压，所以，对此二截面可分别应用(2—3-32)和(2—3-34)式，并将结果代入上式，得已知进口截面总压和出口截面静压，所以，对此二截面可分别应用(2—3-32)和(2—3-34)式，并将结果代入上式，得 所以 • 查表得 再运用(2—3—30a)式求总温

48. 由于 所以 出口截面上的总压